Voir la source de B-spline

[[Image:B-spline curve.svg|vignette|B-spline.]]
En [[mathématiques]], une '''B-spline''' est une [[combinaison linéaire]] de [[spline]]s positives à [[Support de fonction|support compact]] minimal. Les B-splines sont la généralisation des [[courbe de Bézier|courbes de Bézier]], elles peuvent être à leur tour généralisées par les [[NURBS]].

== Définition ==
Étant donné ''m''+1 nœuds ''t''<sub>''i''</sub> dans [0, 1] avec
{{retrait|1= <math>0 \le t_0 \le t_1 \le \ldots \le t_m \le 1</math> }}
une '''courbe spline''' de degré <math>n</math> est une courbe paramétrique
{{retrait|1= <math>\mathbf{S} \,:\, [0,1] \to \mathbb{R}^d</math> }}
composée de fonctions B-splines de degré ''n''
{{retrait|1= <math>\mathbf{S}(t) = \sum_{i = 0}^{m - n - 1} b_{i, n} (t) . \mathbf{P}_{i} \,,\, t \in [t_{n}, t_{m-n}]</math>, }}
où les '''P'''<sub>''i''</sub> forment un polygone appelé '''polygone de contrôle''' ; le nombre de points de contrôle composant ce polygone est égal à ''m''-''n''.

Les ''m''-''n'' fonctions B-splines de degré ''n'' sont définies par récurrence (récurrence de Cox-de Boor) sur le degré inférieur :
{{retrait|1= <math>b_{j, 0}(t) := \left\{
\begin{matrix}
1 & \mathrm{si} \quad t_j \leqslant t < t_{j + 1} \\
0 & \mathrm{sinon}
\end{matrix}
\right.
</math> }}
{{retrait|1= <math>b_{j, n}(t) := \frac{t - t_j}{t_{j + n} - t_j} b_{j, n - 1}(t) + \frac{t_{j + n + 1} - t}{t_{j + n + 1} - t_{j + 1}} b_{j + 1, n - 1}(t).</math> }}

Quand les nœuds sont équidistants, c’est-à-dire quand ils sont en progression arithmétique, les B-splines sont dites « uniformes » : c'est le cas des [[Courbe de Bézier|courbes de Bézier]] qui sont des B-splines uniformes, dont les nœuds ''t''<sub>''i''</sub> (pour ''i'' entre 0 et ''m'') forment une [[suite arithmétique]] de 0 à 1 avec un pas constant 1/''m'', et où le degré ''n'' de la courbe de Bézier ne peut être supérieur à ''m''.

Par extension, lorsque deux nœuds successifs <math>t_j</math> et <math>t_{j+1}</math> sont confondus, on pose <math>\frac{0}{0} = 0</math> : cela a pour effet de définir une discontinuité de la tangente, pour le point de la courbe paramétré par une valeur de ''t'', donc d'y créer un sommet d'angle non plat ; toutefois il est souvent plus simple de définir ce « B-spline étendu » comme l'union de deux B-splines définis avec des nœuds distincts, ces splines étant simplement joints par ce sommet commun, sans introduire de difficulté dans l'évaluation paramétrique ci-dessus des B-splines pour certaines valeurs du paramètre ''t''. Mais cela permet de considérer alors tout [[polygone simple]] comme un B-spline étendu.

== Propriétés ==

La forme des fonctions de base est déterminée par la position des nœuds.

La courbe est à l'intérieur de l'[[enveloppe convexe]] des points de contrôle.

Une B-spline de degré ''n''
{{retrait|1= <math>b_{i,n}(t)</math> }}
est non nulle dans l'intervalle [''t''<sub>''i''</sub>, ''t''<sub>''i+n+1''</sub>[ :
{{retrait|1= <math>b_{i,n}(t) = \left\{\begin{matrix} 
>0 & \mathrm{si} \quad t_{i} \leqslant t < t_{i+n+1} \\
0 & \mathrm{sinon} 
\end{matrix}
\right.
</math> }}

En d'autres termes, déplacer un point de contrôle ne modifie que localement l'allure de la courbe.

== B-splines en une dimension ==

Les B-splines peuvent être utilisées comme fonctions de base dans la [[théorie de l'approximation]]. La B-spline de degré ''n'' est donnée par :
{{retrait|1= <math>\forall x\in \R ,\ \beta^n (x) = \sum_{k=0}^{n+1} (-1)^k \frac{(n+1)}{(n+1-k)!k!} \left(x-k+\frac{n+1}{2} \right)_+^n</math>, }}
où ''(y)''<sub>+</sub> est une version étendue de la fonction [[Partie positive et partie négative d'une fonction|partie positive]] :
{{retrait|1= <math>(x)_+^n = \begin{cases}0 & \text{ si } x<0\\ \tfrac12 & \text{ si } x=0 \text{ et } n=0 \\ 1 & \text{ si } x>0 \text{ et } n=0 \\ x^n & \text{ si } x\geqslant 0 \text{ et } n\geqslant 1 \end{cases}</math> }}

On reconnaît notamment la spline de degré 0 comme la [[fonction porte]].

Ces fonctions ne sont pas interpolantes, mais leur régularité élevée sur un support compact en font des candidats intéressants dans l'approximation de fonctions<ref>{{Article |langue=en |auteur1=P. Thevenaz|auteur2 =T. Blu|auteur3=M. Unser|titre=Interpolation revisited  |périodique=IEEE Transactions on Medical Imaging |volume=19 |numéro=7 |mois=juillet |année=2000 |consulté le=9 février 2015 |doi=10.1109/42.875199 }}</ref>.

== Références ==
{{Références}}

== Liens internes ==
* [[Spline]]
* [[Courbe de Bézier]]

== Liens externes ==
{{autres projets
|wikt=B-spline
}}
* {{en}} [http://bigwww.epfl.ch/tutorials/unser_icip_05.pdf Splines: A unifying framework for image processing] (tutoriel sur les B-splines)
{{Palette Analyse numérique}}{{Portail|géométrie}}

[[Catégorie:Spline]]
[[Catégorie:Interpolation polynomiale]]

[[de:Spline#B-Splines]]