Voir la source de Axiome du choix

[[Fichier:Axiome du choix.png|vignette|upright=1.5|Pour tout ensemble d'ensembles non vides (les jarres), il existe une fonction qui associe à chacun de ces ensembles (ces jarres) un élément contenu dans cet ensemble (cette jarre).]]
En [[mathématiques]], l''''axiome du choix''', abrégé en « '''AC''' », est un [[axiome]] de la [[théorie des ensembles]] qui {{Citation|affirme la possibilité de construire des ensembles en répétant une infinité de fois une action de choix, même non spécifiée explicitement<ref>{{Chapitre|auteur=[[Patrick Dehornoy]]|titre ouvrage=Logique et théorie des ensembles, Notes de cours, FIMFA ENS|numéro chapitre=4|titre=L'axiome du choix|url=https://dehornoy.users.lmno.cnrs.fr/Surveys/DehornoyChap4.pdf|année=2006|page=104}}.</ref>.}}

[[Giuseppe Peano]] en donne le premier énoncé explicite en 1890 dans ''Démonstration de l'intégrabilité des équations différentielles ordinaires,''<ref>{{Ouvrage|prénom1=Hubert C.|nom1=Kennedy|titre=Peano, life and works of Giuseppe Peano|éditeur=D. Reidel Pub. Co|collection=Studies in the history of modern science|date=1980|passage=33|isbn=978-90-277-1067-3|isbn2=978-90-277-1068-0}}</ref> quatorze ans avant qu'[[Ernst Zermelo|Ernest Zermelo]] ne l'énonce pour la démonstration du [[théorème de Zermelo]]<ref>{{Article|langue=de|prénom1=E.|nom1=Zermelo|titre=Beweis, daß jede Menge wohlgeordnet werden kann|périodique=[[Mathematische Annalen]]|volume=59|date=1904-12-01|doi=10.1007/BF01445300|lire en ligne=https://link.springer.com/article/10.1007/BF01445300|consulté le=2016-04-18|pages=514–516}}.</ref>.

L'axiome du choix peut être accepté ou rejeté, selon la [[théorie axiomatique]] des ensembles choisie.

== Énoncé ==
L'axiome du choix peut s'énoncer comme suit :
:(0) ''« Pour tout ensemble X d'ensembles non [[Ensemble vide|vides]], [[il existe]] une [[Fonction (mathématiques)|fonction]] définie sur X, appelée '''fonction de choix''', qui à chaque ensemble A appartenant à X associe un élément de cet ensemble A. »''
ce qui s'écrit formellement :
<math>\forall X\left[\varnothing\notin X\Longrightarrow\exists f:X\rightarrow \bigcup X\;\forall A\in X\;(f(A)\in A)\right]</math><ref>{{Harvsp|Dehornoy|2006|p=106}}.</ref>.

L'appel à cet axiome n'est pas nécessaire si ''X'' est un [[ensemble fini]] car c'est une conséquence de la définition d'[[ensemble non vide]] (c'est-à-dire qu'il existe un élément appartenant à cet ensemble). Dans ce cas, le résultat se montre par récurrence sur le nombre d'éléments de ''X''.

Il y a d'autres cas où une fonction de choix ''f'' peut être définie sans l'axiome du choix. Par exemple, pour un ensemble ''X'' d'ensembles non vides d'entiers naturels, on peut définir une fonction de choix en posant, pour ''A'' un élément de ''X'', ''f''(''A'') égal au [[plus petit élément]] de ''A'' (on s'est servi de la propriété de [[bon ordre]] sur les [[Entier naturel|entiers naturels]], et non de l'axiome du choix). Cependant dans le cas général, l'existence d'une fonction de choix repose sur l'axiome ci-dessus, par exemple pour démontrer le [[Théorème de König (théorie des ensembles)|théorème de König]].

=== Autres formulations ===

On trouve d'autres formulations de l'axiome du choix, très proches de la précédente, dont les suivantes :

* (0') Pour tout ensemble ''E'', il existe une fonction qui à chaque partie non vide de ''E'' associe un élément de cette partie.
* (1) Pour toute [[relation d'équivalence]] ''R'', il existe un [[Relation d'équivalence#Classe d'équivalence|système de représentants des classes]] de ''R''.
* (2) Toute [[surjection]] possède une [[Section (théorie des catégories)|section]].
* (3) Le [[Produit cartésien#Produit cartésien d'une famille d'ensembles|produit]] ∏{{ind|''i''∈''I''}} ''X{{ind|i}}'' d'une [[famille (mathématiques)|famille]] (''X{{ind|i}}''){{ind|''i''∈''I''}} d'ensembles non vides est non vide{{sfn|Dehornoy|2006|p=109}}{{,}}<ref>{{Ouvrage|langue=en|auteur1=H. Rubin|auteur2=J. E. Rubin|titre=Equivalents of the Axiom of Choice|volume=II|éditeur=[[Elsevier (éditeur)|North-Holland Publishing Company]]|année=1985|lire en ligne={{Google Livres|LSsbBU9FesQC|page=8}}|page=8}}.</ref>.

{{démonstration|titre=Démonstration des équivalences|contenu=
*(0') ⇔ (0) : (0') est un cas particulier de (0). Réciproquement, on déduit (0) de (0') en prenant comme ensemble ''E'' la réunion des ensembles appartenant à ''X'' : (0') fournit une fonction de choix sur les parties non vides de ''E'', en particulier sur les parties appartenant à ''X''.
*(0) ⇒ (1) : soit ''R'' une relation d'équivalence sur un ensemble ''E''. En appliquant (0) à l'ensemble ''X'' des classes d'équivalence de ''R'', on obtient une partie ''F'' de ''E'' telle que tout élément de ''E'' est ''R''-équivalent à un unique élément de ''F''.
*(1) ⇒ (2) : à toute surjection ''s'' : ''E'' → ''I'' est associée une relation d'équivalence ''R'' sur ''E'' : deux éléments sont équivalents s'ils ont même image par ''s''. Un [[Loi de composition interne#Inversibilité|inverse à droite]] pour ''s'' est donné par un choix de représentants de ''R''.
*(2) ⇒ (3) : pour (''X{{ind|i}}''){{ind|''i''∈''I''}} une famille d'ensembles non vides, notons ''E'' la [[réunion disjointe]] des ''X''{{ind|''i''}}, c'est-à-dire l'ensemble de tous les couples (''i'', ''x'') tels que ''x'' appartienne à ''X''{{ind|''i''}}. Alors la première projection, de ''E'' dans ''I'', qui à (''i'', ''x'') associe ''i'', est une surjection, dont toute section fournit un élément du produit des ''X''{{ind|''i''}}.
*(3) ⇒ (0) : soit ''X'' un ensemble d'ensembles non vides. En appliquant (3) à la famille de ces ensembles, indexée par ''X'' lui-même, on construit un élément de leur produit, c'est-à-dire une fonction de choix.
}}

== Énoncés équivalents ==
{{Voir|Théorème de Zermelo|Lemme de Zorn}}
L'axiome du choix est souvent utilisé par l'intermédiaire de l'un des deux énoncés suivants qui lui sont équivalents :
* [[Théorème de Zermelo]] : « Tout ensemble peut être muni d'un [[bon ordre]] » ;
* [[Lemme de Zorn]] : « Tout [[ensemble inductif]] admet un [[élément maximal]] ».
Le théorème de Zermelo implique immédiatement l'axiome du choix : comme pour les entiers naturels {{supra|Énoncé}}, si ''E'' est muni d'un bon ordre, le minimum pour celui-ci fournit une fonction de choix sur l'ensemble des parties non vides de ''E'' (énoncé (0')).

On peut montrer que le lemme de Zorn implique le théorème de Zermelo (et donc l'axiome du choix, d'après ce qui précède) et, directement mais par la même méthode, que le lemme de Zorn implique l'axiome du choix.

Il est un peu plus délicat de démontrer que l'axiome du choix implique le lemme de Zorn (et donc le théorème de Zermelo). On peut utiliser dans les deux cas assez naturellement la théorie des [[ordinal|ordinaux]], mais il est possible de démontrer le lemme de Zorn en travaillant directement sur la structure d'ordre de l'inclusion sur un ensemble de parties (c'est un ensemble inductif).

== Indépendance de l'axiome du choix relativement à ZF ==
L'axiome du choix ne fait pas partie du jeu d'axiomes de la théorie des ensembles [[Théorie des ensembles|ZF]]. On appelle théorie [[ZFC]], la théorie ZF munie en plus de l'axiome du choix.

En 1938, [[Kurt Gödel]] démontre que ZF+AC est une [[Cohérence (logique)|théorie cohérente]] si ZF l'est<ref>{{Article|lang=en|prénom=Kurt|nom=Gödel|titre=The Consistency of the Axiom of Choice and of the Generalized Continuum-Hypothesis|lien périodique=Proceedings of the National Academy of Sciences|revue=PNAS|vol=24|numéro=12|année=1938|passage=556–557|doi=10.1073/pnas.24.12.556}}.</ref>{{,}}<ref>{{en}} Kurt Gödel, ''The Consistency of the Axiom of Choice and of the Generalized Continuum-Hypothesis with the Axioms of Set Theory'', [[Princeton University Press]], 1940, 72 pages, {{ISBN|978-0-69107927-1}} {{Lire en ligne|url=https://books.google.fr/books?id=rXjGFI6IvvkC}}.</ref>.

En 1963, [[Paul Cohen]] démontre que ZF+(non)AC est aussi une théorie cohérente si ZF l'est. Ce qui achève la démonstration de l’indépendance de l'axiome du choix vis-à-vis des autres axiomes de ZF.

Cet axiome fait partie des axiomes optionnels et controversés de la théorie des ensembles. En effet, l'existence d'un objet défini à partir de l'axiome du choix n'est pas une existence [[Constructivisme (mathématiques)|constructive]], c’est-à-dire que l'axiome ne décrit aucunement comment [[Analyse constructive|construire]] l'objet dont on affirme l'existence<ref>Une telle construction est d'ailleurs démontrée impossible (en n'utilisant que les axiomes de ZF), car sinon, elle donnerait une preuve de l'axiome du choix dans ZF, contredisant le résultat de Paul Cohen.</ref>. Ainsi, dire qu'il existe une base de l'espace vectoriel des [[Continuité (mathématiques)|fonctions continues]] de ℝ dans ℝ ne permet en aucune façon de décrire une telle base. De ce point de vue, l'axiome du choix peut paraître d'un intérêt limité et c'est pourquoi certains mathématiciens se montrent plus satisfaits d'une démonstration s'ils peuvent éviter d'avoir recours à cet axiome du choix. Mais la plupart des mathématiciens l'utilisent sans réticence particulière.

== Une illustration due à Bertrand Russell ==
[[Bertrand Russell]] disait à propos de l'axiome du choix : {{citation|Pour choisir une chaussette plutôt que l'autre pour chaque [[paire]] d'une [[Ensemble infini|collection infinie]], on a besoin de l'axiome du choix. Mais pour les chaussures, ce n'est pas la peine<ref>La métaphore des chaussettes et des chaussures se trouve dans ''Introduction to Mathematical Philosophy'' de Bertrand Russell, (1993) [1919], [[Dover Publications|Dover]], New York {{ISBN|978-0-486-27724-0}}, {{p.|125-127}}.</ref>.}}

Explication :
* Les deux chaussettes d'une même paire sont indistinguables. Même si chaque matin on arrive à choisir celle qu'on va mettre en premier, il n'y a pas de procédé général qui permette de décider à l'avance cette infinité de choix ;
* Pour les chaussures, on distingue la chaussure gauche de la chaussure droite. Ainsi, il existe une fonction de choix naturelle : par exemple, toujours choisir la chaussure gauche<ref name=":0" />.

== Exemples de théorèmes nécessitant l'axiome du choix ==
* La première utilisation explicite de cet axiome est due à [[Giuseppe Peano|Peano]], en 1890, pour démontrer l'existence de certaines solutions d'[[équations différentielles]]<ref>{{Ouvrage|langue=en|prénom1=Jon|nom1=Barwise|lien auteur1=Jon Barwise|titre=Handbook of Mathematical Logic|éditeur=Elsevier|lieu=Amsterdam/New York|année=1989|numéro d'édition=8|pages totales=1165|passage=347|isbn=978-0-444-86388-1|lire en ligne=https://books.google.fr/books?id=b0Fvrw9tBcMC&pg=PA347}}, citant {{Ouvrage|langue=en|prénom1=Abraham Adolf|nom1=Fraenkel|lien auteur1=Abraham Adolf Fraenkel|prénom2=Yehoshua|nom2=Bar-Hillel|lien auteur2=Yehoshua Bar-Hillel|nom3=[[Azriel Lévy]]|titre=Foundation of Set Theory|éditeur=Elsevier|collection=Studies in Logic|lieu=Amsterdam|numéro dans collection=67|année=1973|numéro d'édition=2|isbn=978-0-7204-2270-2}}.</ref>{{,}}<ref>{{MacTutor|class=history/HistTopics|id=Beginnings_of_set_theory|titre=A history of set theory}}</ref>.
* Le [[théorème de la base incomplète]] en dimension quelconque (et même simplement l'existence d'une base pour tout espace vectoriel<ref>{{en}} Andreas Blass, [http://www.math.lsa.umich.edu/~ablass/bases-AC.pdf « {{Langue|en|Existence of bases implies the axiom of choice}} »] {{pdf}}, ''{{Langue|en|Contemporary Mathematics}}'', '''31''' (1984), 31-33.</ref>) n'est vrai qu'en supposant l'axiome du choix.
* Le [[théorème de Krull]] (tout [[idéal propre]] d'un [[anneau commutatif]] est contenu dans un [[idéal maximal]]) est équivalent à l'axiome du choix.
* Le [[paradoxe de Banach-Tarski]] est (entre autres) une conséquence de l'axiome du choix.
* L'axiome du choix permet d'affirmer l'existence de parties de '''R''' non [[mesure (mathématiques)|mesurables]] [[Tribu de Lebesgue|au sens de Lebesgue]].
* L'ensemble *'''R''' des [[nombre hyperréel|hyperréels]] doit son existence à l'axiome de choix.
* En [[théorie des graphes]], les [[coloration de graphe|nombres chromatiques]] de la ligne et du plan dépendent de l'axiome du choix.
* Toute [[surjection]] admet un inverse à droite.
* Le [[théorème de comparabilité cardinale]], qui énonce que le [[préordre]] de l'injection est total, est équivalent à l'axiome du choix.
* Pour tout ensemble infini <math>E</math> et tout entier naturel <math>n</math>, l'ensemble <math>E^n</math> est équipotent à <math>E</math>. Cet énoncé est équivalent à l'axiome du choix.

== Formes faibles de l'axiome du choix ==
Il existe des formes faibles de l'axiome du choix que le mathématicien utilise couramment, la plupart du temps sans s'en apercevoir<ref>{{Ouvrage|langue=en|auteur1=[[Horst Herrlich]]|titre=Axiom of Choice|éditeur=[[Springer Science+Business Media|Springer]]|année=2006|page=21-26|isbn=|lire en ligne={{Google Livres|_0cDCAAAQBAJ|page=21}}|titre chapitre=Hidden Choice}}.</ref> à moins d'être logicien ou « [[Constructivisme (mathématiques)|constructiviste]] », et qui servent à « construire » des suites. Elles sont absolument indispensables pour l'exposé usuel des fondements de l'analyse.
=== Axiome du choix dénombrable ===
{{Article détaillé|contenu=Article détaillé : [[Axiome du choix dénombrable]].}}
Cet axiome, abrégé en « '''AC<sub>ω</sub>''' », est la restriction de l'axiome du choix aux familles [[Ensemble dénombrable|dénombrables]] :

::« Étant donné une famille dénombrable d'ensembles non vides, il existe une fonction qui à chacun d'entre eux associe un de ses éléments. »

Il est par exemple utilisé pour démontrer :
* qu'une union [[Ensemble dénombrable|dénombrable]] d'ensembles dénombrables est dénombrable<ref name=":0">En 1963, [[Paul Cohen]] a construit un [[Théorie des modèles|modèle]] (relatif) de ZF dans lequel une certaine famille dénombrable de paires n'a pas de fonction de choix, confirmant l'[[#Une illustration due à Bertrand Russell|intuition de Russell]]. La réunion d'une telle famille ne peut pas être dénombrable. La même année, [[Solomon Feferman]] et [[Azriel Lévy]] ont construit un modèle (relatif) de ZF dans lequel [[Puissance du continu|'''R''']] lui-même est réunion dénombrable d'ensembles dénombrables ({{Article |lang=en |auteur=P. Cohen |titre=The Independence of the Continuum Hypothesis |revue=[[Proceedings of the National Academy of Sciences|PNAS]] |vol=50 |numéro=6 |année=1963 |jstor=71858 |passage=1143-1148 }} et {{Article |lang=en |titre=The Independence of the Continuum Hypothesis, II |revue=PNAS |vol=51 |numéro=1 |année=1964 |jstor=72252 |passage=105-110 |auteur=Paul J. Cohen }} ; {{Article |lang=en |auteur=S. Feferman |auteur2=A. Lévy |titre=Independence results in set theory by Cohen's method II (abstract) |revue=[[Notices of the American Mathematical Society|Notices Amer. Math. Soc.]] |volume=10 |année=1963 |passage=593 }}).<!--https://books.google.fr/books?id=Q3VoJCRtQa4C&pg=PA143 https://books.google.fr/books?id=tiUpO-v5i9QC&pg=PA379--></ref> ;
* qu'un ensemble qui n'est pas [[ensemble fini|fini au sens usuel]] est [[Ensemble infini|infini]] au sens de [[Richard Dedekind|Dedekind]] (c'est-à-dire [[Équipotence|équipotent]] à l'un de ses sous-ensembles stricts)<ref>Plus précisément, l'axiome du choix dénombrable est une condition suffisante (mais non nécessaire) pour que tout ensemble fini au sens de Dedekind soit fini au sens usuel : voir par exemple {{Harvsp|Herrlich|2006|loc=chap. 4, p. 48}}. Par contre, dans une théorie sans axiome du choix, on montre que l'on ne peut exclure l'existence d'ensembles qui sont à la fois finis au sens de Dedekind et infinis au sens usuel.</ref> ;
* qu'une fonction définie sur [[Nombre réel|'''R''']] est continue en un point ''x'' dès qu'elle est [[Espace séquentiel#Espace de Fréchet-Urysohn|séquentiellement continue]] en ''x'' ;
* qu'un produit dénombrable d'espaces compacts est compact ;
* le [[théorème de Hahn-Banach]] pour un [[espace de Banach]] [[espace séparable|séparable]] ;
* le [[théorème des fermés emboités]] (dont l'une des conséquences est le [[théorème de Baire]]).

Attention à une confusion courante : c'est la famille d'ensembles qui est dénombrable, aucune hypothèse n'étant faite sur les ensembles composant cette famille. L'axiome du choix dénombrable ne concerne pas la question du choix d'un élément dans un ensemble dénombrable mais la possibilité de faire une infinité dénombrable de choix simultanément.

=== Axiome du choix dépendant ===
{{Article détaillé|contenu=Article détaillé : [[Axiome du choix dépendant]].}}
Cet axiome, abrégé en « DC », assure que, si ''R'' est une relation sur un ensemble non vide ''E'' vérifiant

{{retrait|<math>\forall x \in E\ \exists y \in E\ xRy,</math>}}

alors il existe une suite {{formule|(''x{{ind|n}}'')}} d'éléments de ''E'' telle que

{{retrait|<math>\forall n\ x_nRx_{n+1}.</math>}}

== Une forme plus forte de l'axiome du choix : l'epsilon de Hilbert ==

{{Article détaillé|Epsilon de Hilbert}}
[[David Hilbert]] a introduit l'opérateur ε, qui à toute propriété ''P'' associe un objet ε''x''.''P''(''x'') tel que, si ''P'' est vérifiée par au moins un élément, alors ''P'' est vérifiée par ε''x''.''P''(''x''). Cette construction permet de définir les quantificateurs et elle est utilisée par [[Nicolas Bourbaki]] pour développer sa théorie des ensembles, avec une variante notationnelle utilisant la lettre τ (tau)<ref>{{Bourbaki}}, section « Fondements des mathématiques ; logique ; théorie des ensembles », sous-section « La formalisation de la logique », p. 21, écrit :
{{Citation|[…] la plus intéressante'' [des modifications ingénieuses des langages formalisés actuels] ''est sans doute l'introduction par Hilbert du symbole : [[Tau|τ]], qui permet de considérer comme des signes abréviateurs les quantificateurs ∃  et ∀, d'éviter l'introduction du symbole fonctionnel « universel » [[Iota (lettre de l'alphabet grec)|ι]] de Peano et Russell (qui ne s'applique qu'à des relations fonctionnelles), et enfin dispense de formuler l'axiome du choix dans la théorie des ensembles  ([163 a], t.III, p. 183.)}}, la note ([163 a], t.III, p. 183.) renvoyant à : {{de}} D. Hilbert, ''Gesammelte Abhandlungen'', 3 vol., Berlin (Springer), 1932-35.</ref>.

Il est alors assez simple de montrer que l'axiome du choix devient un théorème, c'est-à-dire une conséquence des autres axiomes, et des règles logiques gouvernant l'emploi du tau{{note|nom=regles_logiques_tau|texte={{Ouvrage |prénom1=N. |nom1=Bourbaki |titre=[[Éléments de mathématique]] |volume=I |titre volume=Théorie des ensembles |isbn= |partie=1 |numéro chapitre=3 |titre chapitre=Théories quantifiées |référence=Référence:Théorie des ensembles (Bourbaki)}}.}}. L'opérateur tau fournit en effet une [[Axiome du choix global|« fonction » de choix universelle]], une construction (qui n'est pas une fonction au sens ensembliste) associant à tout ensemble non vide un élément de celui-ci. Tout énoncé de la théorie des ensembles de Bourbaki se traduit dans une théorie des ensembles de type ZF à laquelle on a ajouté un nouveau symbole de relation, et un axiome utilisant celui-ci qui exprime que cette relation est une relation de bon ordre sur tout [[Univers (logique)|l'univers]] : le principe du choix. Le tau peut alors s'interpréter par « le plus petit ''x'' vérifiant une propriété ''P'' s’il existe ». Si cette relation n’est vérifiée par aucun objet, alors ce tau est un objet {{cita|dont on ne peut rien dire{{note|nom=regles_logiques_tau}}}}.

On associe de cette façon à tout énoncé clos démontrable dans la théorie de Bourbaki un énoncé traduit utilisant ce nouveau symbole qui est démontrable dans la théorie des ensembles ZF dont les schémas d'axiomes (on peut se restreindre au [[schéma d'axiomes de remplacement]]) ont été étendus aux énoncés contenant le nouveau symbole, et avec le principe du choix. En ajoutant l'[[axiome de fondation]], la nouvelle théorie est conservative au-dessus de la théorie ZFC (avec axiome de fondation)<ref>Ceci se démontre en utilisant une variante simple de la méthode de [[forcing]], qui n'utilise pas de générique, voir {{Krivine98}}, chap. 10.</ref>, c'est-à-dire qu'elle ne démontre pas de nouvel énoncé du langage initial.

== Notes et références ==
{{Références}}

== Voir aussi ==
=== Article connexe ===
* [[Axiome de détermination]]

=== Liens externes ===
* [[Hadamard]], [[Émile Borel|Borel]], [[René Baire|Baire]], [[Henri Lebesgue|Lebesgue]] : [http://www.numdam.org/numdam-bin/fitem?id=BSMF_1905__33__261_1 ''Cinq lettres sur la théorie des ensembles''] (sur [[numdam]]), ''Bulletin de la [[Société mathématique de France|SMF]]'', t. 33, 1905, {{p.|261-273}}
* {{en}} ''[http://www.math.vanderbilt.edu/~schectex/ccc/choice.html A home page for the Axiom of Choice] - an introduction and links collection'', par [[Eric Schechter]], de l'[[université Vanderbilt]]
* {{Lien web|lang=en|url=http://karagila.org/2014/on-the-partition-principle|titre=On the partition principle|auteur=Asaf Karagila|année=2014}}
* Xavier Caruso, [http://xavier.toonywood.org/popularization/choix.pdf  ''L'axiome du choix'' (lire en ligne)] (PDF)
* David Madore, [http://www.madore.org/~david/math/ac_var.html Axiome du choix], 1999

=== Ouvrages ===
* {{Ouvrage|langue=en|auteur1=Paul Howard|auteur2=Jean Rubin|titre=Consequences of the Axiom of Choice|éditeur=[[American Mathematical Society|AMS]]|collection={{Lien|langue=en|fr=Mathematical Surveys and Monographs}}|numéro dans collection=59|année=1998|isbn=|lire en ligne={{Google Livres|ffXxBwAAQBAJ}}}}
* {{Ouvrage|langue=en|auteur1=[[Thomas Jech|Thomas J. Jech]]|titre=The Axiom of Choice|éditeur=Dover|année=2008|année première édition=1973|isbn=|lire en ligne={{Google Livres|pFnrGid7KxIC}}}}

{{Portail|mathématiques}}

[[Catégorie:Axiome de la théorie des ensembles|Choix]]