Voir la source de Brahmagupta

{{Infobox Scientifique
 | nom               = Brahmagupta
 | image             = Hindu astronomer, 19th-century illustration.jpg
 | légende           = Brahmagupta
 | date de naissance = 598
 | lieu de naissance = Bhillamala ({{Lien|langue=en|trad=Bhinmal|fr=Bhinmal}}), [[Rajasthan]]
 | pays de naissance = [[Inde]]
 | date de décès     = 670
 | lieu de décès     = 
 | pays de décès     = Inde
 | domicile          = 
 | nationalité       = Indien
 | champs            = [[Mathématiques]] et [[astronomie]]
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 | renommé pour      = le ''Khandakhâdyaka'' et le ''[[Brahmasphutasiddhanta|Brāhmasphuṭasiddhānta]]'' |
   prix              = 
 | notes             = 
 | signature         = 
}}

'''Brahmagupta''' ('''ब्रह्मगुप्त''') (Multân, [[598]]–[[670]]) est un [[mathématicien]] et [[astronome]] [[Inde|indien]].

Brahmagupta est l'un des plus importants mathématiciens tant de l'Inde que de son époque. On lui connait deux ouvrages majeurs : le ''[[Brahmasphutasiddhanta|Brāhmasphuṭasiddhānta]]'' (ब्राह्मस्फुटसिद्धान्त) en [[628]] et le ''Khandakhâdyaka'' en [[665]].

Il dirige l'observatoire astronomique d'[[Ujjain]], ville qui est au {{s-|VII}} un centre majeur de recherches en mathématique. C'est dans son premier ouvrage le ''Brahmasphutasiddhanta'', qu'il définit le [[zéro]] comme résultat de la soustraction d'un nombre par lui-même, qu'il décrit les résultats d'opérations avec ce nouveau nombre, mais se « trompe » en donnant comme résultat zéro à 0/0. En revanche, il donne des règles correctes sur les signes lors d'opérations entre [[entier relatif|entiers relatifs]] (profits et pertes). Il donne aussi dans cet ouvrage la solution de l'[[équation]] générale de {{nobr|degré 2}}.

Brahmagupta fut le premier mathématicien à utiliser l'[[algèbre]] pour résoudre des problèmes astronomiques. Il proposa comme durée de l'[[année tropique]] : {{nobr|365 jours}}, 6 heures, 5 minutes, et {{nobr|19 secondes}}, lors d'une première estimation. Dans son deuxième livre le ''Khandakhâdyaka'', il propose {{nobr|365 jours}}, 6 heures, {{nobr|12 minutes}} et {{nobr|36 secondes}}. La vraie longueur des années est d'un peu moins de {{nobr|365 jours}} et 6 heures. [[Omar Khayyam]] parviendra trois siècles plus tard à calculer une valeur d'une telle précision que son changement se mesure dans l'espace de quelques vies humaines (la Terre ralentit très lentement, mais irréversiblement, en raison des frottements des marées). 

== Biographie ==
Brahmagupta est né vers 598 à Bhillamala ({{Lien|langue=en|trad=Bhinmal|fr=Bhinmal}}), au [[Rajasthan]], dans le nord-ouest de l'Inde. À cette époque, Bhillamala est la capitale du [[Gujarat]] et le siège du pouvoir des [[Gurjar]]s. Son père s'appelle Jishnugupta et est marchand ou agriculteur{{Note|groupe="n"|Le suffixe {{citation|gupta}} de son nom indique que sa famille appartient à la troisième caste de la Société, celle des commerçants et des agriculteurs<ref name="p56">{{harvsp|Guevara Casanova + Puig Pla|Gerschenfeld|2018|p=56}}</ref>}}{{,}}<ref name="ShashiSSharma"/>. Il reçoit une éducation [[Hindouisme|hindouiste orthodoxe]] vers 610-620, s'initie aux textes scientifiques grecs{{Note|groupe="n"|À Ujjain, il aurait accès aux écrits de mathématiciens et savants grecs, comme [[Héron d'Alexandrie]], [[Ptolémée]] et [[Diophante]]<ref name="p56"/>}} ainsi qu'aux écrits d'[[Aryabhata]] et [[Varahamihira]] vers 620-627. Ses traités sont imprégnés de ces différentes sources, mais les modifient et corrigent leurs erreurs. Il adhère à l'école astronomique Brahmapaksa{{Note|groupe="n"|Parmi les écoles (''paksa'') existant au temps de Brahmagupta, il faut mentionner les écoles ''Aryapaksa'', ''Ardharatrikapaksa'' et ''Brahmapaksa''<ref>{{harvsp|Guevara Casanova + Puig Pla|Gerschenfeld|2018|p=120}}</ref>}}{{,}}{{sfn|Guevara Casanova + Puig Pla|Gerschenfeld|2018|p=13/40/55-56}}.

Il a probablement vécu la plus grande partie de sa vie à Bhillamala durant le règne (et peut-être mécénat) du Roi Vyaghramukha<ref name="Plofker 418-419"/>. De ce fait, Brahmagupta est souvent appelé Bhillamalacharya, c'est-à-dire ''le professeur de Bhillamala''. Il a dirigé l’observatoire astronomique d'Ujjain, ville sainte du [[Madhya Pradesh]], où il écrit deux textes sur les mathématiques et l'astronomie : ''[[Brahmasphutasiddhanta]]'' en 628 et ''Khandakhadyaka'' en 665{{Note|groupe="n"|Certains spécialistes pensent que Brahmagupta a vécu, étudié et enseigné à Ujjain, puisque c'est là qu'il a exercé ses talents<ref name="p56"/>}}.

Bien que Brahmagupta ait été familier des travaux des astronomes suivant la tradition d'Aryabhata, on ne sait pas s'il était familier de l’œuvre de son contemporain [[Bhāskara I]]<ref name="Plofker 418-419"/>. Brahmagupta a grandement critiqué les œuvres des astronomes rivaux et son ''Brahmasphutasiddhanta'' est considéré comme un des plus anciens schismes des mathématiciens indiens. Cette division a pour cause, au début, l'application des mathématiques au monde physique plutôt que les mathématiques elles-mêmes. Dans le cas de Brahmagupta, les désaccords découlaient en grande partie du choix des paramètres astronomiques et des théories<ref name="Plofker 418-419"/>. La critique des théories rivales apparaît dans les deux premiers chapitres astronomiques et le onzième chapitre est entièrement consacré à la critique de ces théories bien qu’aucune critique n'apparaisse dans les chapitres douze et dix-huit<ref name="Plofker 418-419"/>.

Brahmagupta est un hindou dévot et ses croyances religieuses, à commencer par le système ''yuga'' d'estimation des âges de l'Humanité, imprègnent profondément son travail. Un ''yuga'' ("ère" en [[sanskrit]]) est un âge ou un temps faisant partie d'un cycle plus important de quatre ères : ''Satyayuga'', ''Tretayuga'', ''Dvaparayuga'' et ''Kaliyuga''. Selon la cosmologie hindoue, le monde existe pendant une période de {{nombre|4320000|années}} solaires ({{citation|grande ère}} ou ''Mayayuga'') puis se dissout à nouveau. Brahmagupta critique sévèrement les conceptions cosmologiques [[Jaïnisme|jaïnistes]] et les autres hétérodoxies comme celle d'Aryabhata pour qui la Terre est une sphère en rotation. Cette idée est aussi défendue par Bhaskara I, contemporain et rival de Brahmagupta{{sfn|Guevara Casanova + Puig Pla|Gerschenfeld|2018|p=58}}.

== Œuvres ==
En 628, à l'âge de trente ans, Brahmagupta achève son œuvre maîtresse, le ''Brahmasphutasiddhanta'' (''Traité correct de Brahma''){{Note|groupe="n"|Comme son nom l'indique, le ''Brahmasphutasiddhanta'' est un ''siddhanta'', c'est-à-dire un traité d'astronomie<ref name="p61">{{harvsp|Guevara Casanova + Puig Pla|Gerschenfeld|2018|p=61}}</ref>}}. Ce sont des commentaires de savants indiens ultérieurs qui permettent de dater l'ouvrage, ainsi que des événements astronomiques auxquels il fait référence. Comme ses précurseurs [[Aryabhata]] et [[Varahamihira]], il rédige ses textes mathématiques sous forme versifiée, un peu à la manière des casse-tête qui étaient une forme de divertissement très courant. Il dit lui-même qu'il ne propose ses problèmes mathématiques que parce qu'ils lui procurent du plaisir.

Il rédige son deuxième grand traité d'astronomie mathématique à la fin de sa vie, à l'âge de soixante-sept ans, en 665. Ce second traité compte huit chapitres et est connu sous le nom de ''Khandakhadyaka'' (littéralement {{citation|confiseries}} ou {{citation|douceurs}}){{Note|groupe="n"|Le ''Khandakhadyaka'' est un ''karana'', c'est-à-dire un manuel<ref name="p61"/>}}. Ce titre étrange tient peut-être au fait qu'il s'agit en partie d'une version visant à rendre plus douce la pratique de l'''Aryabhatiya''{{sfn|Guevara Casanova + Puig Pla|Gerschenfeld|2018|p=56/58}}.

== Mathématiques ==
=== Algèbre ===
Brahmagupta a donné la solution générale des [[équation linéaire|équations linéaires]] dans le chapitre dix-huit du ''Brahmasphutasiddhanta'',

{{Citation bloc|(texte traduit)La différence entre les rupas, lorsqu'elle est inversée et divisée par la différence des inconnues, est l'inconnue de l'équation. Les rupas sont [soustrayés du côté] en dessous de ceux à partir desquels le carré et l’inconnu doivent être soustraits<ref name="Plofker Chapter 18 Brahmasphutasiddhanta">{{Harvsp|Plofker 2007|p=428-434}}</ref>.}}

Cette solution de <math>bx+c=dx+e</math> est équivalente à <math>x = \tfrac{e-c}{b-d}</math>, où les ''rupas'' représentent les constantes ''c'' et ''e''. Il donne ensuite deux solutions équivalentes de l'[[Équation du second degré|équation générale du second degré]] <math>ax^2+bx=c</math> :

{{Citation bloc|
18.44. Diminuez par le milieu [nombre] la racine carrée des '' rupas '' multipliée par quatre fois le carré et augmentée par le carré du milieu [nombre]; divisez le reste par deux fois le carré. [Le résultat est] le [numéro] du milieu.

18.45. Quelle que soit la racine carrée des '' rupas '' multipliée par le carré [et] augmentée par le carré de la moitié de l'inconnu, diminuez celle de moitié par l'inconnu [et] divisez [le reste] par son carré. [Le résultat est] l'inconnu <ref name = "Plofker Chapter 18 Brahmasphutasiddhanta" />.}}

Ce qui est respectivement équivalent à

:<math>x = \frac{\sqrt{4ac+b^2}-b}{2a} </math>

et à

:<math>x = \frac{\sqrt{ac+\tfrac{b^2}{4}}-\tfrac{b}{2}}{a}. </math>

Il continue ensuite en résolvant les {{Lien|langue=en|trad=indeterminate equations|fr=équations indéterminées}} indiquant que la variable désirée doit d'abord être isolée puis que l'équation doit être divisée par le [[coefficient]] de la variable désirée. En particulier, il a recommandé d'utiliser « le broyeur » pour résoudre des équations à plusieurs inconnues.

{{Citation bloc|18.51. Subtract the colors different from the first color. [The remainder] divided by the first [color's coefficient] is the measure of the first. [Terms] two by two [are] considered [when reduced to] similar divisors, [and so on] repeatedly. If there are many [colors], the pulverizer [is to be used]<ref name="Plofker Chapter 18 Brahmasphutasiddhanta"/>.}}

Comme l'algèbre de [[Diophante d'Alexandrie|Diophante]], l'algèbre de Brahmagupta est [[Algèbre syncopée|syncopée]]. L'addition est indiquée en plaçant les nombres les uns à côté des autres, la soustraction en plaçant un point sur le diminuteur et une division en plaçant le diviseur en dessous du dividende. La multiplication et les quantités inconnues sont représentées par des abréviations des termes appropriés<ref name="Boyer Brahmagupta Indeterminate equations"/>. L'étendue de l'influence grecque sur sa syncope, s'il y en a une, est inconnue et il est possible que les syncopes grecque et indienne dérivent d'une source babylonienne commune<ref name="Boyer Brahmagupta Indeterminate equations"/>.

=== Géométrie ===
[[Fichier:Brahmaguptas formula.png|vignette|Un quadrilatère cyclique est un quadrilatère qui admet un cercle qui passe par ses quatre sommets. ]]
Brahmagupta a également contribué au domaine de la géométrie avec sa [[formule de Brahmagupta|formule]]<ref>{{Ouvrage|prénom1=Johnson, Roger A. (Roger|nom1=Arthur)|titre=Advanced Euclidean geometry|éditeur=Dover Publications|année=2007|pages totales=319|isbn=978-0-486-46237-0|isbn2=0486462374|oclc=86110095|lire en ligne=https://www.worldcat.org/oclc/86110095|consulté le=2018-10-25}}</ref> (généralisation de la formule d'Heron) permettant de calculer l'aire S de n'importe quel [[quadrilatère cyclique]] en connaissant les longueurs de ses côtés qu'on note ''p, q, r'' et ''s'' : <math>S= \sqrt{(K-p)(K-q)(K-r)(K-s)}</math>

où K est le demi-périmètre:

<math>K=\frac{q+p+r+s}{2}</math>

=== Astronomie ===
Brahmagupta adhère à la plus ancienne école, ''Brahmapaksa'', qui prétend être une révélation du dieu Brahma. Le texte fondateur de cette ''paksa'' est le ''Paitamahasiddhanta'' dont des fragments sont parvenus jusqu'à nous à l'intérieur d'une autre compilation importante, la ''Visnudharmottarapurana''. Le principal traité de cette ''paksa'' après le ''siddhanta'' fondateur est le ''Brahmasphutasiddhanta''{{Note|groupe="n"|''Siddhanta'' corrigé de ''Brahma''<ref name="p121">{{harvsp|Guevara Casanova + Puig Pla|Gerschenfeld|2018|p=121}}</ref>}} de Brahmagupta. Les membres de cette école étaient nombreux dans l'ouest et le nord-ouest du sous-continent<ref name="p121"/>.

==== L'astronomie dans le ''Brahmasphutasiddhanta'' ====
Brahmagupta critique sévèrement [[Aryabhata]], car il estime qu'il s'est écarté des traditions des textes sacrés, les ''smirti'', qui étaient suivis par la ''Brahmapaksa'' originelle. La critique des travaux de ses rivaux {{incise|qui peut être virulente}} transparaît par endroits dans les dix premiers chapitres astronomiques du ''Brahmasphutasiddhanta'', mais le chapitre 11, intitulé ''Tantrapariksadhyaya'', lui est entièrement consacré. Grâce à ses compétences mathématiques, Brahmagupta a mis au point des méthodes ingénieuses de calcul astronomique et c'est grâce à elles qu'il a amélioré le calcul des longitudes des planètes.

Une partie du ''Brahmasphutasiddhanta'' est consacrée au calcul des éclipses de la Lune et du Soleil, car, comme il le dit lui-même : {{citation|Les astronomes recherchent la connaissance du temps avant tout dans le but de comprendre les ''sizigas''}}, c'est-à-dire les situations dans lesquelles trois objets célestes ou plus sont alignés, comme lors des éclipses{{sfn|Guevara Casanova + Puig Pla|Gerschenfeld|2018|p=122/127}}.

==== Le ''Khandakhadyaka'' de Brahmagupta ====
Le second ouvrage de Brahmagupta, le ''Khandakhadyaka'', est rédigé en l'an 587 de lère Saka. Ce manuel nous est parvenu dans son intégralité. Brahmagupta n'est pas qu'un théoricien. Ses calculs sont basés sur des observations à l'aide de dispositifs. Pour lui, ces observations doivent permettre de faire des corrections. Le ''Khandakhadyaka'' contient non seulement des propositions théoriques pertinentes, comme la [[:en:Formule d'interpolation de Brahmagupta|formule d'interpolation]] pour les sinus, mais est remarquable par l'importance accordée aux observations directes{{sfn|Guevara Casanova + Puig Pla|Gerschenfeld|2018|p=127-128}}.

== Postérité ==
=== L'héritage en Inde ===
[[Mahāvīra (mathématicien)|Mahavira]] et [[Bhaskara II]] prolongent l'œuvre de Brahmagupta, en l'assimilant et en la développant. Mahavira (vers 850) est considéré comme le mathématicien indien le plus important du {{s-|IX}}. Il se consacre exclusivement aux mathématiques et ne s'occupe pas d'astronomie. Il appartient à l'école mathématique de [[Mysore]], dans le sud de l'Inde. Il connaît les mathématiques [[Jaïnisme|jaïnistes]], qu'il cultive et amplifie dans son ''Ganitasarasangraha'', le premier traité mathématique non astronomique, écrit en sanskrit, qui nous est intégralement parvenu{{sfn|Guevara Casanova + Puig Pla|Gerschenfeld|2018|p=131-132}}.

Bhaskara II, mathématicien et astronome, dirige l'observatoire d'Ujjain et rédige son traité ''Bijaganita'', qui contient la première tentative de résolution de la division par zéro, et précise qu'il s'agit d'une quantité infinie. Il est célèbre en tant qu'auteur de trois traités : ''Lilavati'', ''Bijaganita'' et ''Siddhantasiromani''{{sfn|Guevara Casanova + Puig Pla|Gerschenfeld|2018|p=136/138}}.

=== Transmission au Moyen-Orient et en Chine ===
Ce sont les voyageurs et les contacts commerciaux qui sont responsables de la diffusion des connaissances [[mathématiques indiennes]] en Asie. Les rares sources sur l'astronomie et l'astrologie iraniennes préislamiques montrent que ces disciplines ont été fortement influencées par des traités écrits en sanskrit. D'autre part, le très érudit évêque syrien [[Sévère Sebôkht]] (575-667) joue un rôle important dans l'assimilation de concepts mathématiques indiens. En 662, il mentionne leurs différentes méthodes de calcul : {{citation|Je ne parlerai pas de la science des Hindous, un peuple distinct des Syriens, ni de leurs subtiles découvertes en astronomie [...], ni de leurs inestimables méthodes de calcul, ni de leurs calculs, qui dépassent toute description}}{{sfn|Guevara Casanova + Puig Pla|Gerschenfeld|2018|p=144}}.

En ce qui concerne la Chine, trois importantes familles d'astronomes indiens s'y sont établies au cours de la [[dynastie Tang]]. Gautama Siddha appartient à l'un de ces lignages. Il a même dirigé le bureau astronomique de Chang'an, capitale de la dynastie. Il a donné les symboles pour les nombres de un à neuf, ainsi que le zéro. Il a introduit la division du cercle en 360 degrés (le système chinois en comptait 365, voire plus), tout comme la détermination de la [[parallaxe]] pour le calcul des éclipses solaires. Il a donné aussi les [[algorithme]]s pour élaborer le calendrier et prédire les éclipses lunaires et solaires{{sfn|Guevara Casanova + Puig Pla|Gerschenfeld|2018|p=144-145}}.

=== Transmission au monde islamique ===
La [[Relation de la Chine et de l'Inde (manuscrit arabe)|''Relation de la Chine et de l'Inde'']] par un marchand arabe ou iranien de [[Siraf]], qui s'est rendu en Chine au {{s-|ix}}, témoigne vers 850 que {{citation|Les Chinois [...] ont des notions d'astronomie, mais dans ce domaine ils sont surpassés par les Indiens}}<ref>Traduction de Reinaud, 1845, t. 1, p. 58 [https://books.google.fr/books?hl=fr&id=IENHAQAAMAAJ&pg=PA58 lire en ligne].</ref>. L'historien [[al-Biruni]] (973-1048){{Note|groupe="n"|al-Biruni est un mathématicien, astronome, philosophe, explorateur, historien et pharmacien perse, qui fut l'un des grands savants du monde islamique<ref>{{harvsp|Guevara Casanova + Puig Pla|Gerschenfeld|2018|p=148}}</ref>}} dans son livre ''Kitab Tariq al-Hind'' (''Histoire de l'Inde'') affirme que le [[calife]] [[Abbassides|Abbasside]] [[al-Ma'mun]] a une ambassade en Inde et fait venir à Bagdad un livre dont le titre en arabe a été traduit par ''Sindhind''. Il est en général reconnu que ''Sindhind'' est le ''[[Brahmasphutasiddhanta]]'' de Brahmagupta<ref name="Boyer Siddhanta"/>. Dans son ''Tarikh al-Hukama'' (''Histoire des érudits''), qui, bien que datant du {{s-|XII}}, cite des sources bien plus anciennes, l'historien [[Ibn al Qifti]] (1172-1248) écrit : {{citation|...une personne venue d'Inde se présente devant le calife al-Mansur, il est expert dans la méthode de calcul ''siddhanta'' du mouvement des objets célestes, et peut résoudre des équations avec les demi-cordes [les sinus] calculées en demi-degrés ...}}. Al-Mansur ordonne que ce traité soit traduit en arabe. L'historien [[Georges Ifrah]] pense que le traité en question doit être le ''[[Brahmasphutasiddhanta]]'' de Brahmagupta. Kanaka, un astronome indien, fait partie de la tradition bibliographique arabe sous le nom de Kanak al-Hindi. On dit qu'il fait partie de l'ambassade envoyée de [[Sind]] à [[Califat abbasside|Bagdad]] pour préparer le ''Zij al-Sindhind'' (la traduction du ''Brahmasphutasiddhanta''){{sfn|Guevara Casanova + Puig Pla|Gerschenfeld|2018|p=146-148}}.

=== L'arrivée des chiffres indo-arabes en Europe ===
La graphie des chiffres modernes et le [[Système de numération indo-arabe|système décimal positionnel]] sont nés en Inde. Leur origine remonte aux chiffres [[brahmi]], apparus entre les {{s2-|III|IV}}. Au cours d'un périple de plusieurs siècles, les chiffres sont passés, en évoluant, par les territoires musulmans et atteignent le Moyen-Orient et la [[Mer Méditerranée|Méditerranée]], puis finissent par arriver en Afrique du Nord, puis en [[Al-Andalus]]{{Note|groupe="n"|Un document atteste la présence de chiffres indo-arabes en Europe. Il s'agit du ''Codex Vigilianus'', qui est conservé au monastère de San Martin de Albeda, à La Rioja (Espagne). ce manuscrit fut copié par un moine en 976. On y voit les chiffres indo-arabes de 1 à 9<ref>{{harvsp|Guevara Casanova + Puig Pla|Gerschenfeld|2018|p=153}}</ref>}}. Au {{s|XI}} et {{s|XII}}, ces chiffres sont aussi présentés en Europe chrétienne à plusieurs reprises<ref>{{Ouvrage|auteur = Nadia Ambrosetti|titre = L'eredità arabo-islamica nelle scienze e nelle arti del calcolo dell'Europa medievale|année = 2008|lieu = Milan|isbn = 978-88-7916-388-0|lire en ligne = {{Google Livres|wp23Le5nxMEC|page=98}}|éditeur = LED|consulté le = 2015-11-23 |langue = it|passage = 98, 197-213}}</ref>. Le marchand et mathématicien italien Léonard de Pise ([[Leonardo Fibonacci|Fibonacci]]), écrit en 1202 dans son traité ''Liber abaci'' : {{citation|À Bougie, je fus introduit à l'art des neuf symboles des Indiens [...]Très rapidement, la connaissance de cet art me passionna et je finis par le maîtriser}}{{sfn|Guevara Casanova + Puig Pla| Gerschenfeld|2018|p=152-153}}. Ils ne se généraliseront en Europe qu'au {{s-|XV}} avec l'usage de l'imprimerie.

== Notes et références ==
=== Notes ===
<references group="n" />

=== Références ===
{{Traduction/Référence|en|Brahmagupta|531826828|type=note}}
{{Références|références=
<ref name="ShashiSSharma">{{Ouvrage|langue=en|nom1=Shashi S. Sharma|titre=Mathematics & Astronomers of Ancient India|éditeur=Pitambar Publishing|année=|isbn=|lire en ligne=https://books.google.co.in/books?id=g9ykYZlzV1oC&pg=PT14&dq}} :{{Citation étrangère bloc|lang=en|He was born in bhillamala. In ancient times it was the seat of power of the Gurjars...Jisnu Gupta..}}</ref>
<ref name="Plofker 418-419">{{Ouvrage|id=Plofker 2007|langue=en|nom1=Plofker|prénom1=Kim|lien auteur1=Kim Plofker|titre=The Mathematics of Egypt, Mesopotamia, China, India, and Islam|sous-titre=A Sourcebook|éditeur=[[Princeton University Press|PUP]]|année=2007|pages totales=685|passage=418-419|isbn=978-0-691-11485-9|présentation en ligne=https://books.google.com/books?id=Juk9DwAAQBAJ&printsec=frontcover}} :{{Citation étrangère bloc|lang=en|The ''Paitamahasiddhanta'' also directly inspired another major ''siddhanta'', written by a contemporary of Bhaskara: The ''Brahmasphutasiddhanta'' (''Corrected Treatise of Brahma'') completed by Brahmagupta in 628. This astronomer was born in 598 and apparently worked in Bhillamal (identified with modern Bhinmal in Rajasthan), during the reign (and possibly under the patronage) of King Vyaghramukha.<br />Although we do not know whether Brahmagupta encountered the work of his contemporary Bhaskara, he was certainly aware of the writings of other members of the tradition of the ''Aryabhatiya'', about which he has nothing good to say. This is almost the first trace we possess of the division of Indian astronomer-mathematicians into rival, sometimes antagonistic "schools." [...] it was in the application of mathematical models to the physical world - in this case, the choices of astronomical parameters and theories - that disagreements arose. [...]<br />Such critiques of rival works appear occasionally throughout the first ten astronomical chapters of the ''Brahmasphutasiddhanta'', and its eleventh chapter is entirely devoted to them. But they do not enter into the mathematical chapters that Brahmagupta devotes respectively to ''ganita'' (chapter 12) and the pulverizer (chapter 18). This division of mathematical subjects reflects a different twofold classification from Bhaskara's "mathematics of fields" and "mathematics of quantities." Instead, the first is concerned with arithmetic operations beginning with addition, proportion, interest, series, formulas for finding lengths, areas, and volumes in geometrical figures, and various procedures with fractions - in short, diverse rules for computing with known quantities. The second, on the other hand, deals with what Brahmagupta calls "the pulverizer, zero, negatives, positives, unknowns, elimination of the middle term, reduction to one [variable], ''bhavita'' [the product of two unknowns], and the nature of squares [second-degree indeterminate equations]" - that is, techniques for operating with unknown quantities. This distinction is more explicitly presented in later works as mathematics of the "manifest" and "unmanifest," respectively: i.e., what we will henceforth call "arithmetic" manipulations of known quantities and "algebraic" manipulation of so-called "seeds" or unknown quantities. The former, of course, may include geometric problems and other topics not covered by the modern definition of "arithmetic." (Like Aryabhata, Brahmagupta relegates his sine-table to an astronomical chapter where the computations require it, instead of lumping it in with other "mathematical" topics.)}}</ref>
<ref name="Boyer Siddhanta">{{Ouvrage|langue=en|prénom1=Carl Benjamin|nom1=Boyer|lien auteur1=Carl Benjamin Boyer|titre=A History of Mathematics|éditeur=|année=1991|passage=226|isbn=|numéro chapitre=13|titre chapitre=The Arabic Hegemony}} : {{Citation étrangère bloc|lang=en|By 766 we learn that an astronomical-mathematical work, known to the Arabs as the ''Sindhind'', was brought to Baghdad from India. It is generally thought that this was the ''Brahmasphuta Siddhanta'', although it may have been the ''Surya Siddhanata''. A few years later, perhaps about 775, this ''Siddhanata'' was translated into Arabic, and it was not long afterwards (ca. 780) that Ptolemy's astrological ''[[Tetrabiblos]]}}</ref>
<ref name="Boyer Brahmagupta Indeterminate equations">{{Harvsp|Boyer|1991|loc=chap. 12 (« China and India »), p. 221}} :{{Citation étrangère bloc|lang=en|he was the first one to give a ''general'' solution of the linear Diophantine equation ax + by {{=}} c, where a, b, and c are integers. […] It is greatly to the credit of Brahmagupta that he gave ''all'' integral solutions of the linear Diophantine equation, whereas Diophantus himself had been satisfied to give one particular solution of an indeterminate equation. Inasmuch as Brahmagupta used some of the same examples as Diophantus, we see again the likelihood of Greek influence in India - or the possibility that they both made use of a common source, possibly from Babylonia. It is interesting to note also that the algebra of Brahmagupta, like that of Diophantus, was syncopated. Addition was indicated by juxtaposition, subtraction by placing a dot over the subtrahend, and division by placing the divisor below the dividend, as in our fractional notation but without the bar. The operations of multiplication and evolution (the taking of roots), as well as unknown quantities, were represented by abbreviations of appropriate words.}}</ref>
}}

== Voir aussi ==
=== Bibliographie ===
{{Légende plume}}
* {{ouvrage|prénom1=Iolanda|nom1=Guevara Casanova|prénom2=Carles|nom2=Puig Pla|prénom3=Abel|nom3=Gerschenfeld|responsabilité3=Trad.| titre=L'algèbre des étoiles|sous-titre=Brahmagupta|éditeur=RBA Coleccionables|lieu=Barcelone|année=2018|pages totales=159|isbn=978-84-473-9719-8|plume=oui}}

=== Articles connexes ===
* [[Identité de Brahmagupta]]
* [[Formule de Brahmagupta]]
* {{Lien|langue=en|trad=Brahmagupta's interpolation formula|fr=Formule d'interpolation de Brahmagupta}}
* [[Théorème de Brahmagupta]]
* [[Méthode chakravala]]

=== Liens externes ===
* {{MacTutor|id=Brahmagupta}}
* {{Autorité}}

{{Palette Mathématiques indiennes}}
{{Portail|monde indien|mathématiques|astronomie}}

[[Catégorie:Histoire du monde indien]]
[[Catégorie:Naissance en 598]]
[[Catégorie:Décès en 668]]
[[Catégorie:Zéro]]
[[Catégorie:Mathématicien indien du VIIe siècle]]
[[Catégorie:Astronome indien du VIIe siècle]]
[[Catégorie:Mononyme de scientifique]]