Voir la source de Attracteur de Lorenz

{{article général|théorie du chaos}}

[[Image:Lorenz attractor boxed.svg|thumb|L'attracteur de Lorenz.]]
L’'''attracteur de Lorenz''' est une structure [[fractale]] correspondant au comportement à long terme de l'oscillateur de Lorenz. L'[[attracteur]] montre comment les différentes variables du système dynamique évoluent dans le temps en une trajectoire non périodique.

En 1963, le météorologue [[Edward Lorenz]] est le premier à mettre en évidence le caractère vraisemblablement [[Théorie du chaos|chaotique]] de la [[météorologie]]. Le modèle de Lorenz, appelé aussi [[système dynamique de Lorenz]] ou oscillateur de Lorenz, est une modélisation simplifiée de phénomènes météorologiques basée sur la [[mécanique des fluides]]. Ce modèle est un [[système dynamique]] tridimensionnel qui engendre un comportement chaotique dans certaines conditions.

Le modèle de Lorenz a eu des répercussions importantes en montrant les limites possibles sur la capacité de [[prédiction dynamique|prédiction]] à long terme de l'évolution climatique et météorologique. C'est un élément important de la théorie selon laquelle l'{{page h'|Atmosphère (astronomie)|atmosphère}} des [[planète]]s et des [[étoile]]s peut comporter une grande variété de régimes quasi périodiques et est sujette à des changements abrupts et, en apparence, aléatoires. C'est aussi un exemple utile à la théorie des systèmes dynamiques servant de source à de nouveaux concepts mathématiques{{sfn|Ghys|2010}}.

== Modèle de Lorenz ==
L'attracteur et les équations associées ont été rendues publiques en 1963 par [[Edward Lorenz]].

Mathématiquement, le couplage de l'[[atmosphère terrestre]] avec l'[[océan]] est décrit par le système d'[[équation aux dérivées partielles|équations aux dérivées partielles]] couplées de [[Équations de Navier-Stokes|Navier-Stokes]] de la [[mécanique des fluides]]. Ce [[système d'équations]] était beaucoup trop compliqué à [[Résolution numérique des équations différentielles|résoudre numériquement]] pour les ordinateurs existant au temps de Lorenz. Celui-ci eut donc l'idée de chercher un modèle très simplifié de ces équations pour étudier une situation physique particulière : le phénomène de [[convection]] de [[John William Strutt Rayleigh|Rayleigh]]-[[Henri Bénard|Bénard]]. Il aboutit alors à un [[système dynamique]] [[équation différentielle|différentiel]] possédant seulement ''trois'' degrés de liberté, beaucoup plus simple à intégrer numériquement que les équations de départ.

=== Système dynamique différentiel de Lorenz ===
Ce [[système différentiel]] s'écrit :
:<math>\begin{cases} \dfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=\sigma\left[y(t)-x(t)\right]\\
\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}=\rho \, x(t) - y(t) - x(t) \, z(t)\\
\dfrac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t} =x(t) \, y(t) - \beta \, z(t) \end{cases}</math>
où {{mvar|σ}}, {{mvar|ρ}} et {{mvar|β}} sont trois paramètres strictement positifs, fixés. Le système provenant de la simplification des équations régissant la [[Instabilité de Rayleigh-Bénard|convection de Rayleigh-Bénard]], les paramètres sont dénommés d'après leur origine physique : {{math|σ}} est le [[nombre de Prandtl]], et {{math|ρ}}, abusivement dénommé « nombre de Rayleigh », est en fait le rapport du [[nombre de Rayleigh]] Ra au nombre de Rayleigh critique Ra{{ind|c}} (Ra{{ind|c}} est la valeur de Ra au-dessus de laquelle le système physique ne peut pas rester invariant au cours du temps, où donc il est sujet à des mouvements de [[convection thermique|convection]]).

Les variables dynamiques {{mvar|x}}, {{mvar|y}} et {{mvar|z}} représentent l'état du système à chaque instant. L'interprétation physique en est la suivante : {{math|''x''(''t'')}} est proportionnel à l'intensité du mouvement de convection, {{math|''y''(''t'')}} est proportionnel à la différence de température entre les courants ascendants et descendants, et {{math|''z''(''t'')}} est proportionnel à l'écart du profil de température vertical par rapport à un profil linéaire<ref>Tels que définis dans {{Harvsp|Lorenz|1963|p=135}}.</ref>.

On pose souvent {{mvar|σ}} = 10 et {{mvar|β}} = 8/3, {{mvar|ρ}} restant variable. Le système présente un comportement chaotique pour {{mvar|ρ}} = 28, après un certain temps en régime pseudo-périodique (de l'ordre de 30 secondes). Cette durée dépend de {{mvar|ρ}} : elle peut monter à 180 secondes pour {{mvar|ρ}} = 24,3. Le seuil d'établissement du régime chaotique se situe entre 24,29 et 24,30 pour ces valeurs de {{mvar|σ}} et {{mvar|β}}<ref>La valeur du seuil peut dépendre des paramètres de résolution numérique du système.</ref>.

==== Points d'équilibre ====
Les [[Flot (mathématiques)|points d'équilibre]], ou points fixes, du système sont les solutions {{math|(''x'',''y'',''z'')}} constantes du [[système différentiel]]. Il en existe un ou trois :
* le [[point fixe]] (0, 0, 0) existe quelles que soient les valeurs des paramètres réels {{mvar|σ}}, {{mvar|ρ}} et {{mvar|β}}. Il est stable quand <math>\rho<1</math> (convergence vers l'état de repos, pas de convection), instable dans le cas contraire (convection) ;
* les deux points fixes symétriques <math>\left( - \sqrt{\beta(\rho - 1)},-\sqrt{\beta( \rho - 1)},  \rho - 1\right)</math> et <math>\left( \sqrt{\beta( \rho - 1)},\sqrt{\beta( \rho - 1)}, \rho - 1 \right)</math> n'existent que pour <math>\rho\ge1</math>. Selon les valeurs de {{mvar|σ}} et {{mvar|ρ}}, ils sont stables (convection stationnaire) ou instables (convection fluctuant périodiquement, ou bien chaotique).

== Description ==
[[Fichier:Lorentz сhaos as black hole.ogv|vignette|Absorption de 25 000 points par un attracteur de Lorenz.]]
L'attracteur de Lorenz est défini comme l'ensemble des trajectoires à long terme  du système dynamique de Lorenz ci-dessus.

En effet lorsque les paramètres {{mvar|σ}}, {{mvar|ρ}} et {{mvar|β}} prennent les valeurs suivantes : {{mvar|σ}} = 10, {{mvar|ρ}} = 28 et {{mvar|β}} = 8/3, le système dynamique différentiel de Lorenz présente un  [[attracteur]] étrange en forme d'ailes de papillon, représenté sur la figure ci-contre.

Pour presque toutes les [[condition initiale|conditions initiales]] (différentes de celles des points fixes), l'[[flot (mathématiques)|orbite du système]] s'approche rapidement de l'attracteur, la trajectoire commençant par s'enrouler sur une aile, puis sautant d'une aile à l'autre pour commencer à s'enrouler sur l'autre aile, et ainsi de suite, de façon apparemment erratique.

<span id="existenz">L'existence d'un [[attracteur]] étrange pour certaines valeurs des paramètres a été conjecturée par Edward Lorenz dès 1963 sur la base de simulations numériques. Il a cependant fallu attendre 2001 pour avoir une démonstration rigoureuse de ce fait par [[Warwick Tucker]]<ref>{{Harvsp|Tucker|2002}}.</ref>.</span>

L'attracteur, dans ces cas, est une [[fractale]] de [[dimension de Hausdorff]] comprise entre 2 et 3<ref>{{Article|lang=en|nom=Grassberger|prénom=P.|nom2=Procaccia|prénom2=I.|titre=Measuring the strangeness of strange attractors|revue=Physica D|année=1983|vol=9|numéro=1-2|p.=189-208|bibcode=1983PhyD....9..189G|doi=10.1016/0167-2789(83)90298-1}} ont estimé sa valeur à 2,06 ± 0,01 et sa [[dimension de corrélation]] à {{nobr|2,05 ± 0,01.}}</ref>.

<gallery mode="packed">
Image:Lorenz attractor yb.svg|{{mvar|ρ}} = 28, {{mvar|σ}} = 10, {{mvar|β}} = 8/3
Image:LorenzAttractor.png
Image:Lorenz Ro28-200px.png|{{mvar|ρ}} = 28
Image:Lorenz Ro15-200px.png|{{mvar|ρ}} = 15
File:Lorenz apparition small.gif|Animation de {{mvar|ρ}} = 0 à 28
</gallery>

== Variantes ==
Afin d'étudier mathématiquement l'attracteur de Lorenz des modèles rigoureux mais distincts de celui-ci sont apparus dans la littérature scientifique<ref>Appelés « modèles géométriques de Lorenz », cf. {{Harvsp|Afraimovich|Bykov|Shil’nikov|1977}} et {{Harvsp|Guckenheimer|Williams|1979}}.</ref>. Leur intérêt principal étant qu'ils étaient plus faciles à étudier et surtout on était sûr de leur existence (néanmoins on ignorait si l'attracteur de Lorenz était correctement décrit par ces modèles, voir [[#existenz|plus haut]]).

== Notes et références ==
{{Références|colonnes=2}}

== Voir aussi ==
{{Autres projets
 | commons       = Category:Lorenz attractors
}}

=== Bibliographie ===
* {{Article | langue =en 
 | prénom1 =Edward N. | nom1 =Lorenz | lien auteur1 =Edward Lorenz
 | titre=Deterministic nonperiodic flow
 | périodique      =J. Atmos. Sci.
 | volume          =20|numéro=2
 | année           =1963
 | pages           =130-141
| doi=<!--remplacé < et > par %3c et %3e-->10.1175/1520-0469(1963)020%3c0130:DNF%3e2.0.CO;2
 | url texte       =http://journals.ametsoc.org/doi/pdf/10.1175/1520-0469%281963%29020%3C0130%3ADNF%3E2.0.CO%3B2 
}}
* {{article|langue=ru
|prénom1=V. S.|nom1=Afraimovich
|prénom2=V. V.|nom2=Bykov
|prénom3=L. P.|nom3=Shil’nikov
|titre=The origin and structure of the Lorenz attractor
|journal=Dokl. Akad. Nauk SSSR
|volume=234
|année=1977
|tome=2
|pages=336-339
}}.
* {{article|langue=en
|prénom1=J.|nom1=Guckenheimer
|prénom2=R. F.|nom2=Williams
|titre=Structural stability of Lorenz attractors
|journal=Inst. Hautes études Sci. Publ. Math.
|volume=50
|année=1979
|pages=59-72
}}.
* {{article|langue=en
|prénom1=W.|nom1=Tucker
|titre=A Rigorous ODE Solver and Smale's 14th Problem
|journal=[[Foundations of Computational Mathematics]]
|volume=2
|année=2002
|pages=53-117
|lire en ligne=http://www.math.uu.se/~warwick/main/rodes.html
}}.
* {{article|langue=en
|prénom1=R. F.|nom1=Williams
|titre=The structure of Lorenz attractors
|journal=Inst. Hautes études Sci. Publ. Math.
|volume=50
|année=1979
|pages=73-99
}}
* {{chapitre
|auteur=[[Étienne Ghys]]
|titre chapitre=L'attracteur de Lorenz, paradigme du chaos
|titre ouvrage=Séminaire Poincaré
|volume=XIV
|année=2010
|pages=1-52
|url=http://www.bourbaphy.fr/ghys.pdf
|format électronique=Pdf
}}

=== Articles connexes ===
* [[Attracteur de Rössler]]
* [[Système dynamique]]/[[Théorie des systèmes dynamiques]]

=== Liens externes ===
* [http://sourceforge.net/projects/lorenz/ Animation graphique de dessin de l'attracteur de Lorenz]
* [http://experiences.math.cnrs.fr/Modele-de-Lorenz.html Expérience numérique interactive en ligne de l'attracteur de Lorenz] sur experiences.math.cnrs.fr

{{Portail|analyse|sciences|physique}}

[[Catégorie:Système dynamique remarquable]]
[[Catégorie:Méthode mathématique de la physique]]
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[[Catégorie:Système]]
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