Voir la source de Bijection réciproque

{{voir homonymes|Réciproque (homonymie)}}

En [[mathématiques]], la '''bijection réciproque''' (ou '''fonction réciproque''' ou '''réciproque''') d'une [[bijection]] <math>f</math> est l'application qui associe à chaque élément de l'[[ensemble d'arrivée]] son unique [[antécédent (mathématiques)|antécédent]] par <math>f</math>. Elle se note <math>f^{-1}</math>.

== Exemple ==

On considère<ref name=RacineCubique>L'exemple de la racine cubique est celui choisi par [[Jacques Dixmier]] dans son ''Cours de mathématiques du {{1er|cycle}}'', Gauthier-Villars, 1967, p. 9.</ref> l'[[application (mathématiques)|application]] <math>f</math> de '''<math>\mathbb{R}</math>''' vers '''<math>\mathbb{R}</math>''' définie par <math>f\left(x\right)=x^3</math>.

Pour chaque réel <math>y</math>, il y a un et un seul réel <math>x</math> tel que <math>y=x^3=f(x)</math>, ainsi pour <math>y = 8</math>, le seul <math>x</math> convenable est 2, en revanche, pour <math>y= -27</math> c'est –3. En termes mathématiques, on dit que <math>x</math> est l'unique [[antécédent (mathématiques)|antécédent]] de <math>y</math> et que <math>f</math> est une [[bijection]].

On peut alors considérer l'application qui envoie <math>y</math> sur son antécédent, qu'on appelle dans cet exemple la [[racine cubique]] de <math>y</math> : c'est elle qu'on nomme la « réciproque » de la bijection <math>f</math>.

Si on tente d'effectuer la même construction pour la [[racine carrée]] et qu'on considère l'application <math>g</math> de <math>\mathbb{R}</math> vers <math>\mathbb{R}</math> définie par <math>g(x)=x^2</math>, les choses ne se passent pas si simplement. En effet, pour certaines valeurs de <math>y</math>, il y a deux valeurs de <math>x</math> tels que <math>g(x)=y</math> ; ainsi, pour <math>y= 4</math>, on peut choisir <math>x= 2</math> mais aussi <math>x=-2</math>, puisque 2{{2}} = 4 mais aussi (–2){{2}} = 4.

À l'inverse, pour d'autres choix de <math>y</math>, aucun <math>x</math> ne convient ; ainsi pour <math>y=-1</math>, l'équation <math>x^2=-1</math> n'a aucune solution réelle. En termes mathématiques, on dit que <math>g</math> n'est ni [[injection (mathématiques)|injective]] ni [[surjection|surjective]]. Dans cet exemple, les définitions qui suivent ne permettent pas de parler de « bijection réciproque » (ni même d'« application réciproque ») de <math>g</math>.

== Résultats généraux ==

=== Définition ===

[[Image:Inverse Functions Domain and Range.png|vignette|droite|240px|La réciproque de la bijection <math>f</math> de <math>\mathrm{X}</math> vers <math>\mathrm{Y}</math> est la fonction <math>f^{-1}</math> qui de <math>\mathrm{Y}</math> retourne vers <math>\mathrm{X}</math>.]]

Si <math>f</math> est une [[bijection]] d'un ensemble <math>\mathrm{X}</math> vers un ensemble <math>\mathrm{Y}</math>, cela veut dire (par définition des bijections) que tout élément <math>y</math> de <math>\mathrm{Y}</math> possède un antécédent et un seul par <math>f</math>. On peut donc définir une application <math>g</math> allant de <math>\mathrm{Y}</math> vers <math>\mathrm{X}</math>, qui à <math>y</math> associe son unique antécédent, c'est-à-dire que <math>f\big(g\left(y\right)\big)=y</math>.

L'application <math>g</math> est une bijection, appelée '''bijection réciproque''' de <math>f</math>.

La bijection réciproque de <math>f</math> est souvent notée<ref name="Notation-1">Ce choix de notation s'explique par le fait que la [[loi de composition]] <math>\circ</math>, restreinte aux [[permutation]]s d'un ensemble, est une loi de [[Groupe (mathématiques)|groupe]], et que [[Groupe symétrique|ce groupe]] est noté multiplicativement. C'est cependant une ambiguïté de notation assez gênante pour que les [[système de calcul formel|logiciels de calcul formel]] séparent ces deux notions ; ainsi, [[Maple]] note l'inverse <code>f^(-1)</code> et la bijection réciproque <code>f@@(–1)</code>.</ref> <math>f^{-1}</math>, en prenant garde à la confusion possible avec la notation des [[Exposant négatif|exposants négatifs]], pour laquelle on a <math>x^{-1}=1/x</math>.

=== Propriétés ===

==== Caractérisation ====

Si <math>f</math> est une application d'un ensemble <math>\mathrm{X}</math> vers un ensemble <math>\mathrm{Y}</math> et s'il existe une application <math>g</math> de <math>\mathrm{Y}</math> vers <math>\mathrm{X}</math> telle que <math> g \circ f = \operatorname{id}_\mathrm{X}</math> et <math> f \circ g = \operatorname{id}_\mathrm{Y}</math>, alors <math>f</math> et <math>g</math> sont des bijections, et <math>g</math> est la bijection réciproque de <math>f</math>. 

==== Réciproque de la réciproque ====

La double propriété <math> f^{-1} \circ f = \operatorname{Id}_\mathrm{X}</math> et <math> f \circ f^{-1} = \operatorname{Id}_\mathrm{Y}</math> montre que <math>f</math> est aussi la bijection réciproque de <math>f^{-1}</math>, c'est-à-dire que <math>\left(f^{-1}\right)^{-1} = f</math>.
==== Réciproque d'une composée ====

[[Image:Composition of Inverses.png|vignette|droite|240px|La réciproque de <math>g \circ f</math> est <math>f^{-1} \circ g^{-1}</math>.]]

La réciproque de la composée de deux bijections est donnée par la formule : <math>(g \circ f)^{-1} = f^{-1} \circ g^{-1}</math>.

On peut remarquer que l'ordre de <math>f</math> et <math>g</math> a été inversé ; pour « défaire » <math>f</math> suivi de ''<math>g</math>'', il faut d'abord « défaire » ''<math>g</math>'' puis « défaire » <math>f</math>.

==== Involution ====

Certaines bijections de <math>\mathrm{E}</math> vers <math>\mathrm{E}</math> sont leur propre réciproque, c'est le cas par exemple de l'[[Fonction inverse|application inverse]] :<math display="block">
\begin{matrix}
f: & \R^* & \to & \mathbb R^* \\
  & x & \mapsto & \frac 1x
\end{matrix}
</math>
ou de toute [[Symétrie (transformation géométrique)#Symétrie axiale ou orthogonale par rapport à une droite|symétrie orthogonale]] dans le plan.

De telles applications sont dites [[Involution (mathématiques)|involutives]].

== Réciproque d'une fonction numérique ==

=== Existence ===

Le [[théorème des valeurs intermédiaires]] et son corollaire, le [[théorème de la bijection]], assurent que toute application continue strictement monotone sur un intervalle <math>I</math> détermine une bijection de <math>I</math> sur <math>f(I)=J</math> et que <math>J</math> est aussi un intervalle. Cela signifie qu'une telle fonction possède une application réciproque définie sur <math>J</math> à valeurs dans <math>I</math>.

Cette propriété permet la création de nouvelles fonctions définies comme application réciproque de fonctions usuelles.

=== Exemples ===

{| class="wikitable centre"
|-
!align="center"| Fonction <math>f(x)</math>
!align="center"| Départ et arrivée
!align="center"| Fonction réciproque
!align="center"| Départ et arrivée
!align="center"| Notes
|-
|align="center"| Puissance <math>n</math><br><math>f(x)=x^n</math>
|align="center"|<math> [0,+\infty[ \to [0,+\infty[ </math>
|align="center"| Racine n-ième<br><math>f^{-1}(x)=\sqrt[n]x = x^{\frac{1}{n}}</math>
|align="center"|<math> [0,+\infty[ \to [0,+\infty[ </math>
|align="center"| <math>n</math> entier naturel non nul
|-
|align="center"|Exponentielle<br><math>f(x)= \mathrm{e}^x</math>
|align="center"|<math>\R \to ]0,+ \infty[</math>
|align="center"|Logarithme naturel<br><math>f^{-1}(x) = \ln(x)</math>
|align="center"|<math>]0,+ \infty[\to \R</math>
|
|-
|align="center"|Exponentielle de base <math>a</math><br><math>f(x)= a^x</math>
|align="center"|<math>\R \to ]0,+ \infty[</math>
|align="center"|Logarithme de base {{mvar|a}}<br><math>f^{-1}(x) = \log_a(x)</math>
|align="center"|<math>]0,+ \infty[\to \R</math>
|align="center"| <math>a</math> réel strictement positif
|-
|align="center"| Puissance <math>\alpha</math><br><math>f(x)=x^{\alpha}</math>
|align="center"|<math> ]0,+\infty[ \to ]0,+\infty[ </math>
|align="center"| Puissance {{math|1/&alpha;}}<br><math>f^{-1}(x)=x^{1/\alpha}</math>
|align="center"|<math> ]0,+\infty[ \to ]0,+\infty[ </math>
|align="center"| <math>\alpha</math> réel non nul
|-
|align="center"|Sinus<br><math>f(x)= \sin(x)</math>
|align="center"|<math>[-\pi/2,\pi/2] \to [-1,1]</math>
|align="center"|Arc sinus<br><math>f^{-1}(x) = \arcsin(x)</math>
|align="center"|<math>[-1,1] \to [-\pi/2,\pi/2]</math>
|
|-
|align="center"|Cosinus<br><math>f(x)= \cos(x)</math>
|align="center"|<math>[0,\pi] \to [-1,1]</math>
|align="center"|Arc cosinus<br><math>f^{-1}(x) = \arccos(x)</math>
|align="center"|<math>[-1,1] \to [0,\pi]</math>
|
|-
|align="center"|Tangente<br><math>f(x)= \tan(x)</math>
|align="center"|<math>]-\pi/2,\pi/2[ \to \R</math>
|align="center"|Arc tangente<br><math>f^{-1}(x) = \arctan(x)</math>
|align="center"|<math>\R \to ]-\pi/2,\pi/2[</math>
|
|-
|}

À l'aide de ces fonctions, la recherche de l'application réciproque consiste à résoudre l'équation <math>f(x)=y</math>, d'inconnue <math>x</math>  :

La fonction <math> f \colon x \mapsto x^2+3</math> est une bijection de <math> ]-\infty,0]</math> sur <math> [3,+\infty[</math> et possède une application réciproque que l'on cherche à déterminer en résolvant, pour <math> y</math> dans <math> [3,+\infty[</math>, l'équation <math> x^2+3=y</math>, ou encore <math> x^2=y-3</math>. Puisque <math> y\geq 3</math>, cette équation possède deux solutions dont une seule appartenant à l'intervalle <math> ]-\infty,0]</math> : <math> x=-\sqrt{y-3}</math>. Donc la réciproque de <math> f</math> est <math> f^{-1}</math> définie par <math> f^{-1}(y)=-\sqrt{y-3}</math>.

Cette recherche peut se révéler infructueuse et nécessiter la création d'une fonction nouvelle. Ainsi, la fonction <math>f \colon x\mapsto f(x)=x\mathrm{e}^x</math> est une bijection de <math> [0,+\infty[</math> vers <math> [0,+\infty[</math> ; l'équation correspondante <math>y= x\mathrm{e}^x</math> n'a pas de solution exprimable à l'aide des fonctions usuelles, ce qui oblige, pour exprimer <math> x=f^{-1}(y)</math>, à définir une nouvelle fonction, ici la [[fonction W de Lambert]].

=== Graphe ===

[[Image:Inverse Function Graph.png|vignette|droite|Courbes d'équations <math>y=f(x)</math> et <math>y=f^{-1}(x)</math>. La droite en pointillés a pour équation <math>y=x</math>.]]

Lorsque deux fonctions sont réciproques l'une de l'autre, alors leurs représentations graphiques dans un plan muni d'un repère orthonormal sont symétriques l'une de l'autre par rapport à la droite <math> (D)</math> d'équation <math> y=x</math> (appelée aussi [[première bissectrice]]).

En effet, si <math> \mathrm{M}(x,y)</math> est un point du graphe de <math> f</math>, alors <math> y=f(x)</math> donc <math> x=f^{-1}(y)</math> donc <math> \mathrm{M'}(y,x)</math> est un point du graphe de <math> f^{-1}</math>. Or le point <math> \mathrm{M'}(y,x)</math> est le symétrique du point <math> \mathrm{M}(x,y)</math> par rapport à la droite <math> (D)</math>, pour les deux raisons suivantes :

Le milieu du segment <math> [\mathrm{MM'}]</math> est sur la droite <math> (D)</math>, et d'autre part, le vecteur <math>\overrightarrow{\mathrm{MM}'}</math> est orthogonal au vecteur de coordonnées <math> (1,1)</math>, qui est un [[vecteur directeur]] de la droite <math> (D)</math> (leur [[produit scalaire canonique]] est nul).

On sait donc que  le symétrique de <math> \mathrm{M}</math> par rapport à <math> (D)</math> est un point du graphe de <math> f^{-1}</math>. Un raisonnement analogue prouve que si <math> \mathrm{M}</math> est un point du graphe de <math> f^{-1}</math>, alors son symétrique par rapport à <math> (D)</math> est un point du graphe de <math> f</math>.

=== Continuité ===

En général, la réciproque d'une [[Continuité (mathématiques)|fonction continue]] n'est pas continue mais la réciproque d'une fonction continue sur un intervalle <math> I</math> à valeurs dans un intervalle <math> J</math> est une fonction continue sur <math> J</math>, selon le [[théorème de la bijection]].

=== Dérivabilité ===

Si <math>f</math> est une fonction continue sur un intervalle <math>I</math> à valeurs dans un intervalle <math>J</math> et si <math>f^{-1}</math> est sa réciproque, la fonction <math>f^{-1}</math> est dérivable en tout point <math>b</math> tant que <math>f</math> admet en <math>f^{-1}(b)</math> une dérivée non nulle.

La dérivée en <math>b</math> de <math>f^{-1}</math> est alors <math>\frac{1}{f'\left(f^{-1}(b)\right)}</math>.

Un moyen simple de comprendre ce phénomène, mais non de le démontrer, est d'utiliser les notations différentielles et de remarquer que <math>\frac{{\rm d}x}{{\rm d}y}=\frac1{{\rm d}y/{\rm d}x} </math>.

{{Note autre projet|wikiversité|Fonctions d'une variable réelle/Dérivabilité#Dérivée et opérations|''Dérivée et opérations''|début=On trouve une démonstration dans l'article}}

=== Recherche graphique ou numérique d'une réciproque ===
{{pertinence section|date=novembre 2023}}
Il n'est pas toujours possible de déterminer la réciproque de manière analytique : on sait calculer <math>f(x)</math>, mais on ne sait pas calculer <math>f^{-1}(y)</math>. On peut alors utiliser une méthode graphique ou une approximation [[méthode numérique|numérique]].

La méthode graphique consiste à tracer la courbe représentative <math>y = f(x)</math>. Pour rechercher <math>f^{-1}(y)</math>, on cherche le point de la courbe dont l'ordonnée est <math>y</math> et on lit son abscisse. Pour ce faire, on trace la droite d'ordonnée <math>y</math> concernée, on recherche l'intersection de cette droite avec la courbe, et l'on trace la droite parallèle à l'axe des ordonnées passant par cette intersection. Le point d'intersection de cette droite avec l'axe des abscisses donne la valeur <math>x</math> recherchée. C'est le principe d'un grand nombre d'[[Nomogramme#Abaques|abaques]].

Numériquement, rechercher <math>f^{-1}(y)</math> revient à rechercher les racines de la fonction <math>g(x)=f(x)-y</math>.{{loupe | Algorithme de Newton | Méthode de dichotomie}}

Si l'on sait que le domaine de recherche {{Incise|intervalle des <math>x</math> possibles}} est « restreint » et que la fonction est dérivable sur cet intervalle, on peut linéariser la fonction, c'est-à-dire la remplacer par une [[fonction affine]] obtenue par un [[développement limité]] au voisinage d'un point <math> x_0</math> de cet intervalle :
: <math>g(x)\simeq g(x_0)+g'(x_0)(x-x_0)</math>
On a ainsi une approximation de la solution, si <math>g'(x_0)\neq 0</math> :<math display="block"> f^{-1}(y)\simeq x_0-\frac{g(x_0)}{g'(x_0)}
</math>
C'est la démarche de l'algorithme de Newton, mais avec une seule [[itération]].

On peut également utiliser une fonction d'approximation plus complexe mais néanmoins inversible.

{{loupe|Théorie de l'approximation}}

== Exemples de réciproques de transformations du plan ==

Les transformations du plan sont les applications bijectives du plan ; il est donc intéressant d'en connaître les réciproques, du moins pour les transformations de référence.

{|class="wikitable"
|-
!align="center"|Transformation
!align="center"|Transformation réciproque
|-
|align="center"|[[Translation]] de vecteur <math>\vec u</math>
|align="center"|Translation de vecteur <math>- \vec  u</math>
|-
|align="center"|[[Symétrie (transformation géométrique)|Symétrie]] de centre <math>\mathrm{O} </math> ou d'axe <math> (D)</math>
|align="center"|Symétrie de centre <math>\mathrm{O} </math> ou d'axe <math> (D)</math>
|-
|align="center"|[[Homothétie]] de centre <math> \mathrm{C}</math> et de rapport ''k''
|align="center"|Homothétie de centre <math> \mathrm{C}</math> et de rapport 1/''k''
|-
|align="center"|Rotation de centre <math> \mathrm{C}</math> et d'angle <math> \theta</math>
|align="center"|Rotation de centre <math> \mathrm{C}</math> et d'angle <math> -\theta</math>
|-
|align="center"|[[Similitude (géométrie)|Similitude]] directe de centre <math> \mathrm{C}</math>, de rapport <math> k</math> et d'angle <math> \theta</math>
|align="center"|Similitude directe de centre <math> \mathrm{C}</math>, de rapport <math> 1/k</math> et d'angle <math> -\theta</math>
|-
|align="center"|Similitude indirecte de centre <math> \mathrm{C}</math>, de rapport <math> k</math> et d'axe <math> (D)</math>
|align="center"|Similitude indirecte de centre <math> \mathrm{C}</math>, de rapport <math> 1/k</math> et d'axe <math> (D)</math>
|-
|align="center"|Symétrie glissée d'axe <math> (D)</math> et de vecteur <math>\vec u</math>
|align="center"|Symétrie glissée d'axe <math> (D)</math> et de vecteur <math>- \vec u</math>
|-
|align="center"|[[Affinité (mathématiques)|Affinité]] d'axe <math> (D)</math> de direction <math> (D')</math> et de rapport ''<math> k</math>''
|align="center"|Affinité d'axe <math> (D)</math> de direction <math> (D')</math> et de rapport <math> 1/k</math>

|}

== Réciproques en algèbre ==

En algèbre, un [[morphisme]] bijectif de groupes, d'anneaux, de corps, d'espaces vectoriels admet une application réciproque qui est aussi un morphisme de même type. L'application et sa réciproque sont appelés des [[isomorphisme]]s.

Dans le cas d'une application <math> f</math> [[Application linéaire|linéaire]] d'un [[espace vectoriel]] <math> E</math> vers un espace vectoriel <math> F</math>, tous deux de dimension finie et munis de bases, <math> f</math> est bijective si et seulement si [[Matrice d'une application linéaire|sa matrice]] <math> M</math> dans les bases fixées est une [[Matrice (mathématiques)|matrice carrée]] inversible. La matrice dans ces bases de la réciproque de <math> f</math> est alors la [[Matrice inversible|matrice inverse]] de <math> M</math>, notée <math> M^{-1}</math>.

== Quelques concepts apparentés ==
Soit <math> f \colon X \mapsto Y</math> une application.
*Même lorsque <math> f</math> n'est pas bijective, il est possible de définir une [[relation binaire]] réciproque, de ''<math> Y</math>'' dans ''<math> X</math>'', qui à tout élément de ''<math> Y</math>'' associe ''ses'' antécédents par <math> f</math> (donc rien si cet élément n'a pas d'antécédents). On parle alors de [[fonction multivaluée|''réciproque multiforme'']]. L'application <math> f</math> est bijective si et seulement si cette relation réciproque est une application, et dans ce cas, cette application est bien l'application réciproque de <math> f</math>.<br>On définit plus généralement la [[Fonction multivaluée#Multifonction réciproque|réciproque d'une multifonction]] quelconque ou, ce qui revient au même, la [[Relation binaire#Réciproque|réciproque d'une relation binaire]].
*Pour qu'il existe des inverses à gauche de <math> f</math>, c'est-à-dire des applications ''<math> g</math>'' telles que <math>g\circ f=\operatorname{Id}_X</math>, il faut et il suffit que <math> f</math> soit injective.<br>Pour qu'il existe des inverses à droite de <math> f</math>, c'est-à-dire des applications <math> g</math> telles que <math>f \circ g = \operatorname{Id}_Y</math>, il faut et (en admettant l'[[axiome du choix]]) il suffit que <math> f</math> soit surjective.

La fonction réciproque d'une fonction <math> f</math> ne doit pas être confondue avec la [[fonction inverse]] de <math> f</math>. Cette confusion est fréquente du fait de la notation<ref name=Notation-1/> commune <math> f^{-1}</math>, et parce que le terme anglais ''reciprocal'' se traduit souvent par ''inverse'' en français, tandis que l'adjectif anglais ''inverse'' se traduit parfois par ''réciproque'' en français.

== Théorème d'inversion locale ==

{{Article détaillé|Théorème d'inversion locale|Opérations sur les dérivées#Bijection réciproque{{!}}Dérivée d'une fonction réciproque}}

Le [[théorème d'inversion locale]] précise les [[condition d'existence|conditions d'existence]] locale d'une application réciproque pour une fonction <math> f</math>. C'est une généralisation d'un théorème simple sur les fonctions de la variable réelle.
{{théorème|Si <math> f</math> est définie sur un intervalle <math>I</math> et si <math>a</math> est un élément de <math>I</math>, si <math> f</math> possède en <math>a</math> une dérivée continue non nulle, alors il existe un intervalle <math>I_a</math> autour de <math>a</math>, un intervalle <math>J_{f(a)}</math> autour de <math>f(a)</math> et une fonction <math>f^{-1}</math> définie sur <math>J_{f(a)}</math> qui soit l'application réciproque de la restriction de <math>f</math> à <math>I_a</math>.
Cette application réciproque est aussi dérivable en <math> f(a)</math>.
}}
Le théorème d'inversion locale généralise cette propriété à des fonctions définies sur des espaces vectoriels réels de dimension finie. La condition « <math> f'(a)</math> non nulle » est alors remplacée par « le [[jacobien]] de <math> f</math> en <math>a</math> est non nul ». De plus, si <math> f</math> est de [[Classe de régularité|classe]] <math>\mathcal{C}^k</math>, l'application réciproque l'est aussi.

<!--Lien mort le 25/01/11, récupérable sur archive.org mais est-ce judicieux ici ?== Lien externe ==
*[http://www.reunion.iufm.fr/Dep/mathematiques/FContinue/Resources/Fonction_reciproque.pdf Fonction réciproque d'une fonction numérique]  (IUFM de la Réunion)

-->

== Notes et références ==

{{références}}

{{Portail|mathématiques}}

[[Catégorie:Théorie des ensembles]]
[[Catégorie:Analyse (mathématiques)]]