Voir la source de Caractère d'un groupe fini

En [[mathématiques]], un '''caractère d'un groupe fini''' est une notion associée à la [[théorie des groupes]].

Un [[Caractère (mathématiques)|caractère]] d'un [[groupe fini]] ''G'' est un [[morphisme de groupes]] de ''G'' dans le groupe multiplicatif ℂ* des [[nombre complexe|nombres complexes]] non nuls.

Ce concept permet de définir le '''groupe dual''' de ''G'', composé de l'ensemble des caractères de ''G''. Il est à la base de l'[[analyse harmonique]] [[analyse harmonique sur un groupe abélien fini|sur les groupes abéliens finis]].

Cette notion correspond à un cas particulier de [[caractère d'une représentation d'un groupe fini]].

== Définitions et premières propriétés ==

=== Définitions ===
Dans tout l'article, ''G'' désigne un groupe fini d'[[Ordre (théorie des groupes)|ordre]] ''g'', ℂ le corps des nombres complexes, ℂ* le groupe multiplicatif des nombres complexes non nuls et ''U<sub>g</sub>'' le [[sous-groupe]] des ''g'' [[racine de l'unité|racines ''g''-ièmes de l'unité]]. Le groupe ''G'' est noté multiplicativement et l'inverse d'un élément ''s'' de ''G'' est noté ''s''{{-1}}. Le [[conjugué]] d'un nombre complexe ''z'' est noté {{Surligner|''z''}}.
* ''Un  caractère de G est un [[morphisme de groupes]] de G dans'' ℂ*.
Un caractère correspond donc à un cas particulier de [[théorie des représentations d'un groupe fini|représentation d'un groupe fini]] : c'est le [[caractère d'une représentation d'un groupe fini|caractère d'une représentation]] complexe de degré 1 de ce groupe.
*''L'ensemble des caractères de G est appelé groupe dual de G et est généralement noté Ĝ.''
Sa structure de groupe sera élucidée au paragraphe suivant.

=== Propriétés ===
* ''Tout caractère de G prend ses valeurs dans le sous-groupe U<sub>g</sub> des racines g-ièmes de l'unité.''
En effet, [[Théorème de Lagrange sur les groupes|un « théorème de Lagrange »]] indique que si ''s'' est un élément de ''G'', alors ''s<sup>g</sup>'' = 1 ; on en déduit que l'image de ''s'' par un caractère est une racine ''g''-ième de l'unité.
* ''Un caractère χ vérifie :''
{{Centrer|<math>\forall s\in G\quad\chi(s^{-1})=\overline{\chi(s)}.</math>}}
Ceci se déduit de la propriété précédente, ou des propriétés de tout [[caractère d'un groupe compact]].
* ''La multiplication confère au dual de G une structure de [[groupe abélien fini]].''
En effet, le dual de ''G'' est un cas particulier d'ensemble de morphismes de ''G'' dans un [[groupe abélien]] ''H'' (avec ici ''H = U<sub>g</sub>''). Or un tel ensemble est toujours un groupe abélien, comme sous-groupe du groupe abélien [[Produit direct (groupes)|produit]] ''H<sup>G</sup>'' (constitué des applications de ''G'' dans ''H'' et muni de la multiplication par valeurs dans ''H''). De plus, si ''G'' et ''H'' sont finis alors ''H<sup>G</sup>'' aussi.

=== Exemples ===
* Considérons le cas où ''G'' est le [[groupe symétrique]] d'indice ''n''. L'application [[signature d'une permutation|signature]] est un caractère à valeurs dans ''U''<sub>2</sub> = {–1, 1}.
* {{ancre|Groupe cyclique}}Le dual d'un [[groupe cyclique]] d'ordre ''g'' est [[Morphisme de groupes#Isomorphismes de groupes|isomorphe]] au groupe ''U<sub>g</sub>'' (lui aussi cyclique d'ordre ''g''). En effet, si ''x'' est un générateur de ''G'', le morphisme [[Canonique (mathématiques)|canonique]] d'évaluation en ''x'', de ''Ĝ'' dans ''U<sub>g</sub>'', qui à tout caractère χ associe le complexe χ(''x''), est [[Bijection|bijectif]] (cette bijectivité se démontre exactement comme dans l'étude des [[Groupe cyclique#Endomorphisme|endomorphismes d'un groupe cyclique]]).

== Cas commutatif ==
{{ancre|Groupe abélien}}
=== Dual ===
* ''Le dual d'un groupe abélien fini G est isomorphe à G.''
Ce résultat se déduit du [[#Groupe cyclique|cas cyclique]] à l'aide du [[théorème de Kronecker]], selon lequel un groupe abélien fini est un [[produit direct (groupes)|produit fini]] de groupes cycliques, et de la [[Produit direct (groupes)#Propriété universelle de la somme directe d'une famille de groupes abéliens|propriété universelle d'un tel produit]] :

''Soient'' (''G<sub>i</sub>'') ''une famille de groupes et H un groupe abélien. Le groupe des morphismes de ∑ G<sub>i</sub> dans H est canoniquement isomorphe au produit des groupes'' Hom(''G<sub>i</sub>,H'').''

=== Bidual ===
De manière analogue aux [[Espace vectoriel de dimension finie|espaces vectoriels de dimension finie]], l'isomorphisme entre un groupe abélien fini ''G'' et son dual n'est pas canonique, mais il existe un isomorphisme canonique entre ''G'' et son bidual (c'est-à-dire le dual de son dual).
* ''Le morphisme injectif canonique <math>\varphi</math> de G dans son bidual, défini par l'égalité suivante, est un isomorphisme si G est un groupe abélien fini ''{{Centrer|<math>\forall s\in G\quad\forall\chi\in\widehat G\quad\varphi(s)(\chi)=\chi(s).</math>}}
En effet, ''G'' et son bidual ont alors même ordre.

=== Analyse harmonique sur un groupe abélien fini ===
Dans le cadre d'un groupe abélien fini, il est possible de définir la [[transformée de Fourier]] et le [[produit de convolution]]. La théorie de l'[[analyse harmonique sur un groupe abélien fini]] est analogue à [[Analyse harmonique|celle]] du corps des [[nombre réel|réels]]. On démontre l'[[égalité de Parseval]], le [[théorème de Plancherel]], la [[dualité de Pontryagin]] et la [[formule sommatoire de Poisson]].

== Algèbre du groupe ==
=== L'espace hermitien ℂ<sup>''G''</sup> ===
Le dual de ''G'' est inclus dans l'[[espace vectoriel]] ℂ<sup>''G''</sup> des applications de ''G'' dans ℂ. Cet espace est muni d'un [[produit hermitien]] < | > défini par la formule suivante :{{Centrer|<math>\forall x,y\in\Complex^G\quad\langle x|y\rangle=\frac 1g \sum_{s\in G}\overline{x(s)}y(s).</math>}}
* ''Le groupe dual de G est une famille [[base orthonormée|orthonormée]].''
* ''Si G est abélien, le groupe dual de G est une [[Base (algèbre linéaire)|base]] de'' ℂ''<sup>G</sup>.''
Ces deux propositions correspondent à des cas particuliers de la théorie des représentations d'un groupe fini, ou plus généralement d'un [[groupe compact]] ; elles se démontrent simplement dans le cas présent :

{{Démonstration/début}}
* '''Le groupe dual de ''G'' est une famille orthonormée.'''
Remarquons d'abord que pour tous caractères χ<sub>1</sub> et χ<sub>2</sub>, <χ<sub>1</sub>|χ<sub>2</sub>>=<1|{{surligner|χ<sub>1</sub>}}χ<sub>2</sub>> = <1|χ<sub>1</sub><sup>−1</sup>χ<sub>2</sub>>, et que <1|1> = 1. Il reste donc à démontrer que pour tout caractère χ différent de 1, <1|χ> est nul. Pour tout ''t''∈''G'' on a
{{Centrer|<math>\chi(t)<1|\chi>=\chi(t)\frac1g\sum_{s\in G}\chi(s)=\frac1g\sum_{s\in G}\chi(ts)=\frac1g\sum_{u\in G}\chi(u)=<1|\chi>.</math>}}En choisissant ''t'' tel que χ(''t'') ≠ 1, on en déduit que <1|χ> est nul.
* '''Si ''G'' est abélien, le groupe dual de ''G'' est une base de ℂ<sup>''G''</sup>.'''
Le groupe dual est une famille orthonormée donc [[Indépendance linéaire|libre]]. Si le groupe ''G'' est abélien, l'ordre de son groupe dual est égal à celui de ''G'' donc à la [[Dimension d'un espace vectoriel|dimension de l'espace vectoriel]] ℂ<sup>''G''</sup>.
{{Démonstration/fin}}

(Si ''G'' n'est pas abélien, le dual de ''G'', qui s'identifie canoniquement au dual de l'[[abélianisé]] ''G<sub>ab</sub>'', est seulement une base du sous-espace – isomorphe à ℂ''<sup>G<sub>ab</sub></sup>'' – constitué des applications de ''G'' dans ℂ qui se factorisent par ''G<sub>ab</sub>'' : les [[Fonction centrale sur un groupe fini|fonctions centrales]].)

=== L'algèbre ℂ[''G''] ===
* Dans l'[[Algèbre d'un groupe fini|algèbre complexe ℂ[''G''] du groupe fini]], constituée de l'espace ℂ<sup>''G''</sup> muni du produit de convolution, le [[centre (algèbre)|centre]] est constitué des fonctions centrales donc il contient le dual de ''G''.
* On peut par ailleurs remarquer que l'espace vectoriel ℂ<sup>''G''</sup> s'identifie naturellement à son dual : toute application de ''G'' dans ℂ se prolonge de manière unique en une forme linéaire sur ℂ<sup>''G''</sup>. Dans cette identification, les caractères de ''G'' correspondent aux caractères de l'[[algèbre involutive]] ℂ[''G''], c'est-à-dire aux morphismes non nuls de ℂ[''G''] dans ℂ.

== Références ==
=== Ouvrages ===
* {{Demazure1}}
* {{Serre1}}
* [[André Warusfel]], ''Structures algébriques finies'', Hachette, 1971
* Gabriel Peyré, ''L'algèbre discrète de la transformée de Fourier'', [[Éditions Ellipses|Ellipses]], 2004
=== Lien externe ===
[http://www.math.u-bordeaux1.fr/~bachoc/Enseignements/MDTF/mathdis.pdf Mathématiques discrètes de la transformée de Fourier], C. Bachoc, [[Université Bordeaux I]]

{{Portail|algèbre}}

[[Catégorie:Analyse harmonique discrète]]
[[Catégorie:Caractère de Dirichlet]]