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L''''asymptotique des grandes énergies d'activation''' est un [[développement asymptotique]] utilisée dans le domaine de la [[combustion]]. Il utilise le fait que la [[vitesse de réaction]] est extrêmement sensible aux changements de température en raison de la grande [[énergie d'activation]] de la réaction chimique.

== Histoire ==
La technique a été introduite par [[Iakov Zeldovitch]], [[David Frank-Kamenetskii]] et leurs collègues dans les années 30, dans leur étude sur les [[Flamme (combustion)#Typologie|flammes prémélangées]]<ref>{{article|langue=en|auteur1=[[Iakov Zeldovitch|Y. B. Zel’dovich]]|auteur2=[[David Frank-Kamenetskii|D. A. Frank-Kamenetskii]]|titre=Theory of thermal propagation of flame|périodique=Zhurnal Fizicheskoi Khimii|volume=12|date=1938|pages=100–105}}</ref> et les [[déflagration]]s ([[théorie de Frank-Kamenetskii]]). Elle a été utilisée dans l'ensemble de la communauté scientifique au début des années 70, grâce aux travaux de Williams B. Bush, Francis E. Fendell<ref>{{article|langue=en|auteur1=W. B. Bush|auteur2=F. E. Fendell|date=1970|titre=Asymptotic analysis of laminar flame propagation for general Lewis numbers|périodique=[[Combustion Science and Technology]]|volume= 1|numéro=6|pages= 421–428}}</ref>, [[Forman Williams]]<ref>{{article|langue=en|auteur=[[Forman Williams|F. A. Williams]]|date=1971|titre=Theory of combustion in laminar flows|périodique= [[Annual Review of Fluid Mechanics]]|volume=3|numéro=1|pages=171–188}}</ref>, [[Amable Liñán]]<ref>{{ouvrage|langue=en|auteur=[[Amable Liñán|A. Liñán]]|date=1971|titre= A theoretical analysis of premixed flame propagation with an isothermal chain reaction|éditeur= Contrat AFOSR n° E00AR68-0031}}</ref>{{,}}<ref>{{article|langue=en|auteur=[[Amable Liñán|A. Liñán]]|date=1974|titre=The asymptotic structure of counterflow diffusion flames for large activation energies|périodique=Acta Astronautica|volume= 1|numéro=7-8|pages=1007-1039}}</ref> et [[John Frederick Clarke]]<ref>{{article|langue=en|auteur=J. F. Clarke|date=1975|titre=The pre-mixed flame with large activation energy and variable mixture strength: elementary asymptotic analysis|périodique= [[Combustion Science and Technology]]|volume=10|numéro=5-6|pages=189-194}}</ref>{{,}}<ref>{{article|langue=en|auteur=P. Rajamanickam|date=2018|titre=On the two-reactant one-step activation-energy asymptotics for steady, adiabatic, planar flames with Lewis numbers of unity|périodique= [[Combustion Theory and Modelling]]|volume= 22|numéro=5|pages= 913-920}}</ref>. Par la suite elle a été largement utilisée pour expliquer des problèmes plus complexes de combustion<ref>{{ouvrage|langue=en|auteur1=Buckmaster, J. D.|auteur2=Ludford, G. S. S. |date=1982|titre= Theory of laminar flames|éditeur=[[Cambridge University Press]]|doi=https://doi.org/10.1017/CBO9780511569531}}</ref>.

== Présentation de la méthode ==
Dans les processus de combustion, la vitesse de réaction <math>\omega</math> dépend de la température <math>T</math> sous la forme suivante ([[loi d'Arrhenius]]),

:<math>\omega(T) \propto \mathrm{e}^{-E_{\rm a}/RT},</math>

où <math>E_{\rm a}</math> est l'[[énergie d'activation]], et <math>R</math> est la [[constante universelle des gaz parfaits]]. En général, la condition <math>E_{\rm a}/R \gg T_b</math> est satisfaite, où <math>T_{\rm b}</math> est la température des gaz brûlés. Cette condition constitue la base de l'asymptotique de l'énergie d'activation. En désignant <math>T_{\rm u}</math> comme température des gaz imbrûlés, on peut définir le [[nombre de Zeldovitch]] et le '''paramètre de dégagement de chaleur''' comme suit :

:<math>\beta = \frac{E_{\rm a}}{RT_{\rm b}}\frac{T_{\rm b}-T_{\rm u}}{T_{\rm b}}, \quad q = \frac{T_{\rm b}-T_{\rm u}}{T_{\rm u}}.</math>

De plus, si nous définissons une température adimensionnelle

:<math>\theta = \frac{T-T_{\rm u}}{T_{\rm b}-T_{\rm u}}\,,\quad 0\leq\theta\leq 1</math>

telle que <math>\theta</math> s'approche de zéro dans la région des gaz imbrûlés et s'approche de l'unité dans la région des gaz brûlés, alors le rapport entre la vitesse de réaction à n'importe quelle température et la vitesse de réaction à la température des gaz brûlés est donné par<ref>{{ouvrage|langue=en|auteur1=[[Amable Liñán|A. Liñán]]|auteur2=[[Forman Williams|F. A. Williams]]|date=1993|titre=Fundamental Aspects of Combustion|éditeur=[[Oxford University Press]]|isbn=9780195076264}}</ref> :

:<math>\frac{\omega(T)}{\omega(T_{\rm b})} \propto \frac{\mathrm{e}^{-E_{\rm a}/RT}}{\mathrm{e}^{-E_{\rm a}/RT_{\rm b}}} = \exp \left[-\beta(1-\theta)\frac{1+q}{1+q\,\theta}\right].</math>

Pour <math>\beta\to \infty</math> (grande énergie d'activation) avec <math>q\sim O(1)</math>, la vitesse de réaction est exponentiellement petite, en <math>O(e^{-\beta})</math> et négligeable partout, sauf lorsque <math>\beta(1-\theta) \sim O(1)</math>. En d'autres termes, la vitesse de réaction est négligeable presque partout, sauf dans une petite région très proche de la température des gaz brûlés où <math>1-\theta \sim O(1/\beta)</math>. On identifie par ces critères deux régions différentes :

* la zone convective-diffusive externe,
* la couche réactive-diffusive interne.

où, dans la zone convective-diffusive, le terme de réaction sera négligé et dans la fine couche réactive-diffusive, les termes convectifs peuvent être négligés. Les solutions dans ces deux régions sont raccordées par les pentes en utilisant la méthode des [[développements asymptotiques raccordés]].

On peut mettre en évidence une structure plus complexe à partir des longueurs caractéristiques présentes : convection, diffusion et réaction<ref>{{Lien web|site=openscience|auteur=Roger Prud’Homme|titre=Notions de base sur la combustion|url=https://www.openscience.fr/IMG/pdf/iste_timf19v3n1_5.pdf}}</ref>.

==Références==
{{Références}}
{{Traduction/Référence|en|Activation energy asymptotics|1233673706}}

{{Portail|physique}}

[[Catégorie:Combustion]]