Voir la source de Carré (algèbre)

{{Voir homonymes|Carré (homonymie)}}
[[Image:SquareNumbers.svg|vignette|Carrés parfaits figurés]]
En [[arithmétique]] et en [[algèbre]], le '''carré''' est une [[opération (mathématiques)|opération]] consistant à [[multiplication|multiplier]] un élément par lui-même. La notion s’applique d’abord aux [[nombre]]s, et en particulier aux [[entier naturel|entiers naturels]], pour lesquels le carré est [[nombre figuré|figuré]] par une disposition en [[carré]] au sens géométrique du terme. Un nombre qui peut s’écrire comme le carré d’un entier est appelé [[carré parfait]]. Mais plus généralement, on parle du carré d’une [[fonction numérique|fonction]], d’une [[matrice (mathématiques)|matrice]], ou de tout type d’objet mathématique pour lequel il existe une opération [[notation multiplicative|notée multiplicativement]], comme la [[composition de fonctions|composition]] des [[endomorphisme]]s ou le [[produit cartésien]].

Cette opération apparait dans les [[identités remarquables]], permet de définir la [[fonction carré]] et les [[équation du second degré|équations du second degré]], et intervient de façon fondamentale dans le [[théorème de Pythagore]] et de nombreux autres résultats de toutes les branches des [[mathématiques]]. En [[algèbre géométrique]], elle définit la mesure de l’[[Aire (géométrie)|aire]] d'un carré en fonction de la longueur de son côté.

En [[informatique]], le calcul du carré permet de simplifier le calculs des autres [[puissance d'un nombre|puissances]] par [[exponentiation rapide]].

En [[physique]], le carré apparait dans de nombreuses formules comme pour la cinétique de la [[chute libre (physique)|chute libre]] ou la relation d’Einstein [[E = mc²]].

== Opération numérique ==
=== Notation et premiers exemples ===
{{exemple encadré|contenu = <math>12^2 = 12 \times 12 = 144</math>
|légende=Un calcul de carré}}
Le carré est défini pour tout nombre {{mvar|n}} comme le résultat de la multiplication de ce nombre par lui-même, et on le note avec un [[2 (nombre)|chiffre 2]] en [[exposant (typographie)|exposant]] : {{math|1={{mvar|n}}{{exp|2}} = {{mvar|n}} × {{mvar|n}}}}.

Les carrés des premiers [[entier naturel|entiers naturels]], appelés ''[[carré parfait|carrés parfaits]]'' ou ''nombres carrés'', apparaissent sur la [[diagonale principale]] de la [[table de multiplication]].

{| class="wikitable centre" style="text-align:right"
|+ Premiers carrés parfaits sur la diagonale principale de la table de multiplication
|- 
! × || 0 || 1 || 2 || 3 || 4 || 5 || 6 || 7 || 8 || 9 || 10
|- 
! 0 
| style="background:yellow"| '''0''' || 0 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0
|-
! 1
| 0 
| style="background:yellow"| '''1''' || 2 || 3 || 4 || 5 || 6 || 7 || 8 || 9 || 10
|-
! 2
| 0 || 2
| style="background:yellow"| '''4''' || 6 || 8 || 10 || 12 || 14 || 16 || 18 || 20
|-
! 3
| 0 || 3 || 6
| style="background:yellow"| '''9''' || 12 || 15 || 18 || 21|| 24 || 27 || 30
|-
! 4
| 0 || 4 || 8 || 12
| style="background:yellow"| '''16''' || 20 || 24 || 28 || 32 || 36 || 40
|-
! 5
| 0 || 5 || 10 || 15 || 20
| style="background:yellow"| '''25''' || 30 || 35 || 40 || 45 || 50
|-
! 6
| 0 || 6 || 12 || 18 || 24 || 30
| style="background:yellow"| '''36''' || 42 || 48 || 54 || 60
|-
!7
| 0 || 7 || 14 || 21 || 28 || 35 || 42
| style="background:yellow"| '''49''' || 56 || 63 || 70
|-
! 8
| 0 || 8 || 16 || 24 || 32 || 40 || 48 || 56
| style="background:yellow"| '''64''' || 72 || 80
|-
! 9
| 0 || 9 || 18 || 27 || 36 || 45 || 54 || 63 || 72
| style="background:yellow"| '''81''' || 90
|-
! 10
| 0 || 10 || 20 || 30 || 40 || 50 || 60 || 70 || 80 || 90
| style="background:yellow"| '''100'''
|}
{{exemple encadré|contenu = <math>(-12)^2 = (-12) \times (-12) = 144</math><br>
<math>-12^2 = -(12 \times 12) = -144</math>
|légende=Priorité du carré sur le changement de signe}}
Le carré d’un nombre a la même valeur que le carré de son [[opposé (mathématiques)|opposé]] en vertu de la [[règle des signes]]. Mais les conventions sur l’[[ordre des opérations|ordre de priorité des opérations]] font qu’un [[signes plus et moins|signe ''moins'']] (−) (associé par exemple à la notation d’un [[entier relatif]]) ne sera pas pris en compte dans le carré en l’absence de [[parenthèse]]s. De la même manière, toute expression composée avec au moins un opérateur (somme, produit, fraction…) doit être encadrée par des délimiteurs (parenthèses ou crochets) avant d’être notée au carré.

=== Règles de calcul ===
Pour une [[somme (arithmétique)|somme]] ou une [[soustraction|différence]] de deux nombres, le carré peut se calculer en appliquant les premières [[identités remarquables]] :
:<math>(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2</math>
:<math>(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2</math>.
La troisième identité remarquable permet de [[factorisation|factoriser]] une [[différence de deux carrés]] :
:<math>a^2 - b^2 = (a+b) \times (a-b)</math>.

{{exemple encadré|contenu = <math>\left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{4}{9}</math><br>
<math>2{,}3^2 = 5{,}29 \neq 4{,}9</math>
|légende=Carré d’une fraction et carré d’un décimal}}
Le carré d’une [[fraction (mathématiques)|fraction]] est obtenu en calculant le quotient du carré du numérateur par le carré du dénominateur. Cette propriété est parfois transportée de façon erronée dans le calcul du carré des [[nombre décimal|nombres décimaux]].

L’[[identité de Brahmagupta]] permet d’exprimer le produit de deux sommes de deux carrés comme une somme de deux carrés : quels que soient les nombres {{mvar|a}}, {{mvar|b}}, {{mvar|c}}, {{mvar|d}},
:{{math|1=({{mvar|a}}{{exp|2}} + {{mvar|b}}{{exp|2}})({{mvar|c}}{{exp|2}} + {{mvar|d}}{{exp|2}}) = ({{mvar|a}}{{mvar|c}} − {{mvar|b}}{{mvar|d}}){{exp|2}} + ({{mvar|a}}{{mvar|d}} + {{mvar|b}}{{mvar|c}}){{exp|2}}}}.

=== Inégalités ===
Tout entier naturel {{mvar|n}} est [[ordre numérique|inférieur]] à son carré : {{math|{{mvar|n}} ≤ {{mvar|n}}{{exp|2}}}}, avec une [[inégalité (mathématiques)|inégalité stricte]] dès que {{math|{{mvar|n}} ≥ 2}}.
{{exemple encadré|contenu=<math>0{,}5^2 = 0{,}25 < 0{,}5</math>
|légende=Un exemple de nombre dont<br> le carré est strictement inférieur}}
Cette inégalité est encore valable pour tous les [[nombre réel|nombres réels]] supérieurs à 1, ainsi que pour tous les négatifs, mais elle est fausse pour les réels entre 0 et 1. Ce phénomène se visualise sur la [[graphe d'une fonction|courbe]] de la [[fonction carré]], qui est [[position relative|au-dessus]] de la [[première bissectrice]] sur {{math|]−∞, 0] ∪ [1, +∞[}} mais en dessous sur l’[[intervalle (mathématiques)|intervalle]] {{math|]0, 1[}}.

De même, l’élévation au carré préserve les inégalités entre réels positifs :
:<math>\forall a,b \geqslant 0, \quad a \le b \iff a^2 \le b^2</math>
mais elle renverse les inégalités entre réels négatifs, et il n’y a pas de règle simple de passage au carré pour une inégalité entre réels quelconques. Ces propriétés correspondent au fait que la fonction carré est [[variations d'une fonction|croissante]] sur {{math|'''R'''{{exp|+}}}} et décroissante sur {{math|'''R'''{{exp|−}}}}.

=== Équation ===
Une [[équation (mathématiques)|équation]] de la forme {{math|1={{mvar|x}}{{exp|2}} = {{mvar|a}}}}, d’inconnue {{mvar|x}}, n’a de solution réelle que si le paramètre {{mvar|a}} est positif.

Si {{math|1={{mvar|a}} = 0}}, la seule solution est donnée par {{math|1={{mvar|x}} = 0}}.

Si {{math|{{mvar|a}} > 0}}, il y a deux solutions réelles opposées définie avec la [[racine carrée]] :
<math>x=\sqrt a</math> ou <math>x=-\sqrt a</math>.

Ces solutions ne sont entières que si {{mvar|a}} est un carré parfait, et ne sont [[nombre rationnel|rationnelles]] que si {{mvar|a}} est un [[division|quotient]] de carrés parfaits. En particulier, cette propriété implique l’[[nombre irrationnel|irrationalité]] de la [[racine carrée de 2]].

Si {{math|{{mvar|a}} < 0}}, il existe deux solutions [[nombre complexe|complexes]] qui peuvent s’écrire
<math>\mathrm i\sqrt{\left|a\right|}</math> et <math>-\mathrm i\sqrt{\left|a\right|}</math>.
Plus généralement, si {{mvar|a}} est un nombre complexe s’écrivant sous [[Nombre complexe|forme exponentielle]] {{math|1={{mvar|a}} = {{mvar|r}}.e{{exp|i{{mvar|θ}}}}}}, alors l’équation {{math|1={{mvar|x}}{{exp|2}} = {{mvar|a}}}} a deux solutions complexes opposées <math>\sqrt r.\mathrm e^{\mathrm i\theta/2}</math> et <math>\sqrt r.\mathrm e^{\mathrm i(\theta/2+\pi)}</math>.

=== Inéquation ===
Les [[inéquation]]s de la forme {{math|1={{mvar|x}}{{exp|2}} < {{mvar|a}}}}, 
{{math|1={{mvar|x}}{{exp|2}} ≤ {{mvar|a}}}}, {{math|1={{mvar|x}}{{exp|2}} ≥ {{mvar|a}}}}, {{math|1={{mvar|x}}{{exp|2}} > {{mvar|a}}}} peuvent se résoudre à l’aide d’un [[tableau de signes]] de la différence {{math|{{mvar|x}}{{exp|2}} − {{mvar|a}}}} :
<math>\begin{array}{|c|ccccccc|}
\hline x & -\infty & &-\sqrt a& & \sqrt a & & +\infty \\
\hline x^2 - a & & + & 0& - & 0 & + & \\
\hline
\end{array}</math>

== Arithmétique ==
=== Dans l’ensemble des entiers naturels ===
Les carrés parfaits forment une [[suite (mathématiques)|suite]] [[infini]]e de nombres entiers ({{OEIS|A000290}}) de densité nulle, dont les différences entre termes consécutifs forment la suite des entiers [[parité (arithmétique)|impairs]], et dont la [[série (mathématiques)|série]] associée est définie par les sommes partielles :
:<math>\sum_{k=0}^n k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}</math>.

Le carré est utilisé dans certaines [[équation diophantienne|équations diophantiennes]] comme la relation {{math|1={{mvar|a}}{{exp|2}} + {{mvar|b}}{{exp|2}} = {{mvar|c}}{{exp|2}}}} des [[triplet pythagoricien|triplets pythagoriciens]].

Le [[théorème des quatre carrés]] montre que tout entier naturel se décompose en une somme de quatre carrés parfaits.

Le [[théorème des deux carrés de Fermat]] donne une [[Équivalence logique|condition nécessaire et suffisante]] pour qu’un entier {{mvar|n}} se décompose en une somme de deux carrés parfaits, en fonction de la [[décomposition en facteurs premiers]] de {{mvar|n}}.

=== Arithmétique modulaire ===
En [[arithmétique modulaire]], si {{mvar|p}} est un [[nombre premier]] impair, l’ensemble des carrés modulo {{mvar|p}} non nuls forme un [[sous-groupe]] d’indice 2 dans le groupe {{math|'''F'''{{ind|{{mvar|p}}}}{{exp|∗}}}} des résidus non nuls modulo {{mvar|p}}, appelés [[résidu quadratique|résidus quadratiques]]. La détermination du fait qu’un résidu {{mvar|r}} constitue un carré modulo {{mvar|p}} se formule avec le [[symbole de Legendre]] : <math>\left(\frac{r}{p}\right) = 1</math>. La détermination des résidus quadratiques modulo un entier naturel {{mvar|n}} quelconque repose sur le [[symbole de Jacobi]].

La recherche des solutions d’une équation {{math|{{mvar|x}}{{exp|2}} ≡ 1}} modulo un entier {{mvar|n}} est équivalente à la décomposition en facteurs premiers de {{mvar|n}}.

== Autres domaines ==
=== Ensemble de couples ===
Étant donné un ensemble {{mvar|E}}, son carré {{math|1={{mvar|E}}{{exp|2}} = {{mvar|E}} × {{mvar|E}}}} est l’ensemble des [[couple (mathématiques)|couples]] d’éléments de {{mvar|E}}. Si {{mvar|E}} est [[ensemble fini|fini]], son [[cardinal (mathématiques)|cardinal]] s’écrit {{math|1=card({{mvar|E}}{{exp|2}}) = (card({{mvar|E}})){{exp|2}}}}. En particulier, pour un [[graphe (théorie des graphes)|graphe]] avec un grand nombre de sommets {{mvar|n}}, l’ensemble des arêtes est décrit par une [[sous-ensemble|partie]] d’un ensemble de {{math|{{mvar|n}}{{exp|2}}}} éléments. Par exemple,  si chaque sommet représente un [[site internet]], comme il y a plus d’un milliard en 2021<ref>{{formatnum:1197982359}} sites selon [https://news.netcraft.com/archives/category/web-server-survey/ Web Server Survey] le 12 février 2021.</ref>), les liens entre eux peuvent être [[représentation matricielle|représentés par une matrice]] de plus d’un milliard de milliards d’éléments.

La notation {{math|'''R'''{{exp|2}}}} désigne le [[plan euclidien]] muni d’un [[repère orthonormé]] par assimilation des points avec leur couples de [[coordonnées cartésiennes]] en [[géométrie analytique]].

=== Algèbre linéaire ===
Pour une [[endomorphisme]] {{mvar|u}} sur un [[espace vectoriel]] {{mvar|E}}, le carré représente en général son [[fonction itérée|itéré]], c’est-à-dire la composée {{math|1={{mvar|u}}{{exp|2}} = {{mvar|u}} ∘ {{mvar|u}}}} de l’endomorphisme avec lui-même. Si l’endomorphisme est [[représentation matricielle#Application linéaire|représenté]] par une matrice carrée {{mvar|M}}, son carré {{math|{{mvar|u}}{{exp|2}}}} est représenté par {{math|{{mvar|M}}{{exp|2}}}}.

Un [[projecteur (mathématiques)|projecteur]] est un endomorphisme {{mvar|p}} [[idempotence|idempotent]], c’est-à-dire satisfaisant la relation {{math|1={{mvar|p}}{{exp|2}} = {{mvar|p}}}}. Un [[symétrie vectorielle]] est un endomorphisme {{mvar|s}} [[involution|involutif]], c’est-à-dire satisfaisant la relation {{math|1={{mvar|s}}{{exp|2}} = id}}.

La résolution d’une équation de la forme {{math|1={{mvar|u}}{{exp|2}} = {{mvar|v}}}} dans l’ensemble des matrices carrées peut être facilitée si l’endomorphisme {{mvar|v}} est [[matrice diagonalisable|diagonalisable]]. Dans ce cas, les [[espace propre|espaces propres]] de {{mvar|v}} sont [[ensemble stable|stables]] par {{mvar|u}}, et si les valeurs propres sont des carrés, chaque solution est définie par une famille de symétries vectorielles sur ces sous-espaces.

=== Probabilités et statistique ===
L’[[espérance (mathématiques)|espérance]] du carré d’une [[variable aléatoire réelle]] {{mvar|X}} est son second [[moment (probabilités)|moment]] {{math|1={{mvar|m}}{{ind|2}} = '''E'''({{mvar|X}}{{exp|2}})}}. Sa [[variance (mathématiques)|variance]] est égale d’après la [[théorème de Koenig-Huygens|formule de Koenig-Huygens]] à la différence entre l’espérance du carré et le carré de l’espérance : {{math|1='''V'''({{mvar|X}}) = '''E'''({{mvar|X}}{{exp|2}}) − ('''E'''({{mvar|X}})){{exp|2}}}}, et définit alors le carré de l’[[écart type]].

== Caractère ==
En [[Unicode]], le caractère est {{unichar|00B2|exposant deux|html=|nlink=Table des caractères Unicode/U0080}}.

== Notes et références ==
{{Références}}
Source principale de cet article : cours de mathématiques niveau {{3e}} / {{2de}}

== Voir aussi ==

* [[Fonction carré]]
* [[Puissance d'un nombre|Puissance]]
* [[Racine carrée]]
* [[Théorème des deux carrés]]
* [[Théorème des quatre carrés]]
* [[Loi de réciprocité quadratique]]
* [[Polynôme somme de carrés]]

{{Portail|algèbre}}

[[Catégorie:Opération]]
[[Catégorie:Mathématiques élémentaires]]