Voir la source de Cône de révolution

{{Ébauche|géométrie}}
Le terme de  '''cône circulaire droit''' ou '''cône de révolution''' s'applique à deux types d'objets mathématiques : une surface et un solide
* comme surface, il s'agit de la [[Surface de révolution|surface engendrée par la révolution]] d'une [[droite sécante]] à un axe fixe autour de ce dernier. Il s'agit d'un cas particulier de [[Cône (géométrie)|cône]]. Les [[conique]]s forment une famille très utilisée de [[courbe plane|courbes planes]] [[courbe algébrique|algébrique]]s résultant de l'intersection d'un plan avec un cône de révolution. 
* comme solide, il s'agit du [[solide de révolution]] engendré par la rotation d'un triangle rectangle autour d'un des côtés de l'angle droit. Le solide délimité par un  tel cône et deux plans perpendiculaires à son axe de révolution est appelé un ''tronc de cône''.

== Équations et paramétrisation de la surface de révolution ==
[[Fichier:Conederevolution.jpg|vignette|Section d'un cône de révolution limitée par deux plans perpendiculaires à son axe situés de part et d'autre de son [[Sommet (géométrie)|sommet]].]]
Dans un [[repère orthonormé]] de l'espace, le cône engendré par la rotation d'une droite passant par {{Mvar|O}} autour de l'axe ({{Mvar|Oz}}) est l'ensemble des points de [[coordonnées cylindriques]] <math>(\rho,\theta,z)</math> vérifiant l'équation :  

{{Centrer|<math>\rho = z\tan \phi</math>}}

où <math>\phi</math> est l'angle entre la droite et l'axe (demi-angle au sommet du cône).

On en déduit l'équation en [[coordonnées cartésiennes]] <math>(x,y,z)</math> :

{{Centrer|<math>x^2 + y^2 = z^2\tan^2 \phi</math>}}

Ainsi que la paramétrisation : <math>\qquad
\begin{cases}x = u \cos v \\ y = u \sin v \\ z = u \cot \phi\end{cases}
\quad</math>.

== Propriétés  associées au solide de révolution==
{{Infobox Polytope
 | nom = Cône de révolution
 | image = Conerevolution.gif
 | légende = Tronc de cône de révolution de base de [[Rayon (géométrie)|rayon]] {{math|''r''}} de [[Hauteur (géométrie)|hauteur]] {{math|''h''}},  et de demi-[[angle]] au sommet <math> \phi</math>.
 | type = [[Solide de révolution]]
 | faces = 1 face [[Cercle|circulaire]] et une surface conique
 | volume = {{formule|§={{sfrac|''[[Pi|π]]'' ''r''<sup> 2</sup>  ''h''|3}}}}
 | aire = (surface latérale) : {{math|''[[Pi|π]]''  ''r''  {{Racine|(''r''<sup> 2</sup> + ''h''<sup> 2</sup>)}}}} 
 | propriétés = [[Construction à la règle et au compas|Constructible]]
}}

=== Aire et volume d'un cône solide ===
Aire latérale et volume du cône solide (tronc de cône délimité par un demi cône et un plan à une distance {{math|''h''}} du sommet, coupant le cône suivant un cercle de rayon {{math|''r''}}) :
:<math>A=\pi r R= \pi r \sqrt{r^2 + h^2}</math>
:<math>V=\frac13\pi r^2 h.</math>

=== Aire latérale et volume d'un tronc de cône ===
[[Image:CroppedCone.svg|vignette|Tronc de cône de hauteur {{mvar|h}}, d'apothème {{mvar|s}}. Les bases parallèles sont des cercles de rayons <math>r_1</math> et <math>r_2</math>.|left]]

Dans le cas général, si les deux plans, distants de {{math|''h''}} coupent le cône suivant deux cercles de rayon {{math|''r''{{ind|1}}}} et {{math|''r''{{ind|2}}}}, l'aire latérale et le volume valent <ref name=":a"> GIECK, ''Formulaire technique'', {{10e}} édition, 1997, C2</ref> :
: <math> A=\pi(r_1+r_2)\sqrt{(r_1-r_2)^2 + h^2} = \pi(r_1+r_2)s</math>
: <math>V=\frac13 \pi (r_1^2+r_1r_2+r_2^2)h.</math>

=== Relations entre le tronc de cône et son patron ===
[[Fichier:Secteurdisque.png|vignette|[[Secteur circulaire]] de rayon R et d'angle rentrant θ.|left]]
:La surface latérale d'un tronc de cône de hauteur {{math|''h''}} et de rayon de base {{math|''r''}} a pour [[Patron (géométrie)|patron]] plan un disque de rayon {{Mvar|R}} dans lequel on a découpé un secteur d'angle <math>\theta</math>.
:La relation entre {{Mvar|R, r}} et <math>\theta</math> est alors : <math>\frac{R}{r}=\frac{2\pi}{2\pi-\theta}</math>.  En éliminant {{math|''r''}} entre cette relation et <math>R^2=r^2+h^2</math>, on obtient : <math>h=R\sqrt{\frac{\theta}{2\pi}\left ( 2-\frac{\theta}{2\pi} \right )}</math>.
:La relation entre <math>\theta</math> et <math>\phi</math> est : <math>\theta=2\pi(1-\sin\phi)</math>.

=== Tronc de cône de volume maximal pour un rayon de patron donné ===
Partant de la formule <math>V=\frac\pi3(R^2-h^2) h</math>, on obtient que le volume maximal à {{Mvar|R}} fixé est obtenu pour <math>h=R/\sqrt3</math> .

Le volume maximal vaut donc <math>\frac{2\pi}{27}\sqrt3R^3</math>, et le demi-angle au sommet, <math>\phi=\arctan{ (\sqrt2)}\approx 54^\circ44'</math> est l'[[Angle magique|angle dit « magique »]] (voir la {{OEIS|A195696 }}) ; l'angle au centre du secteur de disque est <math>\theta=2\pi\left ( 1-\sqrt{\frac{2}{3}} \right )\approx 66^\circ4'</math>.

=== Tronc de cône de volume maximal pour une aire latérale donnée ===
Partant de la formule <math>V=\frac r3\sqrt{A^2-\pi^2r^4}</math>, on obtient que le volume maximal à {{Mvar|A}} fixé est obtenu pour <math>h=r\sqrt 2 </math> <ref>{{Lien web |langue=en |auteur=John D. Barrow |titre=Outer space: Archimedean ice cream cones |url=https://plus.maths.org/content/outer-space |site=plus.math.org |date= |consulté le=7 aout 2017}}</ref>, soit pour <math>\phi=\arctan{ (1/\sqrt2)}\approx 35^\circ16'</math>, [[Angles complémentaires|complémentaire]] de l'angle magique précédent (voir la {{OEIS|A195695}}) ; l'angle au centre du secteur de disque est alors <math>\theta=2\pi\left ( 1-{\frac{1}{\sqrt3}} \right )\approx 152^\circ9'</math>. 

== Notes et références ==
{{Références}}

==Articles connexes==
* [[Compas parfait]]
*[[Formulaire de géométrie classique]]

{{Palette|Solides géométriques|Quadriques}} 
{{portail|géométrie}}

[[Catégorie:Forme géométrique]]
[[Catégorie:Quadrique]]