Voir la source de Cône tangent

En [[analyse convexe]], le '''cône tangent''' au sens de [[Georges Bouligand|Bouligand]], ou '''cône contingent'''<ref>G. Bouligand, ''Introduction à la géométrie infinitésimale directe'', Paris, [[Gauthier-Villars]], 1932.</ref>, est une certaine approximation au premier ordre d'un [[ensemble]] en un point, comme l'[[Dérivée|application dérivée]] d'une [[Fonction (mathématiques)|fonction]] est son [[Approximation affine|approximation au premier ordre]] en un point. Cette notion est par exemple utilisée pour établir les [[Conditions d'optimalité (dimension finie)|conditions d'optimalité]] du premier ordre des problèmes d'[[Optimisation (mathématiques)|optimisation]] de dimension finie.

== Notations ==
Dans tout cet article, <math>E</math> désigne un [[espace vectoriel]] [[Nombre réel|réel]] — [[Espace vectoriel topologique|topologique]] si nécessaire (si <math>E</math> est [[espace vectoriel de dimension finie|de dimension finie]], on le suppose muni de [[Topologie d'un espace vectoriel de dimension finie|sa topologie usuelle]]) — <math>X</math> une partie non vide de <math>E</math> et <math>x</math> un point de <math>E</math>. On note :
*<math>\Lambda X:=\{\lambda x\mid\lambda\in\Lambda, x\in X\}</math>, pour tout <math>\Lambda\subset\R</math> (lorsque <math>X=\{x\}</math>, on utilise la notation simplifiée <math>\Lambda x:=\Lambda\{x\}</math>). <math>X</math> est donc un [[Cône (analyse convexe)|cône]] si <math>\R_+^*X\subset X</math>.
* <math>\overline{X}</math> l'[[Adhérence (mathématiques)|adhérence]] de <math>X</math> ;
*<math>\operatorname{aff}X</math> son [[Sous-espace affine engendré|enveloppe affine]], <math>\operatorname{ir}X</math> son [[intérieur relatif]] et <math>\partial_{\rm rel}X=\overline X\setminus\operatorname{ir}X</math> sa frontière relative ;
*si <math>X</math> est un [[sous-espace affine]] : <math>\overrightarrow X</math> sa [[Espace affine#Première définition|direction]].

On note en outre :
*<math>\operatorname{Im}f</math> l'[[image d'une application]] <math>f</math> ;
*<math>\operatorname{Ker}f</math> le [[Noyau (algèbre)#Noyau d'une application linéaire|noyau]] d'une [[application linéaire]] <math>f</math> ;

== Cône des directions admissibles ==
Le ''cône des directions admissibles'', ou ''cône radial''<ref>{{Harvsp|Bonnans|Shapiro|2000|p=44}}. Pour de nombreuses autres dénominations, voir {{Harvsp|Khan|Tammer|Zălinescu|2015|p=111}}.</ref> de <math>X</math> en <math>x</math>, noté <math>\operatorname{R}_X(x)</math>, est défini par
{{Centrer|
<math>
\operatorname R_X(x):=\{d\in E\mid x+td\in X</math> pour tout réel <math>t>0</math> petit<math>\}.
</math>
}}

Ce cône est donc vide si <math>x\notin\operatorname{aff}X</math>, et égal à <math>\overrightarrow{\operatorname{aff}X}</math> tout entier dès que <math>X-x</math> est une [[Espace vectoriel topologique#Ensemble absorbant|partie absorbante]] de ce sous-espace.

== Cône tangent ==
Comme pour le calcul de la dérivée d'une fonction, la définition des directions tangentes qui sont les éléments du cône tangent requiert un passage à la limite. Il n'est pas satisfaisant en effet de prendre le ''cône des directions admissibles'' comme cône tangent à <math>X</math> en <math>x</math>. Par exemple, le cône des directions admissibles à un cercle de <math>\R^2</math> est vide en tout point, si bien que l'on ne retrouve pas, avec cette notion, celle des directions tangentes connue, aussi il en faut une nouvelle :

{{Théorème|Direction tangente et cône tangent, au sens de Bouligand<ref>{{Harvsp|Bonnans|Shapiro|2000|p=40 et 44}}.</ref>|Le ''cône tangent'', ou ensemble des ''directions tangentes'' (au sens de Bouligand) à <math>X\subset E</math> en <math>x\in E</math>, noté <math>\operatorname T_X(x)</math> (ou parfois <math>\operatorname T(X,x)</math>)<ref>En [[Espace tangent|géométrie différentielle]], l'[[espace tangent]] est noté <math>\operatorname T_xX</math>.</ref>, est défini par :
{{Centrer|<math>\operatorname T_X(x):=\cap_{\varepsilon>0}\overline{\left]1/\varepsilon,+\infty\right[\;(X-x)}</math>.}}
}}

Il résulte de cette définition que <math>\operatorname T_X(x)</math> :
*est un cône [[Fermé (topologie)|fermé]] inclus dans l'adhérence de <math>\overrightarrow{\operatorname{aff}X}</math> ;
*est égal à cette adhérence dès que <math>x\in\operatorname{ir}X</math> (puisque <math>\operatorname R_X(x)\subset\operatorname T_X(x)</math>) ;
*est vide si <math>x\notin\overline X</math> (donc n'a d'intérêt que si <math>x\in\partial_{\rm rel}X</math>) ;
*est inchangé lorsqu'on remplace <math>X</math> par <math>\overline X</math> ;
*commute aux réunions finies, c'est-à-dire : <math>\operatorname T_{X\cup Y}(x)=\operatorname T_X(x)\cup\operatorname T_Y(x)</math> (pour toute partie <math>Y</math> de <math>E</math>) ;
*est donc une fonction croissante de <math>X</math>, c'est-à-dire : <math>X\subset Y\Rightarrow\operatorname T_X(x)\subset\operatorname Y_Y(x)</math>, {{Retrait|ce qui s'écrit aussi, par exemple : <math>\operatorname T_{\cap_{i\in I}X_i}(x)\subset\cap_{i\in I}\operatorname T_{X_i}(x)</math> (pour toute [[Famille (mathématiques)|famille]] non vide<ref>En dimension finie, pour avoir l'égalité, on se sert de [[Qualification de contraintes|conditions de qualification]] des <math>X_i</math>, un enjeu important dans l'écriture des [[Conditions d'optimalité (dimension finie)|conditions d'optimalité]] en optimisation.</ref> <math>(X_i)_{i\in I}</math> de parties de <math>E</math>).}}

Lorsque <math>E</math> est [[à bases dénombrables de voisinages]], par exemple lorsque c'est un [[espace vectoriel normé]], l'adhérence d'une partie de <math>E</math> se réduit à sa [[Espace séquentiel#Fermeture séquentielle|fermeture séquentielle]], et la définition du cône tangent se traduit alors par :

{{énoncé|<math>d\in\operatorname T_X(x)</math> s'il existe des suites <math>\{t_k\} \subset\R</math> et <math>\{x_k\}</math> telles que
{{Centrer|
<math>
\{x_k\} \subset X,\qquad t_k\to0^+\qquad\mbox{et}\qquad\frac{x_k - x}{t_k}\to d
</math>
}} ou encore, s'il existe des suites <math>\{t_k\} \subset\R</math> et <math>\{d_k\}\subset E</math> telles que
{{Centrer|
<math>
x+t_kd_k\in X, \qquad t_k\to0^+\qquad \mbox{et}\qquad d_k \to d.
</math>
}}
}}

Autrement dit, <math>d\in\operatorname T_X(x)</math> s'il existe une suite de vecteurs <math>d_k\in E</math> convergeant vers <math>d</math>, telle que <math>x+\R_+^*d_k</math> rencontre <math>X</math> en des points de plus en plus proches de <math>x</math> lorsque <math>k\to\infty</math>.

== Cône normal ==
Pour définir le cône normal, on a besoin d'un [[produit scalaire]] sur <math> E</math>. On suppose donc que <math>E</math> est un [[espace préhilbertien]] et l'on note <math>\langle\cdot,\cdot\rangle</math> son produit scalaire.

{{Théorème|Vecteur normal, cône normal|Le ''cône normal'', ou ensemble des ''vecteurs normaux'' à <math>X</math> en <math>x\in\overline X</math>, noté <math>\operatorname N_X(x)</math>, est le [[Cône dual|cône dual négatif]] du cône tangent : <math>\operatorname N_X(x):=-{\operatorname T_X(x)}^*</math> :
{{Centrer|<math>p\in\operatorname N_X(x)\Leftrightarrow\forall d\in\operatorname T_X(x)\quad\langle p,d\rangle\leqslant0.</math>}}}}

Par conséquent, <math>\operatorname N_X(x)</math> est un [[cône convexe]] fermé.

;Exemple
:Soit <math>X</math> le cône (non [[ensemble convexe|convexe]]) <math>(\R_+\times\{0\})\cup(\{0\}\times\R_+)</math>. Alors, <math>\operatorname T_X(0)=X</math> donc <math>\operatorname N_X(0)=\R_-\times\R_-</math>.

== Cas d'un convexe ==
{{Ancre|Propriétés}}
Dans le cas où l'ensemble est convexe, le calcul du cône tangent et du cône normal se simplifient.

{{Théorème|Cônes tangent et normal à un convexe|Dans un espace vectoriel topologique <math>E</math>, soit <math>x</math> un point de l'[[Adhérence, intérieur et frontière d'un convexe#Adhérence d'un convexe|adhérence d'un convexe]]<!--automatiquement non vide d'après l'existence de x--> <math>C</math>. Alors :
*<math>\operatorname T_C(x)=\overline{\R_+(C-x)}</math> ;
*<math>\operatorname N_C(x)=-(C-x)^*</math> et <math>\operatorname T_C(x)=-\operatorname N_C(x)^*</math>, en supposant que <math>E</math> est préhilbertien.}}

{{Théorème|Transport affine des cônes tangent et normal à un convexe : [[image directe]]|Soient <math>E</math> et <math>F</math> deux espaces vectoriels topologiques, <math>a:E\to F:x\mapsto Ax+b</math> une [[application affine]] continue (<math>A:E\to F</math> est linéaire continue et <math>b\in F</math>), et <math>x</math> un point de l'adhérence d'un convexe <math>C\subset E</math>.
#<math>\operatorname T_{a(C)}{(a(x))}=\overline{A[\operatorname T_C{(x)}]}</math> ;
#<math>\operatorname N_{a(C)}{(a(x))}=(A^*)^{-1}[\operatorname N_C(x)]</math>, en supposant que <math>E</math> est [[Espace de Hilbert|hilbertien]] et <math>F</math> préhilbertien, et en notant <math>A^*</math> l'[[Opérateur adjoint#Préhilbertien|adjoint]] de <math>A</math>.
}}

{{Démonstration|
On se ramène facilement par translation au cas où <math>b=0</math> (donc <math>a=A</math>) et <math>x=0</math> (donc <math>A(x)=0</math>).
#<math>\operatorname T_{A(C)}{(0)}=\overline{\R_+A(C)}=\overline{A(\R_+C)}=\overline{A(\overline{\R_+C})}=\overline{A[\operatorname T_C{(0)}]}</math>. L'adhérence est ici nécessaire, puisque par exemple {{infra|Cône convexe fermé}} si <math>C</math> est un cône convexe fermé alors <math>\operatorname T_C{(0)}=C</math> et <math>A(C)</math> n'est pas nécessairement fermé ;
#<math>\operatorname N_{A(C)}{(0)}=-A(C)^*=-(A^*)^{-1}(C^*)=(A^*)^{-1}[\operatorname N_C(0)]</math>.
}}

=== Cas d'un convexe en dimension finie ===
En dimension finie, grâce à l'[[Séparation des convexes#Hyperplans d'appui|existence d'hyperplans d'appui]], on déduit de l'expression ci-dessus de <math>\operatorname N_C(x)</math> :

{{Théorème|Vecteur non nul normal à un convexe|Dans un [[espace euclidien]], soit <math>x</math> un point de la [[frontière relative d'un convexe]] <math>C</math>. Alors, <math>\operatorname N_C(x)\cap\overrightarrow{\operatorname{aff}(C)}</math> contient un vecteur non nul.}}

{{section TI|date=février 2017}}
Le transport affine par [[image réciproque]] est moins classique que celui (ci-dessus) par image directe, et nécessite plus de précautions :

{{Théorème|{{refnec|date=février 2017|Transport affine des cônes tangent et normal à un convexe : image réciproque}}|Soient <math>E</math> et <math>F</math> deux espaces euclidiens<ref>Dans l'expression du cône tangent (point 2), les produits scalaires (sur ''E'' et ''F'' de dimensions finies) sont un outil de calcul mais n'interviennent pas dans le résultat.</ref>, <math>a:E\to F:x\mapsto Ax+b</math> une application affine, <math>A^*</math> l'adjoint de <math>A</math>, <math>D\subset F</math> un convexe, et <math>x\in\overline{a^{-1}(D)}</math>.
#<math>\operatorname N_{a^{-1}(D)}{(x)}=A^*[\operatorname N_{D\cap\operatorname{Im}a}(a(x))]</math>. En particulier, l'ensemble <math>A^*[\operatorname N_{D\cap\operatorname{Im} a}(a(x))]</math> est fermé ;
#<math>\operatorname T_{a^{-1}(D)}{(x)}=A^{-1}[\operatorname T_{D\cap\operatorname{Im}a}(a(x))]</math>.}}

{{Démonstration|
Comme précédemment, supposons [[sans perte de généralité]] que <math>b=0</math> et <math>x=0</math>.
#Puisque <math>\overline{A^{-1}(D)}</math> est stable par translation par <math>\operatorname{Ker}A</math> et (par hypothèse) contient <math>0</math>, il contient <math>\operatorname{Ker}A</math>, donc son dual <math>A^{-1}(D)^*</math> est inclus dans <math>(\operatorname{Ker}A)^*=\operatorname{Im}{(A^*)}</math>. Par conséquent, <math>\operatorname N_{A^{-1}(D)}{(0)}=-A^{-1}(D)^*=-A^{-1}(D)^*\cap\operatorname{Im}{(A^*)}=-A^*[(D\cap\operatorname{Im}A)^*]=A^*[\operatorname N_{D\cap\operatorname{Im}A}(0)]</math>. La fermeture de cet ensemble peut paraître surprenante car {{infra|Cône convexe fermé}} l'image par une application linéaire d'un cône convexe fermé n'est pas nécessairement fermée. En guise de certification, voici une autre preuve de ce fait. On sait que l'image par l'application linéaire <math>A^*</math> d'une partie <math>K\subset F</math> est fermée si et seulement si <math>K+\operatorname{Ker}{(A^*)}</math> est fermé. Dans le cas présent, <math>K:=\operatorname N_{D\cap\operatorname{Im}A}(0)=-\left(D\cap\operatorname{Im}A\right)^*</math> est un cône convexe fermé qui contient <math>(\operatorname{Im}A)^*=\operatorname{Ker}{(A^*)}</math>, si bien que <math>K+\operatorname{Ker}{(A^*)}=K</math> est fermé ;
#<math>\operatorname T_{A^{-1}(D)}{(0)}=-[\operatorname N_{A^{-1}(D)}{(0)}]^*=-[A^*[\operatorname N_{D\cap\operatorname{Im}A}(0)]]^*=A^{-1}[-[\operatorname N_{D\cap\operatorname{Im}A}(0)]^*]=A^{-1}[\operatorname T_{D\cap\operatorname{Im}A}(0)]</math>.
}}

== Exemples ==

=== Polyèdre convexe ===
Soit <math>P</math> un [[polyèdre convexe]] de <math>\R^n</math>, que l'on suppose donné comme une intersection d'un nombre fini de [[demi-espace]]s :
{{Centrer|
<math>
P:=\{x\in\R^n\mid Ax\leqslant b\}
</math>,
}}
où <math>A</math> est une [[Matrice (mathématiques)|matrice]] de type <math>m\times n</math>, <math>b\in\R^m </math> et l'inégalité est entendue composante par composante : <math>(Ax)_i\leqslant b_i</math> pour tout <math>i\in\{1,\ldots,m\}</math>. On note pour un point <math>x\in P</math> :
{{Centrer|
<math>
I(x):=\{i\in\N\mid1\leqslant i\leqslant m,~(Ax-b)_i=0\}
</math>.
}}
Alors les cônes tangent et normal en <math>x\in P</math> s'écrivent
{{Centrer|<math>\operatorname T_P(x)=\operatorname R_P(x)=\{d\in\R^n\mid(Ad)_{I(x)}\leqslant 0\}\quad\text{et}\quad\operatorname N_P(x)=\operatorname{cone}\{A_i^{\!\top\!}\mid i\in I(x)\}</math>,}}
où <math>A_i^{\!\top\!}\in\R^n</math> est le vecteur formé par la ligne <math>i</math> de <math>A</math> et « <math>\operatorname{cone}</math> » désigne l'opérateur qui prend l'[[Cône (analyse convexe)#Enveloppe conique|enveloppe conique]] d'un ensemble (le plus petit cône convexe pointé contenant l'ensemble). Pour l'écriture du cône normal, on a supposé que <math>\R^n</math> était muni du produit scalaire euclidien.

=== Cône convexe fermé ===
Soient <math>C</math> un cône convexe fermé d'un espace euclidien<ref>{{Harvsp|Hiriart-Urruty|Lemaréchal|1993|p=137}}, {{Lang|en|Examples}} 5.2.6 (a).</ref> et <math>x\in C</math>. Alors, {{Centrer|<math>\operatorname N_C(x)=(-C^*)\cap(x^\bot)\quad\text{donc}\quad\operatorname T_C(x)=\overline{C+\R x}</math>,}}
en particulier, <math>\operatorname N_C(0)=-C^*</math> et <math>\operatorname T_C(0)=C</math>.

Remarquons que <math>C+\R x</math> n'est pas toujours fermé (donc l'image d'un cône convexe fermé <math>C\times D</math> par l'application linéaire <math>+</math> n'est pas toujours fermée). Par exemple, dans l'espace <math>\mathbb S^n</math> des [[Matrice symétrique|matrices symétriques]] réelles d'ordre <math>n</math>, muni du produit scalaire usuel (<math>\langle A,B\rangle:=\operatorname{tr}(AB)</math> où <math>\operatorname{tr}</math> désigne la [[Trace (algèbre)|trace]]), soit <math>\mathbb S^n_+</math> le cône ([[Cône dual|autodual]]) de [[Matrice autoadjointe positive#Le cas réel|celles qui sont positives]]. Les cônes normal et tangent à <math>\mathbb{S}^n_+</math> en <math>A\in\mathbb{S}^n_+</math> s'écrivent
{{Centrer|<math>\operatorname N_{\mathbb S^n_+}{(A)}=(-\mathbb S^n_+)\cap(A^\bot)\quad\text{et}\quad\operatorname T_{\mathbb S^n_+}{(A)}=\{D\in\mathbb{S}^n\mid\forall v\in\operatorname{Ker}A\;\;v^{\!\top\!} Dv\geqslant 0\}.</math>}}
Ainsi pour <math>A=\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}</math>, <math>\mathbb S^2_++\R A=\left\{\left.\begin{pmatrix}a&b\\b&c\end{pmatrix}\in\mathbb S^2~\right|~(b=c=0)\quad\text{ou}\quad c>0\right\}</math> et <math>\operatorname T_{\mathbb S^2_+}{(A)}=\left\{\left.\begin{pmatrix}a&b\\b&c\end{pmatrix}\in\mathbb S^2~\right|~c\ge0\right\}</math>.

== Qualification de contraintes ==
{{Article détaillé|Qualification de contraintes}}
Un ensemble peut être représenté au moyen de fonctions. Par exemple, on peut utiliser des ''contraintes'' d'égalité et d'inégalité comme ci-dessous
{{Centrer|
<math>
X=\{x\in E\mid c_E(x)=0, c_I(x)\leqslant 0\},
</math>
}}
où les ''contraintes d'égalité'' sont définies au moyen de la fonction <math>c_E:E\to\R^{m_E}</math> et les ''contraintes d'inégalité'' sont définies au moyen de la fonction <math>c_I:E\to\R^{m_I}</math>. L'inégalité vectorielle <math>c_I(x)\leqslant 0</math> doit ici être entendue composante par composante. On note <math>E</math> l'ensemble des indices des contraintes d'égalité, qui s'écrivent donc aussi <math>c_i(x)=0</math> pour tout indice <math>i\in E</math>. De même pour l'ensemble <math>I</math> des contraintes d'inégalité.

Se pose alors la question de savoir calculer le cône tangent en un point <math>x</math> à partir des dérivées premières des fonctions <math>c_E</math> et <math>c_I</math> en <math>x</math>.

Il est naturel de s'intéresser à l'expression suivante obtenue en linéarisant les fonctions <math>c_E</math> et <math>c_I</math> en <math>x</math> :
{{Centrer|
<math>
\operatorname T'_X(x):=\{d \in E\mid c'_E(x)\cdot d = 0, \; c'_{I^0(x)} (x) \cdot d \leqslant 0\},
</math>
}}
où l'on a noté
{{Centrer|
<math>
I^0(x) := \{i \in I\mid c_i (x) = 0\}.
</math>
}}
On peut montrer que, sous des hypothèses raisonnables, on a toujours
{{Bloc emphase|espacement=1.5ex|<math>\operatorname T_X(x)\subset\operatorname T'_X(x).</math>}}
On aimerait avoir égalité pour pouvoir calculer le cône tangent par une formule explicite, mais cette égalité n'est pas toujours vérifiée. On dit que les ''contraintes'' (on devrait dire les fonctions définissant les contraintes) <math>c_E</math> et <math>c_I</math> sont '''qualifiées en <math>x</math>''' si <math>\operatorname T_X(x)= \operatorname T'_X(x).</math> Comme <math>\operatorname T_X(x)</math> ne dépend que de l'ensemble <math>X</math>, pas des fonctions <math>c_E</math> et <math>c_I</math>, il s'agit d'une notion assurant que la représentation de <math>X</math> par <math>c_E</math> et <math>c_I</math> convient.

== Annexes ==

=== Notes et références ===
{{Références|colonnes=2}}

=== Bibliographie ===
*{{Ouvrage|lang=en|auteur=J. F. Bonnans|auteur2=A. Shapiro|année=2000|titre=Perturbation Analysis of Optimization Problems|éditeur=[[Springer Verlag|Springer]]|lieu=New York|url={{Google Livres|ET70F9HgIpIC}}}}
*{{Ouvrage|auteur=J.-B. Hiriart-Urruty|titre=Optimisation et analyse convexe|éditeur=[[EDP Sciences]]|année=2009|année première édition=1998, [[PUF]]|url={{Google Livres|Zvl_RSHhJoQC}}}}
*{{Ouvrage|lang=en|auteur=J.-B. Hiriart-Urruty|auteur2=C. Lemaréchal|année=1993|titre=Convex Analysis and Minimization Algorithms|vol=1|collection=[[Grundlehren der mathematischen Wissenschaften|Grund. math. Wiss.]]|numéro dans collection=305|éditeur=Springer|url={{Google Livres|Gdl4Jc3RVjcC|page=133}}|page=133-142}}
*{{Ouvrage|lang=en|auteur=J.-B. Hiriart-Urruty|auteur2=C. Lemaréchal|titre=Fundamentals of Convex Analysis|éditeur=Springer|année=2004|année première édition=[https://books.google.fr/books?id=Ben6nm_yapMC 2001]|url={{Google Livres|hIYKBwAAQBAJ}}}}
*{{Ouvrage|lang=en|auteur=Johannes Jahn|titre=Introduction to the Theory of Nonlinear Optimization|année=2007|éditeur=Springer|numéro d'édition=3|année première édition=1994|numéro chapitre=4|chapitre=Tangent Cones|page=79-104}}
*{{Ouvrage|lang=en|auteur=Akhtar A. Khan|auteur2=Christiane Tammer|auteur3=Constantin Zălinescu|titre=Set-valued Optimization: An Introduction with Applications|éditeur=Springer|année=2015|url={{Google Livres|icvlBAAAQBAJ|page=111}}}}
*{{Article|lang=en|auteur=[[Ralph Tyrrell Rockafellar|R. T. Rockafellar]]|année=1993|titre=Lagrange Multipliers and Optimality|revue=[[Society for Industrial and Applied Mathematics|SIAM]] Review|vol=35|p.=183-238|url=http://www.math.washington.edu/~rtr/papers/rtr147-LagrangeMultipliers.pdf}}

=== Lien externe ===
J. Ch. Gilbert, ''[http://www-rocq.inria.fr/~gilbert/ensta/optim.html Éléments d'Optimisation Différentiable — Théorie et Algorithmes]'', syllabus de cours à l'[[École nationale supérieure de techniques avancées|ENSTA ParisTech]], Paris

{{Portail|analyse}}

[[Catégorie:Optimisation différentiable]]
[[Catégorie:Analyse convexe]]