Voir la source de Cône d'une application

{{Homon|Cône}}
[[File:Mapping cone.PNG|thumb]]
En [[mathématiques]] et plus précisément en théorie de l'[[homotopie]], le '''cône d'une application''' est un [[espace topologique]] construit à partir du cône ayant pour base l'espace de départ de l'application, en identifiant les points de cette base avec ceux de l'espace d'arrivée au moyen de l'application.

== Définition == 
Soit ''X'' et ''Y'' deux espaces topologiques et ''f'' : ''X'' → ''Y '' une application [[continue]]. Le cône de l'application ''f'' ou '''cofibre homotopique''' de ''f'', noté ''C{{ind|f}}<ref>{{Ouvrage|langue=en|prénom1=Allen|nom1=Hatcher|lien auteur1=Allen Hatcher|titre=Algebraic Topology|éditeur=[[Cambridge University Press|CUP]]|lieu=New York|année=2001|pages totales=544|passage=13|isbn=978-0-521-79540-1|lire en ligne=http://www.math.cornell.edu/~hatcher/AT/ATpage.html}}</ref>'', est l'[[espace topologique]] {{citation|obtenu en [[Recollement (topologie)|attachant]] ''C''(''X'') (le [[Cône (topologie)|cône de ''X'']]) à ''Y ''le long de ''f''<ref>{{Ouvrage|prénom1=Michel|nom1=Zisman|titre=Topologie algébrique élémentaire|éditeur=Armand Colin|année=1972|passage=90|isbn=}}</ref>}}, c'est-à-dire en [[Topologie quotient|quotientant]] la [[réunion disjointe]] ''CX''⊔''Y ''par l'identification de chaque élément ''x ''de ''X ''⊂ ''CX ''avec son image ''f''(''x'') dans ''Y''. Plus explicitement, c'est le quotient de la réunion disjointe [[topologie produit|''X''×<nowiki>[</nowiki>0, 1<nowiki>]</nowiki>]]⊔''Y ''par la [[relation d'équivalence]] : (''x'', 0) ∼ (''x{{'}}'', 0) et (''x'', 1) ∼ ''f''(''x'')<ref>Certains auteurs intervertissent 0 et 1 dans les définitions, comme {{Ouvrage|langue=en|prénom1=J. Peter|nom1=May|lien auteur1=J. Peter May|titre=A Concise Course in Algebraic Topology|éditeur=[[University of Chicago Press|UCP]]|année=1999|numéro d'édition=2|pages totales=243|isbn=978-0-226-51183-2|lire en ligne=http://www.math.uchicago.edu/~may/CONCISE/ConciseRevised.pdf|numéro chapitre=8}}.</ref>.

==Cône réduit d'une application pointée==
Pour un [[morphisme]] d'[[Espace pointé|espaces pointés]] ''f'' : (''X'', ''x''{{ind|0}}) → (''Y'', ''y''{{ind|0}}), en quotientant de plus par (''x''{{ind|0}}, ''t'') ∼ ''y''{{ind|0}} (pour tout ''t ''∈ [0, 1] et pas seulement pour ''t ''= 1), on obtient le « cône réduit » ''C''{{ind|✻}}''f ''de ''f''. Cela revient à remplacer, dans la définition ci-dessus, le cône ''CX ''de l'espace par le [[Cône (topologie)#Cône réduit|cône réduit]] ''C''{{ind|✻}}(''X'', ''x''{{ind|0}}) de l'espace pointé.

==Exemples==
* Si ''X ''est la [[n-sphère|sphère ''S{{exp|n}}'']], ''CX ''est ([[homéomorphe]] à) la (''n''+1)-[[boule (mathématiques)|boule]] fermée ''B''{{exp|''n''+1}}. ''C{{ind|f}} ''est alors le quotient de l'union disjointe de cette boule avec ''Y'', par l'identification de chaque point ''x ''du [[Variété (géométrie)#Variété à bord|bord]] ∂''B''{{exp|''n''+1}} = ''S{{exp|n}}'' de cette boule avec son image ''f''(''x'') dans ''Y''. 

* Si ''Y = CX ''et si ''f ''est l'[[Injection canonique|inclusion]] [[Canonique (mathématiques)|canonique]] de ''X ''dans son cône, ''Cf ''est le quotient de ''X''×[0, 1] par : (''x'', 0) ∼ (''x{{'}}'', 0) et (''x'', 1) ∼ (''x{{'}}'', 1). C'est la [[suspension (mathématiques)|suspension]] ''SX'' de l'espace ''X''.

* À l'intersection des deux exemples précédents, le cône de l'inclusion canonique de ''S{{exp|n}} ''dans ''B''{{exp|''n''+1}} est ''S''{{exp|''n''+1}}.

* Le cône réduit d'une [[application constante]] (''X'', ''x''{{ind|0}}) → (''Y'', ''y''{{ind|0}}), ''x ''↦ ''y''{{ind|0}} est Σ(''X'', ''x''{{ind|0}}) ∨ (''Y'', ''y''{{ind|0}}), où Σ désigne la [[suspension réduite]] et ∨ le [[wedge (topologie)|wedge]].

==Propriétés==
*Pour ''f'' : ''X'' → ''Y '', l'espace ''Y ''est, de façon naturelle, un [[Topologie induite|sous-espace]] de ''C{{ind|f}}'' et l'inclusion de ''Y ''dans ''C{{ind|f}} ''est une [[cofibration]].
*Si ''f ''est [[Injection (mathématiques)|injective]] et [[Applications ouvertes et fermées#Définitions|relativement ouverte]], c'est-à-dire si elle induit un homéomorphisme de ''X ''sur ''f''(''X''), alors ''CX ''est également inclus dans ''C{{ind|f}} ''(donc ''X ''aussi).
*Le cône de l'[[application identité]] de ''X ''est naturellement homéomorphe au cône de ''X''.
Toutes ces propriétés se transposent aux espaces pointés, en prenant les cônes réduits d'applications pointées et d'espaces pointés.

Le cône réduit d'un morphisme d'[[espace pointé|espaces bien ponctués]] est [[équivalence d'homotopie|homotopiquement équivalent]] à son cône non réduit.

Les cônes de deux applications continues [[Homotopie|homotopes]] sont homotopiquement équivalents.

Le cône d'une application ''f ''est le double [[cylindre d'application]]s de l'application constante de ''X ''sur un point et de l'application ''f''.

==Applications==
===CW-complexes===
Pour un [[CW-complexe]] ''X'', le [[N-squelette|(''n ''+ 1)-squelette]] ''X''{{ind|''n ''+ 1}} est homéomorphe au cône de l'application
<center><math>\coprod_{i\in I_n} S^n_i\to X_n</math></center>
de recollement des (''n ''+ 1)-cellules, le long de leur bord, au ''n''-squelette.

===Effet sur le groupe fondamental===
Pour tout espace pointé (''X'', ''x''{{ind|0}}) et tout [[Lacet (mathématiques)|lacet]] α : (''S''{{1}}, 1) → (''X'', ''x''{{ind|0}}), représentant un élément du [[groupe fondamental]] de (''X'', ''x''{{ind|0}}), on peut former le cône ''C''{{ind|✻}}α. Dans ce cône, le lacet α devient [[Espace contractile|contractile]] donc sa [[Relation d'équivalence#Classe d'équivalence|classe d'équivalence]] dans le groupe fondamental de (''C''{{ind|✻}}α, ''x''{{ind|0}}) est l'[[élément neutre]].

Cela permet, pour tout groupe ''G ''[[Présentation d'un groupe|défini par générateurs et relations]], de construire un [[CW-complexe|2-complexe]] dont le groupe fondamental est ''G''.

===Homologie relative===
Le cône d'application permet d'interpréter l'{{Lien|trad=Relative homology|homologie relative}} d'une [[paire d'espaces]] (''X'', ''A'') comme l'{{Lien|trad=Reduced homology|homologie réduite}} du [[Topologie quotient|quotient]] :

si ''H''{{ind|✻}} est une [[Axiomes d'Eilenberg-Steenrod|théorie homologique]] et ''i '': ''A ''→ ''X ''une [[cofibration]], alors
<center><math>H_*(X,A)=H_*(X/A,*)=\tilde H_*(X/A),</math></center>
en appliquant l'[[Théorème d'excision|excision]] au cône de ''i''<ref>{{Harvsp|May|1999|loc=§ 14.2}}</ref>.

===Équivalences d'homotopie et d'homologie===

Un morphisme entre deux CW-complexes [[simplement connexe]]s est une [[équivalence d'homotopie]] si et seulement si son cône est [[contractile]].

Soit ''H''{{ind|✻}} une théorie homologique. L'application ''f'' : ''X'' → ''Y ''induit un isomorphisme en ''H''{{ind|✻}} si et seulement si l'application du point dans ''C{{ind|f}} ''induit un isomorphisme en ''H''{{ind|✻}}, c'est-à-dire si ''H''{{ind|✻}}(''C{{ind|f}}'', ∙) = 0.

===Rôle en théorie de l'homotopie===
Si ''A ''est un [[fermé (topologie)|fermé]] de ''X ''et si l'inclusion ''i ''de ''A ''dans ''X ''est une cofibration, alors le cône de ''i ''est homotopiquement équivalent à ''X''/''A''. Comme la cofibration de ''Y ''dans ''C{{ind|f}} ''est [[Application fermée|fermée]], son cône est homotopiquement équivalent à ''C{{ind|f}}''/''Y'' donc à la [[suspension (mathématiques)|suspension]] ''SX ''de ''X''. En continuant ainsi, le cône de l'inclusion de ''C{{ind|f}} ''dans ''SX ''donne la suspension de ''Y''{{etc.}}

Si ''h'' : ''Y'' → ''Z ''est une autre application continue, la [[Composition de fonctions|composée]] ''h''∘''f ''est [[Espace contractile#Définitions équivalentes|homotopiquement nulle]] si et seulement si ''h ''est [[Prolongement|prolongeable]] en une application continue de ''C{{ind|f}} ''dans ''Z''.

La version pointée de cette équivalence prouve l'[[Suite exacte|exactitude]] de la [[suite de Puppe]] :

<center><math>\ldots\to[\Sigma Y,Z]\to[\Sigma X,Z]\to[C_*f,Z]\to[Y,Z]\to[X,Z].</math></center>

==Notes et références==
{{Traduction/Référence|lang1=en|art1=Mapping cone (topology)|id1=501045702|lang2=de|art2=Abbildungskegel|id2=114623893|type=note}}
{{reflist}}
*{{Bredon1}}
*{{Ouvrage|langue=en|prénom1=Robert M.|nom1=Switzer|titre=Algebraic Topology – Homology and Homotopy|éditeur=Springer|collection=Classics in Mathematics|année=2002|année première édition=1975|pages totales=526|isbn=978-3-540-42750-6}}

==Voir aussi==
{{Lien|trad=Mapping cone (homological algebra)|Mapping cone (algèbre homologique)}}

{{Portail|mathématiques}}

{{DEFAULTSORT:Cone d'une application}}
[[Catégorie:Topologie algébrique]]
[[Catégorie:Construction topologique]]