Voir la source de Base (algèbre linéaire)

{{Voir homonymes|Base}}
[[Fichier:3d two bases same vector.svg|vignette|Le même [[vecteur]] peut être représenté dans deux bases différentes (flèches violettes et rouges).]]
En [[mathématiques]], une '''base''' d'un [[espace vectoriel]] ''V'' est une [[Famille (mathématiques)|famille]] de [[vecteur]]s de ''V'' [[Indépendance linéaire|linéairement indépendants]] et dont tout vecteur de ''V'' est [[combinaison linéaire]]<ref>{{MathWorld|nom_url=VectorBasis|titre=Vector Basis}}.</ref>. En d'autres termes, une base de ''V'' est une [[famille libre]] de vecteurs de ''V'' qui [[famille génératrice|engendre]] ''V''.

== Introduction géométrique ==
[[Fichier:Basis graph (no label).svg|alt=|vignette|upright=2|<math>(-2,1)=-2(1,0)+(0,1)</math>.]]
La géométrie plane, celle d'[[Géométrie euclidienne|Euclide]], peut comporter une approche algébrique, celle de [[Descartes]]. En utilisant les [[coordonnées cartésiennes]], on peut identifier un [[vecteur]] du plan à un couple de [[nombre réel|réels]]. Par exemple, la figure montre comment placer le vecteur <math>\overrightarrow u=(-2,1)</math>. On se sert alors des deux vecteurs de référence (dessinés en violet et rouge) pour le dessiner. Ainsi, tous les [[vecteur]]s du plan peuvent être exprimés de manière unique en termes de nombres vis-à-vis de deux vecteurs de référence. Ces deux vecteurs sont appelés [[base canonique]] du plan. En les notant respectivement <math>\overrightarrow i</math> et <math>\overrightarrow j</math>, un vecteur quelconque <math>\overrightarrow v</math> du plan s'exprime comme combinaison linéaire de ces deux vecteurs :
:<math>\overrightarrow v=x\overrightarrow i+y\overrightarrow j</math>
où <math>x</math> et <math>y</math> sont des nombres réels. Par exemple, 
:<math>\overrightarrow u=(-2,1)=-2\overrightarrow i+\overrightarrow j=-2(1,0)+(0,1)</math>.
Cette écriture permet d'effectuer des calculs simplement. Par exemple, on peut additionner deux vecteurs <math>\overrightarrow{w_1}=x_1\overrightarrow i+y_1\overrightarrow j</math> et <math>\overrightarrow{w_2}=x_2\overrightarrow i+y_2\overrightarrow j</math> (où <math>x_1</math>, <math>x_2</math>, <math>y_1</math> et <math>y_2</math> sont des réels) de la façon suivante :
:<math>\overrightarrow{w_1}+\overrightarrow{w_2}=(x_1+x_2)\overrightarrow i+(y_1+y_2)\overrightarrow j</math>.
Cette addition a une signification géométrique. Ainsi, il existe des connexions entre géométrie et [[calcul algébrique]].

[[Image:rp_plan.png|thumb|upright=2|Le couple de vecteurs <math>(i,j)</math> est une base du plan.]]
Cette base n'est pas unique. En fait, n'importe quel couple de vecteurs du plan choisi au hasard forme une base, à condition que les deux vecteurs ne soient pas [[colinéarité|colinéaires]] (c'est-à-dire qu'il s'agit d'une famille libre). Les deux vecteurs peuvent alors être utilisés pour exprimer tous les autres vecteurs (c'est-à-dire qu'il s'agit d'une famille génératrice). La décomposition selon ces deux vecteurs est alors unique. La figure ci-contre montre une autre base du plan. Travailler dans d'autres bases que la base canonique permet de simplifier grandement les calculs, si la base choisie est adaptée au problème.

Cette notion de base se généralise à toute [[espace vectoriel|structure vectorielle]]. Cela offre les mêmes avantages que pour les bases du plan, à savoir un cadre simple dans lequel tout vecteur possède une unique écriture, qui facilite les calculs dans cette structure.

== Définitions formelles ==
Soit <math>E</math> un espace vectoriel sur un [[corps commutatif]] <math>K</math>.

=== Famille libre ===
{{article détaillé|Famille libre}}
Une famille finie <math>(e_1,\ldots,e_n)</math> de vecteurs de ''E'' est dite ''libre'' si :
:<math>\forall(\lambda_1,\ldots,\lambda_n)\in K^n\ \left(\sum_{i=1}^n \lambda_ie_i=0\Longrightarrow\lambda_1=\lambda_2=\dots=\lambda_n=0\right)</math>.
Dans le cas contraire, elle est dite ''liée''.

Plus généralement, si <math>(e_i)_{i\in I}</math> est une famille (éventuellement infinie) de vecteurs de ''E'', cette famille est dite libre si toutes ses sous-familles finies sont libres.

=== Famille génératrice ===
{{article détaillé|Famille génératrice}}
Une famille <math>(e_1,\ldots,e_n)</math> finie de vecteurs de <math>E</math> est dite ''génératrice de <math>E</math>'' si tout vecteur de <math>E</math> est une [[combinaison linéaire]] des vecteurs de cette famille :
:<math>\forall x \in E\ \exists(\lambda_1,\ldots,\lambda_n)\in K^n\ x=\sum_{i=1}^n\lambda_ie_i</math>.

Plus généralement, si <math>(e_i)_{i \in I}</math> est une famille (éventuellement infinie) de vecteurs de <math>E</math>, cette famille est dite génératrice de <math>E</math> si tout vecteur de <math>E</math> est une combinaison linéaire d'une partie finie de la famille <math>(e_i)_{i \in I}</math>.

=== Définition d'une base ===
Une famille de vecteurs de ''E'' est une base de ''E'' si c'est une famille à la fois génératrice de ''E'' et libre<ref>{{Ouvrage|id=Lang 1965|lang=en|prénom=Serge|nom=Lang|lien auteur1=Serge Lang|titre=Algebra|référence=Référence:Algèbre (Lang)}}, 1965, {{p.|84}}.</ref>. De façon équivalente, une famille est une base de l'espace vectoriel ''E'' quand tout vecteur de l'espace se décompose de façon unique en une combinaison linéaire de vecteurs de cette base.

On précise cette dernière caractérisation. Une famille finie <math>B=(e_1,\ldots,e_n)</math> est une base de <math>E</math> si et seulement si :
:<math>\forall x \in E\ \exists ! (\lambda_1,\ldots,\lambda_n) \in K^n\ x=\sum_{i=1}^n \lambda_i e_i</math>.
Plus généralement, si <math>B=(e_i)_{i \in I}</math> est une famille (éventuellement infinie) de vecteurs de <math>E</math>, cette famille est une base de <math>E</math> si, pour tout vecteur <math>x</math> de <math>E</math>, il existe une unique famille <math>(\lambda_i)_{i \in I}</math> de [[Scalaire (mathématiques)|scalaires]] qui est nulle sauf en un nombre fini d'indices et telle que :
:<math>x=\sum_{i\in I}\lambda_i e_i</math>.
Les scalaires <math>\lambda_i</math> sont appelés coordonnées du vecteur <math>x</math> dans la base <math>B</math>.

=== Dimension ===
{{article détaillé|Dimension d'un espace vectoriel}}

Qu'elles soient finies ou non, toutes les bases d'un espace vectoriel ''E'' ont la même [[cardinalité (mathématiques)|cardinalité]], appelée la '''dimension''' de ''E''. En particulier, si ''E'' admet une famille génératrice finie, toute base de ''E'' est finie, et la dimension de ''E'' est le nombre de vecteurs qu'elle comprend. Ce résultat, qui justifie la définition de la dimension, porte des noms différents selon les auteurs : ''théorème de la dimension'', ''théorème d'équicardinalité des bases'', etc.

Toute famille libre de ''E'' a alors un cardinal inférieur ou égal à dim(''E''), et toute famille génératrice de cet espace a un cardinal supérieur ou égal à dim(''E'').

Par exemple, ''K{{exp|n}}'' est de dimension ''n'' car sa [[base canonique]] possède exactement ''n'' vecteurs.

Les solutions à l'[[équation différentielle linéaire d'ordre deux]] <math>f''+hf'+k=0</math> forment un espace vectoriel réel de dimension 2 : ce résultat s'appuie sur le [[théorème de Cauchy-Lipschitz]].

== Exemples ==
* Le ℝ-espace vectoriel ℝ{{exp|{{math|''n''}}}} admet une base {{math|''C''}} particulière, appelée [[base canonique]], définie par{{retrait|<math>C=\{e_1=(1,0,\ldots,0),\ e_2=(0,1,\ldots,0),\ \ldots\ ,e_n=(0,0,\ldots,1)\}</math>.}}La dimension de ℝ{{exp|{{math|''n''}}}} est donc {{math|''n''}}.
* L'espace vectoriel ''M{{ind|n,p}}''(''K'') des [[Matrice (mathématiques)|matrices]] de taille ''n×p'' à coefficients dans un corps ''K'' admet pour base l'ensemble formé des matrices élémentaires de ''M{{ind|n,p}}''(''K''), c'est-à-dire des matrices ayant un coefficient égal à 1 et tous les autres nuls. La dimension de ''M{{ind|n,p}}''(''K'') est donc ''np''.
* L'espace vectoriel des [[polynôme formel|polynômes]] sur un corps ''K'' admet pour base {''X{{exp|k}}'' | ''k'' ∈ ℕ} (plus généralement, toute famille de polynômes étagée en degré convient, par exemple si ''K'' = ℝ : une suite de [[polynômes orthogonaux]]). La dimension de ''K''[''X''] est donc l'[[Ensemble dénombrable|infini dénombrable]].

== Existence ==
{{Voir|Théorème de la base incomplète}}
Tout espace vectoriel admet une base d'après le théorème suivant<ref>[[N. Bourbaki]], ''[[Éléments de mathématique|Algèbre]]'', p. A-II-95, Théorème 2.</ref>{{,}}<ref>{{Harvsp|Lang 1965|p=85}}, {{lang|en|Theorem}} 2.</ref> :
{{Théorème|Théorème de la base incomplète|Soient ''E'' un espace vectoriel, ''G'' une partie génératrice de ''E'' et ''L'' une partie libre. Alors il existe ''F'' ⊂ ''G''\''L'' tel que ''L''∪''F'' soit une base de ''E''.}}
Autrement dit, toute famille libre de ''E'' peut toujours être « complétée » pour obtenir une base de ''E'' en choisissant des vecteurs parmi une famille génératrice arbitrairement prescrite. En particulier, la famille vide peut être complétée en une base de ''E''.

Ce théorème prouve également qu'une famille de vecteurs est une base ({{c.-à-d.}} libre et génératrice) si et seulement si elle est libre [[Élément maximal|maximale]] ou encore (c'est équivalent) génératrice [[Élément minimal|minimale]].

L'existence d'une base pour tout espace vectoriel est équivalente, en [[théorie des ensembles]] ZF avec [[axiome de fondation]]<ref>{{Chapitre|lang=en|auteur={{Lien|Andreas Blass}}|titre=Existence of bases implies the axiom of choice|titre ouvrage=Axiomatic Set Theory|auteurs ouvrage=J. E. Baumgartner, [[Donald Martin|D. A. Martin]] et [[Saharon Shelah|S. Shelah]]|collection=Contemp. Math.|numéro dans collection=31|année=1984|page=31-34}}.</ref>, à l'[[axiome du choix]]. En particulier, la démonstration du [[théorème de la base incomplète]] repose sur le [[lemme de Zorn]]. Cependant, l'existence d'une famille génératrice finie permet de démontrer l'existence d'une base sans invoquer l'axiome du choix.

== Changement de base ==
{{Article détaillé|Matrice de passage}}
Hormis dans les espaces de dimension nulle et ceux de dimension un sur un corps à deux éléments, il n'y a pas d'unicité d'une base dans un espace vectoriel. Il peut donc être naturel de vouloir passer de l'expression d'un vecteur dans une base donnée à celle dans une autre base, par exemple pour faciliter les calculs.

Soit ''E'' un espace vectoriel sur un corps ''K''. On suppose que <math>(e_i)_{i \in I}</math> et <math>(e'_i)_{i \in I}</math> sont deux bases de cet espace. Les <math>e'_i</math> sont en particulier des vecteurs de ''E'', donc s'expriment comme combinaisons linéaires des vecteurs de la base <math>(e_i)</math>. On peut donc en déduire, par substitution, les nouvelles expressions des vecteurs.

Par exemple, dans le ℝ-espace vectoriel ℝ{{2}}, on a la base canonique <math>(e_1=(1,0),e_2=(0,1))</math>. Il est facile de vérifier que les vecteurs <math>e'_1=(1,1)</math> et <math>e'_2=(1,-1)</math> forment une base de ℝ{{2}}. On peut exprimer ces nouveaux vecteurs par
:<math>e'_1=(1,1)=e_1+e_2\quad \text{et}\quad e'_2=(1,-1)=e_1-e_2</math>.
Et en résolvant le [[système d'équations]], on obtient
:<math>e_1=\frac12\left(e_1'+e_2'\right)\quad \text{et} \quad e_2= \frac12\left(e_1'-e_2'\right)</math>.
Pour un vecteur <math>x=\lambda_1 e_1 + \lambda_2 e_2</math> de ℝ{{2}} (avec <math>\lambda_1</math> et <math>\lambda_2</math> des réels), on peut donc l'exprimer en fonction de la nouvelle base :
:<math>x=\lambda_1 e_1 + \lambda_2 e_2=\frac{\lambda_1}2\left(e_1'+e_2'\right)+ \frac{\lambda_2}2\left(e_1'-e_2'\right)=\frac{\lambda_1+\lambda_2}2e_1'+\frac{\lambda_1-\lambda_2}2e_2'</math>.

=== Application linéaire ===
{{article détaillé|Application linéaire}}

Une application linéaire φ d'un espace vectoriel ''E'' vers un espace vectoriel ''F'' est entièrement déterminée par l'image par φ d'une base de ''E''. Plus précisément : soit <math>e=(e_i)_{i\in I}</math> une base de ''E'' ; pour toute famille <math>f=(f_i)_{i\in I}</math> de vecteurs de ''F'' (indexée par le même ensemble <math>I</math>), il existe une unique application linéaire <math>\varphi:E\to F</math> telle que <math>\forall i\in I\quad\varphi(e_i)=f_i</math>. De plus, φ est [[bijection|bijective]] si et seulement si <math>f</math> est une base de ''F''. Cette propriété fournit donc un [[Isomorphisme d'espaces vectoriels|isomorphisme]] entre deux ''K''-espaces vectoriels de même dimension (en particulier : un isomorphisme entre ''E'' et ''K{{exp|n}}'', si ''E'' est de dimension finie ''n'').

En dimension finie, cette propriété permet également d'utiliser des matrices comme [[Matrice d'une application linéaire|représentants des applications linéaires]] de ''E'' dans ''F'', étant donné une base ''e'' de ''E'' et une base ''f'' de ''F''. Si ''F = E'', la matrice de l'[[application identité]] est appelée la [[matrice de passage]], ou matrice de changement de base, de ''f'' (l'« ancienne base ») à ''e'' (la « nouvelle base »)<!--attention à l'ordre d'écriture des bases, cf. ref--><ref>{{Ouvrage|titre=Algèbre et géométrie [[Classes préparatoires physique, chimie, sciences de l'ingénieur|PCSI]]|éditeur=[[Éditions Bréal|Bréal]]|auteur=Daniel Guinin|auteur2=Bernard Joppin|année=2003|url={{Google Livres|TLBr0-vArPwC|page autre=RA3-PA24}}|page=356}}.</ref>.

== Base d'un espace dual ==
{{article détaillé|base duale}}

Soit <math>E</math> un <math>K</math>-espace vectoriel. L'ensemble des [[forme linéaire|formes linéaires]] sur <math>E</math> forment un <math>K</math>-espace vectoriel appelé [[espace dual]] de <math>E</math> noté <math>E^*</math>. Si <math>E</math> est de dimension finie, alors <math>E^*</math> est aussi de dimension finie et sa dimension est égale à celle de <math>E</math>. Ils sont donc isomorphes.

Si <math>(e_1, \ldots, e_n)</math> est une base de <math>\ E</math>, on définit sur celle-ci les formes linéaires notées <math> (e_1^*,\ldots,e_n^*)</math> par :
:<math>\forall (i,j) \in \{1,\ldots, n \}^2\ e_i^*(e_j)=\delta_{i,j} </math>
où <math>\delta_{ij}</math> est le [[symbole de Kronecker]].

La famille de formes linéaires <math> (e_1^*,\ldots,e_n^*)</math> est une base de <math> E^*</math>, appelée ''base duale'' de la base <math>(e_1, \ldots, e_n)</math>.

Inversement, si <math> (f_1^*,\ldots, f_n^*)</math> est une base de <math>\ E^*</math>, il existe une unique base <math> (f_1,\ldots, f_n)</math> de <math>E</math> telle que :
:<math>\forall (i,j) \in \{1, \ldots, n \}^2\ f_i^*(f_j)=\delta_{i,j} </math>.
La base <math> (f_1,\ldots, f_n)</math> s'appelle la base antéduale de la base <math>(f_1^*, \ldots, f_n^*)</math>.

== Généralisation de la notion de base ==
Lorsque l'espace vectoriel étudié dispose d'une structure plus riche, un raffinement de la notion de base est possible. 

=== Base orthonormale ===
{{article détaillé|Base orthonormale}}
Dans le cas d'un [[espace euclidien]], une base est dite '''orthonormale''' (ou '''orthonormée''') si les vecteurs de cette base sont deux à deux [[orthogonalité|orthogonaux]] et sont de [[norme (mathématiques)|norme]] égale à 1.

Par exemple, la base canonique de <math>\R^n</math> est orthonormale pour le [[produit scalaire]] usuel.

=== Base de Hilbert ===
{{article détaillé|Base de Hilbert}}

Dans un [[espace préhilbertien]] de dimension infinie, une famille finie de vecteurs orthogonaux deux à deux ne peut pas engendrer tout l'espace.

Soit <math>H</math> un espace préhilbertien sur un corps <math>K=\R\ \mathrm{ou}\ \Complex</math> et <math>F=(e_i)_{i\in I}</math> une famille de vecteurs de <math>H</math>, où l'ensemble <math>I</math> des indices est fini ou infini. 

La famille <math>F</math> est une [[base de Hilbert]] de <math>H</math> si
* <math>F</math> est une famille [[Base orthonormée|orthonormée]] de <math>H</math> et
* <math>F</math> est « génératrice », au sens élargi suivant :{{indente|<math> \forall x\in H\ \exists (\lambda_i)_{i\in I}\in K^I\ x= \sum_{i\in I} \lambda_i e_i</math>.}}

Dans le cas où <math>H</math> est de dimension finie, cette définition coïncide avec celle de base orthonormée.

=== Base de Schauder ===
{{article détaillé|Base de Schauder}}
Dans le cas où ''E'' est un [[espace de Banach]] [[espace séparable|séparable]] de dimension infinie, on peut généraliser la notion de base dans le sens suivant : on dit que la suite <math>(e_n)_{n\in\N}</math> de vecteurs de ''E'' est une '''base de Schauder''' de ''E'' si, pour tout <math>x\in E</math>, il existe une unique suite <math>(a_n)_{n\in\N}</math> de scalaires telle que 

:<math> x =\lim_n\sum_{k=0}^n a_k e_k</math>,
avec convergence en norme dans ''E''. Les scalaires <math>(a_n)_{n\in\N}</math> sont appelés coordonnées de <math>x</math>.

Une base de Hilbert (séparable) est une [[base de Schauder]]. Dans le cas où ''E'' est de dimension finie, les notions de base (algébrique) et base de Schauder coïncident.

== Base d'un module ==
{{article détaillé|Module sur un anneau}}

Un module est une [[structure algébrique]] identique à celle d'espace vectoriel à la différence près que l'ensemble des scalaires ne forme plus un corps mais un [[anneau unitaire|anneau]].

Certaines propriétés vraies pour les espaces vectoriels ne sont plus vraies pour les modules. Par exemple l'existence d'une base n'y est plus assurée, même dans un module engendré par un nombre fini d'éléments. Il est même possible qu’un tel module admette un sous-module qui ne soit pas finiement engendré.

Cependant, on peut quand même définir une notion de base, identique à celle des espaces vectoriels. Un module qui possède une base s'appelle un [[module libre]], mais le cardinal de ses bases n’est pas nécessairement une constante.

== Références ==
{{Références}}

{{Palette|Algèbre linéaire}}
{{Portail|algèbre}}

[[Catégorie:Algèbre linéaire]]
[[Catégorie:Espace vectoriel]]