Voir la source de Calcul du volume de l'hypersphère

La [[Démonstration (logique et mathématique)|démonstration]] [[Mathématiques|mathématique]] suivante pour le '''calcul du volume de l'[[N-sphère|hypersphère]]''' dépend des définitions précises de la ''[[sphère]]'' et de la ''[[boule (solide)|boule]]''. Le volume ''intérieur'' d'une sphère est le volume de la ''boule'' délimitée par la sphère.

== Calcul ==
Nous intégrerons en [[coordonnées cartésiennes]] [[Base orthonormale|orthonormales]] dans l'[[espace euclidien]].
=== Formule de récurrence ===
Notons <math>V^{(n)}[r]</math> le volume de la boule de rayon ''r'' en dimension ''n'' ≥ 1.
Alors :
:<math>V^{(1)}[r]=2r</math>
parce que c'est la longueur d'un segment deux fois plus long que le rayon, c'est-à-dire
:<math>\{x\in\mathbb R:|x|\le r\}=[-r,r].</math>

La sphère de dimension 0 qui borde cette boule est constituée des deux points ''r'' et –''r''.

Pour tout ''n'' ≥ 1 nous avons (d'après le [[théorème de Fubini]])<ref>{{en}} {{pdf}} A. E. Lawrence, [http://www-staff.lboro.ac.uk/~coael/hypersphere.pdf {{Langue|en|The volume of an ''n''-dimensional hypersphere}}], [[université de Loughborough]].</ref> :
:<math>V^{(n+1)}[r] = \int_{-r}^r V^{(n)}\left[\sqrt{r^2-x^2}\,\right]~{\rm d}x.</math>

=== Le volume est proportionnel à la ''n''-ième puissance du rayon ===
Nous montrerons premièrement par [[Raisonnement par récurrence|récurrence]] sur ''n'' que le volume d'une ''n''-boule est proportionnel à la ''n''-ième puissance de son rayon. Nous avons déjà observé que c'est vrai en dimension 1. Supposons maintenant que ce soit vrai en dimension ''n'', c'est-à-dire
:<math>V^{(n)}[r] = r^nV^{(n)}[1].</math>
Alors,
:<math>\begin{align}V^{(n+1)}[r]&=\int_{-r}^r V^{(n)}\left[\sqrt{r^2-x^2}\,\right]~{\rm d}x\\
&= r \int_{-1}^1 V^{(n)}\left[\sqrt{r^2-(rx)^2}\,\right]~{\rm d}x\\
&= r \int_{-1}^1 V^{(n)}\left[r\sqrt{(1-x^2)}\,\right]~{\rm d}x\\
&=r \int_{-1}^1 r^n V^{(n)}\left[\sqrt{(1-x^2)}\,\right]~{\rm d}x\\
&= r^{n+1}V^{(n+1)}[1].\end{align}</math>
Nous avons établi que pour tout ''n'' ≥ 1, le volume d'une ''n''-boule est proportionnel à la ''n''-ième puissance de son rayon ; c'est-à-dire que si nous notons <math>V^{(n)}[1]</math> le volume de la ''n''-boule unitaire, nous avons :
:<math>V^{(n)}[r] = r^nV^{(n)}[1],</math>
:<math>V^{(n+1)}[1] = \int_{-1}^1 \left(\sqrt{1-x^2}\,\right)^nV^{(n)}[1]~{\rm d}x= V^{(n)}[1]\int_{-1}^1 \left(\sqrt{1-x^2}\,\right)^n~{\rm d}x.</math>

=== Deux ou trois dimensions ===
Dans le cas de <math>V^{(2)}[1]</math> nous avons<ref>{{en}} Samuel M. Selby, éditeur. ''Standard Mathematical Tables,'' {{18e|édition}}, The Chemical Rubber Co., Cleveland, Ohio, 1970.</ref> :
:<math>V^{(2)}[1] = V^{(1)}[1]\int_{-1}^1 \sqrt{1-x^2}~{\rm d}x = 2\left.\frac{x\sqrt{1-x^2}+\arcsin x} 2 \right|_{x=-1}^1 = \pi,</math>
qui est « l'aire intérieure du [[cercle]] unité », ou plus exactement, l'aire du [[Disque_(géométrie)|disque]] borné par ce cercle. On en déduit facilement :
:<math>V^{(3)}[1] = V^{(2)}[1] \int_{-1}^1 \left(1-x^2\right)~{\rm d}x = \frac43\pi.</math>
Ceci est « le volume intérieur de la [[sphère]] unité », ou plus exactement, le volume de la [[Boule_(solide)|boule]] délimitée par cette sphère.

=== Cas général ===
Essayons maintenant de généraliser cette démonstration au cas de la boule en dimension supérieure :
:<math>V^{(n+1)}[1] = V^{(n)}[1] \int_{-1}^1 \left(1-x^2\right)^{n/2}~{\rm d}x
= V^{(n)}[1] \cdot 2\int_0^1 \left(1-x^2\right)^{n/2}~{\rm d}x.</math>
Voici un [[Graphe_d'une_fonction|graphe]] de la fonction que nous avons intégrée ici, pour rendre plus facile la visualisation de cette fonction dans plusieurs dimensions :

[[Image:Hyperball.png]]

Les hyperboules se pincent de plus en plus comme la dimension croît. (Plus précisément, puisque nous intégrons en coordonnées rectangulaires, et que les boîtes rectangulaires circonscrites aux boules s'étendent de plus en plus hors des boules comme la dimension croît, les boules nous ''paraissent'' de plus en plus pincées au point de vue des coordonnées dans lesquelles nous intégrons.)

Par le changement de variables <math>u = x^2</math> nous avons :
:<math>x=\sqrt{u} \qquad\text{et}\qquad{\rm d}x = \frac{{\rm d}u}{2\sqrt{u}}</math>
:<math>V^{(n+1)}[1] = V^{(n)}[1]~2\int_0^1 \left(1-x^2\right)^{n/2}~{\rm d}x
     = V^{(n)}[1] \int_0^1 (1-u)^{n/2}u^{-1/2}~{\rm d}u.</math>
L'intégrale à droite est connue comme la [[fonction bêta]] :
:<math>V^{(n+1)}[1] = V^{(n)}[1]~\mathrm B\left(\frac n 2 + 1, \frac 1 2 \right),</math>
qui peut être exprimée au moyen de la [[fonction gamma]] :
:<math>V^{(n+1)}[1] = V^{(n)}[1] \frac
   {\Gamma\left(\frac n 2 + 1\right)\Gamma\left( \frac 1 2 \right)}
   {\Gamma\left(\frac n 2 + \frac 3 2\right)} = V^{(n)}[1] \frac
   {\Gamma\left(\frac n 2 + 1\right)\Gamma\left( \frac 1 2 \right)}
   {\Gamma\left(\frac {n+1} 2 + 1\right)}.
</math>
À partir de la relation <math>\Gamma\left(\frac 1 2\right) = \sqrt \pi,</math> nous pouvons facilement vérifier par récurrence que pour tout {{math|''n'' ≥ 1}},
:<math>V^{(n)}[1] = \frac {\pi^{n/2}}{\Gamma\left(\frac n 2 + 1 \right)}.</math>
Et donc finalement, pour un rayon <math>r</math> on aura

<math>V^{(n)}[r] = \frac {\pi^{n/2} r^n}{\Gamma\left(\frac n 2 + 1 \right)} =\begin{cases} \frac {\pi^{n/2}r^{n}}{(n/2)!}&\mbox{si }n\mbox{ est pair,}\\  \frac {2^n \ (\frac {n-1}{2})! \ \pi^{(n-1)/2}r^{n}}{n!}=\frac {2^{(n+1)/2} \ \pi^{(n-1)/2}r^{n}}{1.3.5.\ \ldots n}&\mbox{si }n\mbox{ est impair.}\end{cases}</math>

=== Forme générale du volume et aire de l'hypersphère ===
Par « désintégration de mesure »<ref>{{en}} {{pdf}} D. Leao Jr. ''et al.'', [http://www.scielo.cl/pdf/proy/v23n1/art02.pdf ''{{Langue|en|Regular conditional probability, disintegration of probability and Radon spaces}}''], ''{{Langue|es|Proyecciones}}'', vol. 23, {{Numéro|1}}, pp. 15–29, mai 2004, {{Langue|es|Universidad Católica del Norte}}, Antofagasta, Chili.</ref>, l'aire de l'[[hypersphère]] de dimension ''n'' – 1 est la [[dérivée]], par rapport à son rayon, du volume de la boule de dimension ''n'' qu'elle borde.

Puisque le volume de la boule de dimension ''n'' est :
:<math>V^{(n)}[r] = \frac {\pi^{n/2} r^n}{\Gamma\left(\frac n 2 + 1 \right)},</math>
alors l'aire de l'hypersphère de dimension ''n'' – 1 qui la borde est :
:<math>S^{(n-1)}[r] = \frac \partial{\partial r} V^{(n)}[r] = \frac {\pi^{n/2} nr^{n-1}}{\Gamma\left(\frac n 2 + 1 \right)}
                    = \frac n{r}.V^{(n)}[r]</math>.
:Et comme <math>{\Gamma\left(\frac n 2 + 1 \right)}
                    = \frac {n}{2}{\Gamma\left( \frac n 2 \right)}</math> on peut écrire aussi :
:<math>S^{(n-1)}[r] = \frac {2\pi^{n/2}r^{n-1}}{\Gamma\left( \frac n 2 \right)}.</math>

=== Récurrence d'ordre 2 ===
À partir de la récurrence d'ordre 1 :
:<math>V^{(n+1)}[1]=V^{(n)}[1]~\mathrm B\left(\frac n2 +1,\frac12\right),~</math>
utilisée plus haut directement pour exprimer {{math|''V''{{exp|(''n'')}}}} en termes de la fonction gamma, une alternative est d'écrire une récurrence d'ordre 2 :
:<math>V^{(n)}[1]=V^{(n-2)}[1]~\mathrm B\left(\frac{n+1}2,\frac12\right)\mathrm B\left(\frac n2,\frac12\right)~</math>
qui, d'après les [[Fonction bêta|propriétés de la fonction bêta]], se simplifie en :
:<math>V^{(n)}[1]=\frac{2\pi}n~V^{(n-2)}[1].</math>

Par récurrence (en séparant les cas {{math|''n''}} pair et impair), on retrouve alors la formule donnée précédemment, qui peut aussi s'écrire :
:<math>V^{(n)}[1]=\begin{cases}\prod_{k=0}^{{\frac n2}-1}{2\pi\over n-2k}&\mbox{si }n\mbox{ est pair,}\\{\frac1\pi}\prod_{k=0}^{{n-1\over 2}}{2\pi\over n-2k}&\mbox{si }n\mbox{ est impair.}\end{cases}</math>

Par ailleurs, une manière plus directe<ref>[[François Laudenbach]], ''Calcul différentiel et intégral'', Éditions École Polytechnique, 2000 {{ISBN|978-2-73020724-9}}, [https://books.google.fr/books?id=Ws9A7ZoRJNEC&pg=PA176 p. 176].</ref> de démontrer cette formule de récurrence d'ordre 2 est de procéder comme pour celle d'ordre 1 :
:<math>V^{(n)}[1]=\int_{x^2+y^2\le1}V^{(n-2)}[\sqrt{1-x^2-y^2}]~\mathrm dx\mathrm dy=V^{(n-2)}[1]\int_{x^2+y^2\le1}(1-x^2-y^2)^{(n-2)/2}~\mathrm dx\mathrm dy=\frac{2\pi}n~V^{(n-2)}[1],</math>
la dernière égalité venant du [[Matrice jacobienne#Déterminant jacobien|passage en coordonnées polaires]] :
:<math>\int_{x^2+y^2\le1}(1-x^2-y^2)^{(n-2)/2}~\mathrm dx\mathrm dy=2\pi\int_0^1(1-r^2)^{(n-2)/2}~r~\mathrm dr=\pi\int_0^1u^{(n/2)-1}~\mathrm du=\frac{2\pi}n.</math>

== Généralisation ==
Cette méthode d'intégration peut être généralisée aux [[Espace Lp|espaces {{math|L{{exp|''p''}}}}]] (ce qui précède correspond au cas ''p'' = 2). En effet, nous avons une [[Suite définie par récurrence|relation de récurrence]] pour la [[Boule (topologie)|boule unité]] de <math>\ell^p_n,</math><!-- qui désigne ici l'espace L^p des fonctions de R dans R^n ? Aussi : changer "l" minuscule courbe (habituellement associé aux espaces de suites) en "L" majuscule droit ? -->
:<math>V^{(n+1)}[1] = V^{(n)}[1] \int_{-1}^1 \big(1 - |x|^p \big)^{n/p}~{\rm d}x,</math>
de laquelle on peut retrouver la formule :
:<math>V^{(n)}[r] = \frac
   {\left[ 2\, \Gamma\left(\frac 1 p + 1\right) r \right]^n}
   {\Gamma \left(\frac n p + 1 \right)}</math>
pour le volume de la boule de rayon ''r'' dans <math>\ell^p_n,</math> la mesure de volume étant, comme auparavant, celle de Lebesgue en coordonnées orthonormales. Il n'est plus possible de calculer l'aire de la surface comme la dérivée du volume par rapport au rayon parce que le rayon n'est plus partout normal à la surface.

Cette généralisation a des applications en [[théorie de l'information]], en particulier pour le [[codage de l'information]].

== Notes et références ==
{{Traduction/Référence|en|Deriving the volume of an n-ball|306352727|type=note}}
{{Références}}

== Voir aussi ==
=== Articles connexes ===
* [[Empilement compact]]
* [[Code parfait et code MDS]]
*[[Intégrale de Wallis]]

=== Liens externes ===
* [http://www.brouty.fr/Maths/sphere.html Démonstration en coordonnées hypersphériques]
* {{MathWorld|nom_url=Hypersphere|titre=Hypersphere}}
* {{en}} [http://www.mathreference.com/ca-int,hsp.html {{Langue|en|Integral Calculus, The Volume of the Hypersphere}}]

{{Portail|géométrie}}

[[Catégorie:Sphère]]