Voir la source de Attracteur d'Ikeda

[[Image:Ikeda map a=1 b=0.9 k=0.4 p=6.jpg|vignette|droite|Attracteur d'Ikeda.]]

L''''[[attracteur]] d'Ikeda''' est un [[système dynamique]] à temps [[Structure discrète|discret]], caractérisé par la relation de récurrence :

: <math>z_{n+1} = A + Bz_ne^{iK/(|z_n|^2+1)+C}</math>.

Il a été proposé en 1979 par le physicien [[Japon|japonais]] Kensuke Ikeda pour décrire la propagation de la lumière à travers une [[cavité optique]] non linéaire<ref>{{Article|langue=en|auteur1=Kensuke Ikeda|titre=Multiple-valued stationary state and its instability of the transmitted light by a ring cavity system|périodique={{Lien|Optics Communications}}|date=Août 1979|issn=|lire en ligne=http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download?doi=10.1.1.158.7964&rep=rep1&type=pdf|pages=257-261}}</ref>. 

La relation de récurrence est souvent utilisée sous la forme<ref>{{Ouvrage|langue=|auteur1=Meriem Halimi|titre=Observation et détection de modes pour la synchronisation des systèmes chaotiques : une approche unifiée|passage=10-11|lieu=|éditeur=|nature ouvrage=Thèse de doctorat|date=décembre 2013|pages totales=112|isbn=|lire en ligne=https://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00942426/document}}</ref> :

: <math>\begin{cases} x_{n+1}=1+u(x_n\cos\theta_n-y_n\sin\theta_n) \\ y_{n+1}=u(x_n\sin\theta_n+y_n\cos\theta_n) \end{cases}</math>

où <math>u\in\mathbb{R}</math> est un paramètre et <math>\theta_n=0.4-\frac{6}{1+x_n^2+y_n^2}</math>.

Lorsque <math>u\geqslant0.6</math>, le système a un comportement [[Théorie du chaos|chaotique]].


== Trajectoires ==
Les graphes ci-dessous représentent la trajectoire de 200 points, pour différentes valeurs du paramètre <math>u</math>. Le graphe de gauche permet de visualiser l'attracteur et le point fixe, tandis que celui de droite est un zoom dans la région de l'attracteur et du point fixe.

{|
| [[image:ikeda sim u0.1.png|vignette|gauche| u = 0.1]]
| [[image:ikeda sim u0.5.png|vignette|gauche| u = 0.5]]
| [[image:ikeda sim u0.65.png|vignette|gauche| u = 0.65]]
|-
| [[image:ikeda sim u0.7.png|vignette|gauche| u = 0.7]]
| [[image:ikeda sim u0.8.png|vignette|gauche| u = 0.8]]
| [[image:ikeda sim u0.85.png|vignette|gauche| u = 0.85]]
|-
| [[image:ikeda sim u0.9.png|vignette|gauche| u = 0.9]]
| [[image:ikeda sim u0.908.png|vignette|gauche| u = 0.908]]
| [[image:ikeda sim u0.92.png|vignette|gauche| u = 0.92]]
|-
|}

== Références ==
{{Références}}

{{Portail|Analyse|Physique}}

[[Catégorie:Systèmes dynamiques]]
[[Catégorie:Fractale]]