Voir la source de Carré

{{voir homonymes}}
{{homophone|Kharé}}
{{Infobox Polytope
 | nom                         = Carré
 | image=Regular polygon 4 annotated.svg
 | légende=
 | type                        = [[Polygone régulier]]
 | arêtes                      = 4
 | sommets                     = 4
 | symbole de schläfli         = {4}
 | diagramme de coxeter–dynkin = [[Fichier:CDel node 1.png|9px]][[Fichier:CDel 4.png|7px]][[Fichier:CDel node.png|5px]]
 | groupe de symétrie          =[[Groupe diédral]] D{{ind|8}}
 | angle interne               = 90°
 | périmètre                   = {{math|4{{mvar|a}}}}
 | aire                        = {{math|{{mvar|a}}²}}
 | propriétés=[[Polygone constructible|Constructible]]
}}
En [[géométrie euclidienne]], un '''carré''' est un [[quadrilatère]] [[polygone convexe|convexe]] dont les quatre côtés sont de même [[longueur]] et les quatre angles sont droits.  C’est donc un [[polygone régulier]], qui est à la fois un [[losange]], un [[rectangle]], et par conséquent aussi un [[parallélogramme]] particulier.

Dans le plan, un carré est [[invariant]] par quatre [[symétrie axiale|symétries axiales]], par deux [[rotation plane|rotations]] d’angle droit et par une [[symétrie centrale]] par rapport à l’[[intersection (mathématiques)|intersection]] de ses [[diagonale]]s.

Les premières représentations du carré datent de la [[préhistoire]]. Le carré est, avec le [[cercle]], l'une des figures géométriques remarquables les plus étudiées depuis l'[[Antiquité]], le problème de la [[quadrature du cercle]] ayant tenu en haleine de nombreux mathématiciens pendant deux millénaires.

La figure du carré illustre l’opération du [[Carré (algèbre)|carré]] en [[algèbre]], consistant à [[multiplication|multiplier]] un élément par lui-même =(c×c). En particulier, l’[[aire (géométrie)|aire]] d’un carré est égale au carré de la longueur d’un côté.

== Présentation ==
=== Composition ===
[[Image:Carre.svg|vignette|left|Un carré noté ABCD avec ses diagonales.]]
Un carré est une figure plane composée de quatre [[point (mathématiques)|points]] appelés ''sommets'' et de quatre [[segment]]s de même longueur, appelés ''côtés'', reliant les sommets dans un [[ordre cyclique]] et formant successivement des [[angle droit|angles droits]] [[angle orienté|orientés]] dans le même sens. Deux sommets reliés par un côté sont dits ''consécutifs'', sinon ils sont ''opposés''.

Les côtés constituent le ''bord'' d’une [[surface (mathématiques)|surface]] du plan appelée ''carré plein'' et qui est l’[[enveloppe convexe]] des sommets. Le carré plein [[complémentaire (théorie des ensembles)|privé]] de son bord est l’''intérieur'' du carré.

Si les sommets du carrés sont nommés {{mvar|A}}, {{mvar|B}}, {{mvar|C}} et {{mvar|D}} dans cet ordre, le carré est noté <math>ABCD</math> et les caractéristiques ci-dessus s’écrivent <math>AB = BC = CD = DA</math>
et <math>\widehat{ABC} = \widehat{BCD} = \widehat{CDA} = \widehat{DAB} = 90^{\circ}</math>.

Les deux segments reliant les sommets opposés sont les ''diagonales'' du carré, qui sont [[perpendicularité|perpendiculaires]] et de même longueur.

Les deux diagonales se croisent en leur [[milieu d'un segment|milieu]] qui est appelé ''centre'' du carré. Ce point est à la fois l’[[isobarycentre]] des sommets et le [[centre de masse (mathématiques)|centre de masse]] du carré plein.

Le centre du carré est aussi le centre d’un ''cercle circonscrit'' passant par les quatre sommets, de [[diamètre]] égal à la longueur des diagonales. Il est également le centre d’un ''cercle inscrit'' [[tangente (géométrie)|tangent]] aux quatre côtés en leur milieu respectif, et de diamètre égal au côté du carré.

=== Mesures ===
En notant {{mvar|c}} la longueur d’un côté, le [[périmètre]] du carré s’écrit <math>p = 4c</math> et son [[aire (géométrie)|aire]] vaut <math>\mathcal{A} = c^2</math>. Chaque diagonale a pour longueur <math>d = c\sqrt{2}</math>, comme le montre l’application du [[théorème de Pythagore]] dans un [[triangle isocèle rectangle]] formé par une diagonale et deux côtés du carré. Ce rapport s’illustre aussi par le fait qu’un grand carré, admettant pour côté la diagonale du carré initial, se décompose en quatre triangles isocèles rectangles avec lesquels on peut reconstituer deux carrés de même taille que le carré initial.

Le carré est, parmi les [[quadrilatère]]s de même périmètre, celui qui possède la plus grande surface. Cette figure est la réponse à la question d'[[isopérimétrie]] dans les quadrilatères.

=== Symétries ===
Les [[transformation géométrique|transformations]] [[isométrie|isométriques]] laissant un carré globalement invariant sont :

* les [[symétrie axiale|symétries axiales]] par rapport à une diagonale ou une [[médiatrice]] d’un côté ;
* les [[Rotation plane|rotations]] autour du centre du carré et dont l'angle est un multiple de l'angle droit, et en particulier la [[symétrie centrale]] par rapport au centre du carré.

En voici la liste, elles sont au nombre de huit et forment un [[groupe (mathématiques)|groupe]] :

{|class="wikitable" border="1" style="text-align:center; margin:0 auto .5em auto;"
|-
| [[Image:group D8 id.svg|140px]] <br /> id ([[fonction identité|identité]] : chaque point est conservé) || [[Image:group D8 90.svg|140px]] <br /> r<sub>1</sub> (rotation de 90° vers la droite) || [[Image:group D8 180.svg|140px]] <br /> r<sub>2</sub> (rotation de 180°) || [[Image:group D8 270.svg|140px]] <br /> r<sub>3</sub> (rotation de 270° vers la droite)
|-
| [[Image:group D8 fv.svg|140px]] <br /> f<sub>v</sub> (retournement vertical) || [[Image:group D8 fh.svg|140px]] <br /> f<sub>h</sub> (retournement horizontal)|| [[Image:group D8 f13.svg|140px]] <br /> f<sub>d</sub> (retournement suivant la première diagonale) || [[Image:group D8 f24.svg|140px]] <br /> f<sub>c</sub> (retournement suivant la deuxième diagonale)
|-
|style="text-align:left" colspan=4 | Les éléments du [[groupe de symétrie]] (D<sub>4</sub>). Les sommets sont colorés et numérotés uniquement pour visualiser les transformations.
|}
Le carré plein est alors engendré par un domaine fondamental triangulaire reliant le centre, le milieu d’un côté et une extrémité de ce côté. Le [[diagramme de Coxeter-Dynkin]] correspondant est constitué de deux points représentant les deux axes de symétrie bordant ce triangle (une diagonale et la médiatrice d’un côté), reliés par une arête marquée du chiffre 4 indiquant l’angle entre ces deux axes (45°, soit {{math|π/4}} radians, un quart d’[[angle plat]]). Un cercle autour de l’un des points montre la présence d’un sommet sur l’un des axes (portant la diagonale).

== Construction ==
Tous les carrés sont [[similitude (géométrie)|semblables]]. Cela signifie que, pour deux carrés donnés, il existe toujours un agrandissement (ou une réduction) permettant de transformer l'un en l'autre en conservant les angles géométriques et les proportions. Chaque carré est donc défini par sa position, son orientation et sa taille.

Un carré peut être défini par ses sommets, par son bord ou par son intérieur, mais aussi par l’une de ses diagonales, ou encore par la donnée de son centre et d’un sommet.

Étant donné un segment du plan, il existe deux carrés admettant ce segment pour côté, mais si le plan est muni d’une orientation préalable, le choix d’une orientation sur le segment (ou, ce qui revient au même, le choix d’un ordre sur ses extrémités) permet de définir sans ambiguïté l’un des deux carrés. Cette dernière méthode est par exemple utilisée dans le logiciel [[GeoGebra]] pour construire un carré comme polygone régulier à 4 sommets.
=== Construction au compas seul ===

[[Image:Square with compass only.svg|right|300px|Dessin au compas]]

On souhaite construire le carré de sommets ABCD connaissant seulement les points A et B. Posons R la distance entre A et B ; alors, on procède comme suit :
* on trace C<sub>1</sub> le cercle de centre A et de rayon R (qui contient alors B)<br />⇒ on a un troisième point du carré sur ce cercle ;
* on trace C<sub>2</sub> le cercle de centre B et de rayon R (qui contient alors A)<br />⇒ le quatrième point du carré, C, se trouve sur ce cercle ;
* Posons G un point d'intersection de C<sub>1</sub> avec C<sub>2</sub> ; on construit alors le point I, symétrique de B par rapport à A :
** on trace C<sub>3</sub> centré en G et de rayon R ; ce cercle coupe C<sub>1</sub> en B et en un autre point H,
** C<sub>4</sub>, de centre H et de rayon R, coupe C<sub>1</sub> en G et en un nouveau point I ;
* posons S la distance entre G et I ; on construit alors C<sub>5</sub> de centre I et de rayon S (il contient forcément G) ;
* C<sub>6</sub> s'obtient en prenant pour centre B et pour rayon S (il contient forcément H) ; on note J le point d'intersection entre C<sub>6</sub> et C<sub>5</sub> qui est du même côté que G par rapport à la droite (AB) ;
* si T est la distance entre A et J, on construit C<sub>7</sub> le cercle de centre A et de rayon T (il contient forcément J)<br />⇒ Le point C est obtenu par intersection entre C<sub>7</sub> et C<sub>2</sub> ;
* on construit alors C<sub>8</sub> de centre C et de rayon R<br />⇒ l'intersection de C<sub>8</sub> et C<sub>1</sub> est le point D.

=== Construction à la règle et au compas ===
Les animations suivantes montrent comment [[Construction à la règle et au compas|construire un carré à la règle et au compas]].

[[Fichier:Straight Square Inscribed in a Circle 240px.gif|left|400px|thumb|Dans un cercle, avec un côté parallèle à un diamètre]]
{{Double image|left|01-Quadrat-Seite-gegeben.gif|240 <!-- corresponds -->|01-Quadrat-Diagonale-gegeben.gif|213|Carré avec la longueur des côtés connue|Carré avec la longueur des diagonales connue|}}
{{clear}}

== Problèmes associés ==
En dehors des problèmes de construction, la figure du carré est à l’origine de nombreux problèmes géométriques.
<gallery>
Fichier:Squaring the circle.svg|Quadrature du cercle
image:Squaring the square.svg|Quadrature parfaite du carré
Image:5 kvadratoj en kvadrato.svg|Empilement de carrés dans un carré
Image:Inscribed square.svg|Carrés inscrits dans une courbe illustrant la conjecture de Toeplitz
</gallery>
La [[quadrature du cercle]] est un problème de [[construction à la règle et au compas]] d’un carré ayant la même aire qu’un [[disque (géométrie)|disque]]. Elle a été reconnue comme impossible du fait de la [[transcendance]] de [[Pi (nombre)|π]], démontrée par [[Ferdinand von Lindemann]] en 1882.

La [[quadrature du carré]] est la décomposition de la surface d’un carré plein de côté entier en un nombre fini de carrés pleins de côté entier, tous de taille différente. Plusieurs solutions ont été trouvées au cours du {{s|XX}}.

L’[[empilement de carrés dans un carré]] ou [[empilement de carrés dans un cercle|dans un cercle]] est la détermination de la taille maximale de {{mvar|n}} carrés superposables permettant une inclusion disjointe de leurs intérieurs dans un carré (ou un cercle) de taille donnée, en fonction du nombre {{mvar|n}}. Il n’y a pas de formule générale connue mais de nombreux empilements ont été proposés et l’optimalité de certains d’entre eux a été démontrée, pour de petites valeurs de {{mvar|n}} ou si ce nombre est déjà un [[carré parfait]].

La [[conjecture de Toeplitz]] postule que toute [[courbe fermée|courbe fermée simple]] contient quatre points distincts aux sommets d’un carré. Elle a été démontrée sous des hypothèses supplémentaires de [[classe de régularité|régularité]] ou de symétrie sur la courbe, mais résiste dans un cadre général notamment sur certaines courbes [[fractale]]s.

La subdivision d’un carré en carrés plus petits le long d’un [[quadrillage]] mène aussi à de nombreux problèmes exploités notamment comme jeux : le [[carré latin]], le [[carré gréco-latin]], le [[carré magique]], le [[sudoku]]...

== Histoire ==
[[Image:Ybc7289-bw.jpg|thumb|La tablette d'argile [[YBC 7289]] : une très ancienne (environ 1700 {{av JC}}) représentation d'un carré avec ses diagonales et une valeur approchée de {{sqrt|2}} (crédits : Bill Casselman).]]
Des poteries décorées de carrés sont attestées dès le {{VIe millénaire av. J.-C.}} en [[Mésopotamie]]<ref name=Robson>{{RobsonSocial}}.</ref>. 

Des tablettes démontrent la connaissance des symétries et rotations du carré vers le {{-s|XVIII}} La tablette BM 15285 contient une quarantaine de problèmes mathématiques concernant des aires de figures liées à des carrés<ref name=Robson/>.

L'[[Ancien Testament]] recommande de bâtir des villes de forme carrée, quelle que soit la forme de son enceinte<ref>{{ouvrage|titre=La Bible : traduction nouvelle|auteur=[[Salomon Munk]]|auteur2=Tanchum ben Joseph|auteur3=[[Leopold Dukes]]|auteur4=[[Isidore Cahen]]|année=1833}}.</ref>.

== Informatique ==

=== Unicode ===
Plusieurs caractères [[Unicode]] représentent des carrés. On peut synthétiquement les recenser dans le tableau suivant.
{| class="wikitable"
!
! colspan="3" |Table des formes géométriques
<small>([[Table des caractères Unicode/U25A0|U+25A0]] et suivants)</small>
!Symboles divers et flèches
<small>([[Table des caractères Unicode/U2B00|U+2B00]] et suivants)</small>
|-
!Style
!Grand
!Moyen
!Petit
!Grand 
|-
|carré noir plein
|■ (U+25A0)
|◼ (U+25FC)
|◾ (U+25FE)
|⬛ (U+2B1B)
|-
|carré blanc vide
|□ (U+25A1)
|◻ (U+25FB)
|◽ (U+25FD)
|⬜ (U+2B1C)
|}

=== LaTeX ===
Dans le langage [[LaTeX]], les extensions <code>amsfonts</code> et <code>amssymb</code> fournissent la commande <code>\square</code> pour mettre un carré en mode mathématique.

== Notes et références ==
{{Références}}

==Voir aussi==
{{autres projets|commons=Category:Squares}}
===Articles connexes===
* [[Carré magique (mathématiques)]]
* [[Pseudo-carré]]
* [[Carré parfait]]
===Lien externe===
{{Lien web |url=http://www.debart.fr/college/carre.mobile.html |titre=Le carré au collège |auteur=Patrice Debart |site=Descartes et les mathématiques}}
=== Bibliographie ===
Stella Baruk, « Carré » dans le ''Dictionnaire des mathématiques élémentaires'', Éditions du Seuil, Paris 1995.

{{Palette|Polygones}}
{{Portail|géométrie}}

[[Catégorie:Quadrilatère]]
[[Catégorie:Carré|*]]