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En mathématiques, et plus particulièrement en [[théorie des groupes]], on appelle '''argument de Frattini''' le théorème suivant : si ''G'' est un [[Groupe (mathématiques)|groupe]], ''H'' un [[sous-groupe normal]] [[Groupe fini|fini]] de ''G'' et ''P'' un [[sous-groupe de Sylow]] de ''H'', alors ''G = H N{{ind|G}}''(''P'') (où ''N{{ind|G}}''(''P'') désigne le [[normalisateur]] de ''P'' dans ''G'').

== Démonstration ==

Dans les hypothèses ci-dessus (''G'' est un groupe, ''H'' un sous-groupe normal fini de ''G'' et ''P'' un sous-groupe de Sylow de ''H''), prouvons que ''G = H N{{ind|G}}''(''P''). Soit ''g'' un élément de ''G''. Il s'agit de prouver que ''g'' appartient à ''H N{{ind|G}}''(''P''). Puisque ''H'' est supposé normal dans ''G'', l'automorphisme intérieur ''x ''↦ ''gxg''{{-1}} de ''G'' induit un automorphisme (non forcément intérieur) de ''H''. L'image ''gPg''{{-1}} de ''P'' par cet automorphisme de ''H'' est un sous-groupe de Sylow de ''H'' du même ordre que ''P'', donc ''gPg''{{-1}} est conjugué de ''P'' dans ''H''. Ceci signifie qu'il existe un élément ''h'' de ''H'' tel que ''gPg''{{-1}} = ''hPh''{{-1}}. Alors ''h''{{-1}}''gPg''{{-1}}''h = P'', autrement dit ''h''{{-1}}''g ''∈ ''N{{ind|G}}''(''P''), d'où ''g ''∈ ''H N{{ind|G}}''(''P''), ce qui, comme nous l'avons vu, démontre le théorème<ref>Cette forme de l'énoncé et cette démonstration sont données par exemple dans D.J.S. Robinson, ''A Course in the Theory of Groups'', {{2e}} éd., Springer, 1996, énoncé 5.2.14, p. 136.</ref>.

== Exemple d'utilisation ==

L'argument de Frattini permet par exemple de démontrer<ref>Voir {{Ouvrage|lang=en|prénom=J. S.|nom1=Rose|titre=A Course on Group Theory|éditeur=rééd. Dover|année=1994|passage=96}}, énoncé 5.14.</ref> que si ''G'' est un groupe fini, ''P'' un sous-groupe de Sylow de ''G'' et ''M'' un sous-groupe de ''G'' contenant ''N{{ind|G}}''(''P'') (normalisateur de ''P'' dans ''G''), alors ''M'' est son propre normalisateur dans ''G''. (Appliquer l'argument de Frattini au groupe ''N{{ind|G}}''(''M''), à son sous-groupe normal ''M'' et au sous-groupe de Sylow ''P'' de ''M''. On trouve
:<math>(1) \qquad N_G(M) = M N_{N_G(M)}(P)</math>.
Il est clair que <math>N_{N_G(M)}(P) \subseteq N_G(P) \subseteq M</math>, donc le second membre de (1) est égal à ''M'', d'où <math>N_{G}(M) = M</math>.)

== Généralisation ==

L'argument de Frattini admet la généralisation suivante<ref>Pour une preuve de la première forme de l'argument à partir de cette généralisation, voir par exemple {{Note autre projet|Wikiversité|Théorie des groupes/Sous-groupe de Frattini#Sous-groupe de Frattini|« Argument de Frattini, forme particulière originale » dans le chapitre « Théorie des groupes/Sous-groupe de Frattini »|début=la démonstration de l'énoncé 8}}</ref>, que certains auteurs<ref>Voir par exemple {{ouvrage|lang=en|id=Kurzweil et Stellmacher 2004|auteur={{Lien|lang=de|Hans Kurzweil}}|auteur2=[[Bernd Stellmacher]]|titre=The Theory of Finite Groups, An Introduction|année=2004|url={{Google Livres|ZlY7gZacogsC|page=58}}|page=58}}, énoncé 3.1.4.</ref> appellent elle aussi ''argument de Frattini'' :

{{Théorème|nom=Théorème<ref>Pour une démonstration, voir par exemple {{Harvsp|Kurzweil et Stellmacher 2004|p=58}}, énoncé 3.1.4, où le sous-groupe est inutilement supposé normal. Énoncé sans cette restriction dans {{Rotman1}}, 1999, {{p.}}81, exerc. 4.9. Également démontré dans {{Note autre projet|Wikiversité|Théorie des groupes/Action de groupe#Argument de Frattini|Théorie des groupes/Action de groupe#Argument de Frattini|début=}}</ref>|énoncé=Si ''G'' est un groupe [[Action de groupe (mathématiques)|opérant]] (à gauche ou à droite) sur un ensemble ''X'' et si ''H'' est un sous-groupe de ''G'' tel que l'opération de ''H'' sur ''X'' induite par celle de ''G'' soit [[Action de groupe (mathématiques)#Action transitive|transitive]], alors,

pour tout élément ''x'' de ''X'', ''G = H G{{ind|x}}'', où ''G{{ind|x}}'' désigne le [[Action de groupe (mathématiques)#Stabilisateur d'un élément|stabilisateur]] de ''x'' dans ''G''.
|style=display:table}}

== Histoire ==

L'argument de Frattini (sous sa forme particulière) fut énoncé et démontré par [[Giovanni Frattini]] en 1885, dans un article<ref>{{it}} G. Frattini, « Intorno alla generazione dei gruppi di operazioni », ''Atti della Reale Accademia dei Lincei, Rendiconti'', série 4, vol. 1, {{p.}}281-285 et 455-457. (Recension dans ''European Mathematical Information Service'', ''Electronic Research Archive for Mathematics'', ''Jahrbuch Database'', [http://www.emis.de/cgi-bin/JFM-item?17.0097.01 en ligne].) Référence à cet article à propos de l'argument de Frattini dans {{Harvsp|Rose|1994|p=95 et 296}}.</ref> où il introduisait la notion de [[sous-groupe de Frattini]].

== Notes et références ==
<references/>

{{Portail|algèbre}}

[[Catégorie:Théorie des groupes]]