Voir la source de Centre du cercle d'Euler

[[File:Ortocenter and circumcircle.svg|thumb|300px|Un triangle, son cercle circonscrit avec son centre (en noir), ses hauteurs et son orthocentre (rouge), et son cercle d'Euler avec son centre (en bleu)]]
En [[géométrie]], le '''centre du cercle d'Euler''', ou '''centre des neuf points''' est un [[centre du triangle]], un point d'un [[triangle]] plat qui ne dépend que de l'existence du triangle.
Son nom vient du fait qu'il s'agit du centre du [[cercle d'Euler]] ou cercle des neuf points, qui passe par neuf points caractéristiques du triangle : les milieux des trois côtés, les pieds des trois hauteurs et les points milieux entre les sommets et l'orthocentre. Le centre du cercle d'Euler est référencé par ''X''(5) dans l'[[Encyclopedia of Triangle Centers]] de [[Clark Kimberling]]<ref name="k94">{{article
 | nom = Kimberling | prénom = Clark
 | numéro = 3
 | journal = Mathematics Magazine
 | jstor = 2690608
 | mr = 1573021
 | pages = 163–187
 | titre = Central Points and Central Lines in the Plane of a Triangle
 | volume = 67
 | année = 1994
 | doi=10.2307/2690608}}.</ref>{{,}}<ref name="etc">[http://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html Encyclopedia of Triangle Centers], accessed 2014-10-23.</ref>.

== Propriétés ==
Le centre du cercle d'Euler {{mvar|N}} est sur la [[droite d'Euler]] du triangle, au milieu du segment entre l'[[orthocentre]] {{mvar|H}} et le centre du [[cercle circonscrit]] ''O''. Ces trois points sont alignés avec le [[centre de gravité]] {{mvar|G}}, aux deux tiers du segment de l'orthocentre vers le centre du cercle circonscrit<ref name="etc"/>{{,}}<ref name="dekov"/> de sorte que
:<math>NO=NH=3NG.</math>

Ainsi, en connaissant deux de ces centres du triangle on peut construire les deux autres.

Andrew Guinand prouve en 1984, dans le cadre de ce qu'on appelle le '''problème de détermination du triangle d'Euler''', que si les positions de ces centres sont données pour un triangle inconnu, alors le centre du cercle inscrit au triangle se trouve sur le cercle orthocentroïdal (le cercle de diamètre le segment entre l'orthocentre et le centre de gravité). Le seul point à l'intérieur du cercle qui ne peut pas être le centre du cercle inscrit est le centre du cercle d'Euler, et tout autre point intérieur du cercle et le centre du cercle inscrit d'un unique triangle<ref>{{article | lang=en | nom = Stern | prénom = Joseph
 | journal = Forum Geometricorum
 | pages = 1–9
 | titre = Euler's triangle determination problem
 | url = http://forumgeom.fau.edu/FG2007volume7/FG200701.pdf
 | volume = 7
 | année = 2007}}.</ref>{{,}}<ref>{{article
 | nom = Euler | prénom = Leonhard | lien auteur = Leonhard Euler
 | journal = Novi Commentarii Academiae Scientiarum Petropolitanae
 | langue = la
 | pages = 103–123
 | titre = Solutio facilis problematum quorundam geometricorum difficillimorum
 | url = http://eulerarchive.maa.org/pages/E325.html
 | volume = 11
 | année = 1767}}.</ref>{{,}}<ref>{{article|lang=en | prénom=Andrew P.|nom=Guinand|titre=Euler lines, tritangent centers, and their triangles|journal=[[American Mathematical Monthly]]|volume=91|numéro=5|jstor=2322671|année=1984|pages=290–300|doi=10.2307/2322671}}.</ref>{{,}}<ref>{{article|lang=en|auteur=William N. Franzsen, |titre=The distance from the incenter to the Euler line|périodique=Forum Geometricorum|volume=11|année=2011|pages=231-236|url=http://forumgeom.fau.edu/FG2011volume11/FG201126index.html}}</ref>.

La distance entre les centres du cercle d'Euler et du cercle inscrit {{mvar|I}} vérifie
:<math>IN < \tfrac{1}{2}IO,</math>
:<math>IN=\tfrac{1}{2}(R-2r) < \frac{R}{2},</math>
:<math>2R\cdot IN=OI^2,</math>
avec {{mvar|R}} et {{mvar|r}}, les rayons des cercles circonscrit et inscrit respectivement.

Le centre du cercle d'Euler est le centre des cercles circonscrits de trois triangles liés au triangle de base : son [[triangle médian]], son [[triangle orthique]] et son triangle d'Euler (le triangle formé des milieux des segments entre les sommets et l'orthocentre<ref name="dekov">{{article|lang=en 
 | nom = Dekov | prénom = Deko
 | journal = Journal of Computer-Generated Euclidean Geometry
 | titre = Nine-point center
 | url = http://www.ddekov.eu/j/2007/JCGEG200721.pdf
 | année = 2007}}.</ref>. De façon plus générale, par construction, il est le centre du cercle circonscrit de tout triangle dont les trois sommets sont sur le cercle d'Euler.

Le centre du cercle d'Euler d'un triangle est le centre de gravité du quadruplet de points formé par les trois sommets du triangle et son orthocentre<ref>L{{'}}''Encyclopedia of Triangle Centers'' attribue cette observation à Randy Hutson en 2011.</ref>.

Les droites d'Euler des quatre triangles issu d'un [[système orthocentrique]] (quatre points tels que l'un d'entre eux est l'orthocentre du triangle dont les trois autres sont les sommets) sont concourantes au centre du cercle d'Euler commun aux quatre triangles<ref name="ac">{{ouvrage|lang=en|auteur=Nathan Altshiller-Court|titre=College Geometry|éditeur=Dover Publications|année=2007}} (orig. Barnes & Noble 1952).</ref>.

Des neuf points définissant le cercle d'Euler, les trois milieux des segments entre les sommets et l'orthocentre sont les symétriques des milieux des côtés par rapport au centre du cercle d'Euler. Ainsi, le centre du cercle d'Euler est le centre de la symétrie qui envoie le triangle médial vers le triangle d'Euler, et inversement<ref name="dekov"/>.

Selon le [[théorème de Lester]], dans un triangle, le centre du cercle d'Euler, les deux [[Point de Fermat|points de Fermat]] et le centre du cercle circonscrit sont cocycliques<ref>{{article|lang=en
 | nom = Yiu | prénom = Paul
 | journal = Forum Geometricorum
 | mr = 2868943
 | pages = 175–209
 | titre = The circles of Lester, Evans, Parry, and their generalizations
 | volume = 10
 | année = 2010}}.</ref>.

Le [[point de Kosnita]] d'un triangle, un centre du triangle associé au [[théorème de Kosnita]], est le [[conjugué isogonal]] du cercle d'Euler<ref>{{article|lang=en
 | nom = Rigby | prénom = John
 | journal = Mathematics and Informatics Quarterly | volume= 7
 | pages = 156–158
 | titre = Brief notes on some forgotten geometrical theorems
 | année = 1997}}.</ref>.

== Coordonnées ==
Les [[coordonnées trilinéaires]] du centre du cercle d'Euler sont<ref name="k94"/>{{,}}<ref name="etc"/>
: <math>
\begin{align}
& \cos(B-C) : \cos(C-A) : \cos(A-B) \\
= {} & \cos A+2\cos B \cos C:\cos B+2\cos C \cos A:\cos C+2\cos A\cos B \\
= {} & \cos A-2\sin B \sin C:\cos B-2\sin C\sin A:\cos C-2\sin A\sin B \\
= {} & bc[a^2(b^2+c^2)-(b^2-c^2)^2]:ca[b^2(c^2+a^2)-(c^2-a^2)^2]:ab[c^2(a^2+b^2)-(a^2-b^2)^2].
\end{align}
</math>

Les [[coordonnées barycentriques]] du centre du cercle d'Euler sont<ref name="etc"/>
: <math>
\begin{align}
& a\cos(B-C):b\cos (C-A):c\cos (A-B) \\
= {} & a^2(b^2+c^2)-(b^2-c^2)^2:b^2(c^2+a^2)-(c^2-a^2)^2:c^2(a^2+b^2)-(a^2-b^2)^2.
\end{align}
</math>

Ainsi, si et seulement si la différence entre deux des angles du triangle est supérieure à 90°, une des coordonnées barycentriques est négative, et donc le centre du cercle d'Euler se trouve à l'extérieur du triangle.

== Références ==
{{Traduction/Référence|en|Nine-point center|1013992224}}
{{Références}}

== Liens externes ==
*{{mathworld|nom_url=Nine-PointCenter|titre=Nine-Point Center}}

{{Palette|Triangle}}
{{Portail|géométrie}}

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[[Catégorie:Centre du triangle]]