Voir la source de Bissection du triangle

{{ébauche|géométrie}}
En [[géométrie]], le problème de la '''bissection du triangle''' consiste à construire une droite traversant un [[triangle]] en divisant en deux parts égales son aire ou son périmètre.

== Bissection du périmètre ==
=== ''Cleaver'' ===
[[File:CleavanceCenter.svg|thumb|360px|
'''Construction du centre de Spieker par bissection.'''
{{legend|#ffe8c4|Triangle {{math|△''ABC''}}}}
{{legend-line|dashed #333333|Bissectrices de {{math|△''ABC''}} (point de concours au centre du cercle inscrit {{mvar|I}})}}
{{legend-line|solid blue|Bissectrices du périmètre de {{math|△''ABC''}} (point de concours au [[centre de Spieker]] {{mvar|S}})}}
{{legend|#c4a487|[[Triangle médian]] {{math|△''DEF''}} de {{math|△''ABC''}}}}
{{legend-line|solid red|Cercle inscrit de {{math|△''DEF''}} (cercle de Spieker de {{math|△''ABC''}}, de centre {{mvar|S}})}}]]

Dans un [[triangle]] plan, il existe trois segments de droite qui bissecte le périmètre du triangle en deux parts égales et dont une des extrémités est au milieu d'un des côtés.

==== Construction ====
Chaque ''cleaver'' passant par le milieu d'un côté donné est parallèle à la [[bissectrice]] du sommet opposé à ce côté<ref name=episodes/>{{,}}<ref name=avishalom/>.

Le théorème de la corde brisée d'[[Archimède]] donne une autre construction des ''cleavers'' :
{{Théorème|nom=Théorème de la corde brisée|
Soit ''ABC'' un triangle. On définit ''M'' le milieu de l'arc du cercle circonscrit à ''ABC'', <math>\overset{~~_{_{\displaystyle\frown}}}{AB}</math> contenant ''C'', et on note ''D'' l'intersection de la droite passant par ''M'' et perpendiculaire au plus grand des deux côtés entre ''AC'' et ''BC''. Alors ''D'' est au milieu du segment brisé ''AB''<ref name=episodes>{{ouvrage
 | auteur = Ross Honsberger 
 | contribution = Chapter 1: Cleavers and Splitters
 | isbn = 0-88385-639-5
 | mr = 1316889
 | pages = 1–14
 | éditeur = [[Mathematical Association of America]] | lieu = Washington, DC
 | series = New Mathematical Library
 | titre = Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry
 | volume = 37
 | année = 1995
|lire en ligne=https://archive.org/details/episodes-in-nineteenth-and-twentieth-century-euclidean-geometry-ross-honsberger/page/2/mode/2up}}</ref>{{,}}<ref name=avishalom>{{article |lang=en
 | nom = Avishalom | prénom = Dov
 | numéro = 1
 | journal = [[Mathematics Magazine]]
 | jstor = 2688140
 | mr = 1571272
 | pages = 60–62
 | titre = The perimetric bisection of triangles
 | volume = 36
 | année = 1963}}</ref>.
}}

==== Propriétés ====
Les trois ''cleavers'' [[Droites concourantes|se croisent]] au centre du [[cercle de Spieker]] du triangle<ref name=episodes/>{{,}}<ref name=avishalom/>.

{{clr}}
=== ''Splitter'' ===

[[Image:Extouch Triangle and Nagel Point.svg|thumb|325px|
{{legend-line|solid #333333|Triangle {{math|△''ABC''}}}}
{{legend-line|solid orange|Cercles exinscrits, tangents aux côtés de {{math|△''ABC''}} en {{mvar|T{{sub|A}}, T{{sub|B}}, T{{sub|C}}}}}}
{{legend-line|solid red|[[Triangle de Nagel|Triangle cotangent]] {{math|△''T{{sub|A}}T{{sub|B}}T{{sub|C}}''}}}}
{{legend-line|solid #1e90ff|Splitters du périmètre {{mvar|{{overline|AT}}{{sub|A}}, {{overline|BT}}{{sub|B}}, {{overline|CT}}{{sub|C}}}}; se croisent au [[point de Nagel]] {{mvar|N}}}}]]

Un ''splitter'' est un segment de droite passant par un des sommets du triangle (segment de [[cévienne]]) et séparant le périmètre en deux parts égales<ref name=episodes/>.

==== Propriétés ====
L'autre extrémité du segment ''splitter'' se trouve sur le côté du triangle où un des cercles exinscrits du triangle est tangent à ce côté<ref name=episodes/>{{,}}<ref name=avishalom/>. Ce point est aussi appelé un ''point séparateur'' du triangle<ref name=avishalom/>. Elle est aussi un sommet du [[triangle de Nagel]] et un des points où l'[[ellipse de Mandart|ellipse inscrite de Mandart]] est tangente au côté du triangle<ref>{{article |lang=en
 | nom = Juhász | prénom = Imre
 | journal = Annales Mathematicae et Informaticae
 | mr = 3005114
 | pages = 37–46
 | titre = Control point based representation of inellipses of triangles
 | url = http://ami.ektf.hu/uploads/papers/finalpdf/AMI_40_from37to46.pdf
 | volume = 40
 | année = 2012}}</ref>.

Les trois ''splitters'' [[Droites concourantes|se croisent]] au [[point de Nagel]] du triangle<ref name=episodes/>, qu'on appelle aussi centre de séparation<ref name=avishalom/>.

==== Généralisation ====
Certains auteurs utilisent aussi le terme ''splitter'' pour tout segment qui sépare le périmètre du triangle, dont les ''cleavers'' et les ''equalizers''<ref name=equalizers>{{article |lang=en
 | nom = Kodokostas | prénom = Dimitrios
 | doi = 10.4169/002557010X482916
 | numéro = 2
 | journal = [[Mathematics Magazine]]
 | pages = 141–146
 | titre = Triangle equalizers
 | volume = 83
 | année = 2010 |lire en ligne=https://www.researchgate.net/publication/240991272_Triangle_Equalizers}}</ref>.
{{clr}}

=== ''Equalizers'' ===
{{...}}

Un ''equalizer'' est un segment de droite séparant simultanément le périmètre et l'aire en deux parts égales{{,}}<ref name=equalizers/>.

G. Berzsenyi a établi que tout triangle admet au moins un ''equalizer'' et suppose qu'il en a au plus trois (ce qui a été démontré par la suite), et que tous passent par le centre du cercle inscrit du triangle<ref>{{article |lang=en |auteur=G. Berzsenyi |titre=The equalizer of a triangle |périodique=Quantum |numéro=7 |date=mars-avril 1997 |pages=51 |lire en ligne=https://static.nsta.org/pdfs/QuantumV7N4.pdf}}</ref>. Des construtions géométriques existent également<ref>{{article |lang=en |périodique=Journal for Geometry and Graphics |volume=28 |année=2024 |numéro1 |pages=41–54 |titre=The Splitters and Equalizers of Triangles |auteur=Sadi Abu-Saymeh |lire en ligne=https://www.heldermann-verlag.de/jgg/jgg28/j28h1abus.pdf}}</ref>{{,}}<ref>{{article |lang=en |auteur=Anthony Todd |titre=Bisecting a triangle |périodique=Pi Mu Epsilon Journal |volume=11 |numéro=1 |année=1999 |pages=31–37 |jstor=24340489}}</ref>.

== Généralisation ==

Dans un cas plus général que celui du triangle, les bissections du polygone plan, en aire ou en périmètre, ou du [[polyèdre]], en volume, sont également étudiées<ref>{{article |lang=en |périodique=Information Processing Letters |volume=41 |numéro=3 |date=6 mars 1992 |pages=135-140 |titre=A linear algorithm for bisecting a polygon |auteur=Thomas C. Shermer |doi=10.1016/0020-0190(92)90042-T}}</ref>{{,}}<ref>{{article |lang=en |périodique=Advances in Applied Mathematics |volume=137 |date=juin 2022 |titre=Bisecting envelopes of convex polygons |auteur1=Allan Berele |auteur2=Stefan Catoiu |doi=10.1016/j.aam.2022.102342}}</ref>{{,}}<ref>{{article |lang=en |périodique=Information Processing Letters |volume=38 |numéro=1 |date=12 avril 1991 |pages=15-21 |titre=Bisections and ham-sandwich cuts of convex polygons and polyhedra |auteur=Ivan Stojmenović |doi=10.1016/0020-0190(91)90209-Z |lire en ligne=https://www.sciencedirect.com/sdfe/pdf/download/eid/1-s2.0-002001909190209Z/first-page-pdf}}</ref>.

== Références ==
{{Traduction/Référence|en|Cleaver (geometry)|1183438083}}
{{Traduction/Référence|en|Splitter (geometry)|1127267902}}

{{Références}}

== Liens externes ==
*{{mathworld|titre=Cleaver|nom_url=Cleaver|mode=cs1}}
*{{mathworld|nom_url=Splitter|titre=Splitter|mode=cs2}}

{{Portail|géométrie}}

[[Catégorie:Géométrie]]