Voir la source de Centre du triangle


En [[géométrie plane]], la notion de '''[[Centre (géométrie)|centre]] du triangle''' est une notion qui généralise celle de centre d'un [[carré (géométrie)|carré]] ou d'un [[cercle]]. Certains [[Éléments remarquables d'un triangle|points remarquables du triangle]], comme le [[centre de gravité]], le centre du [[cercle circonscrit]], le centre du [[cercle inscrit]] et l'[[orthocentre]] sont connus depuis la [[Grèce antique]] et constructibles simplement.

Chacun de ces centres classiques a la propriété d'être invariant (plus précisément [[Équivariance|équivariant]]) par [[similitude (géométrie)|similitudes]]. En d'autres termes, pour tout triangle et toute similitude (composée d'une [[rotation (mathématiques)|rotation]], d'une [[homothétie]], et éventuellement d'une [[Réflexion (mathématiques)|réflexion]]) le centre du triangle transformé est l'image du centre du triangle original par la même transformation. C'est cette invariance qui est actuellement la propriété définissante d'un centre du triangle, et exclut donc certains points remarquables comme les [[points de Brocard]] qui ne sont pas invariants par réflexion.

Les centres d'un [[triangle équilatéral]] coïncident avec son centre de gravité, mais sont généralement distincts pour un triangle quelconque. Les définitions et propriétés de milliers de ces points sont répertoriées par leur [[nombre de Kimberling]] dans l{{'}}''[[Encyclopedia of Triangle Centers]]'' (ETC). 

==Histoire==
Les géomètres de la Grèce antique connaissaient les centres « classiques » d'un triangle, mais ne parlaient pas de centre d'un triangle. Par la suite, d'autres points remarquables ont été découverts, comme le [[point de Fermat]], le centre du [[cercle d'Euler]], le [[point de Lemoine]], le [[point de Gergonne]] ou le [[point de Feuerbach]]. Lors du regain d'intérêt pour la géométrie du triangle au cours des années 1980, il a été remarqué que ces points remarquables partagent certaines propriétés qui forment de nos jours la base de la définition formelle d'un centre d'un triangle<ref>{{lien web|langue=en |nom=Kimberling |prénom=Clark |lien auteur=Clark Kimberling |titre=Triangle centers |url=http://faculty.evansville.edu/ck6/tcenters/index.html |consulté le=2009-05-23 |extrait=Unlike squares and circles, triangles have many centers. The ancient Greeks found four: incenter, centroid, circumcenter, and orthocenter. A fifth center, found much later, is the Fermat point. Thereafter, points now called nine-point center, symmedian point, Gergonne point, and Feuerbach point, to name a few, were added to the literature. In the 1980s, it was noticed that these special points share some general properties that now form the basis for a formal definition of triangle center}}</ref>{{,}}<ref>{{article|langue=en  |nom=Kimberling |prénom=Clark |lien auteur=Clark Kimberling |date=juin 1994 |titre=Central Points and Central Lines in the Plane of a Triangle |journal=Mathematics Magazine |volume=67 |numéro=3 |pages=163–187 |doi=10.2307/2690608 |jstor=2690608}}</ref>. Au {{Date-|20 octobre 2022}}, la [[Nombre de Kimberling|liste de Kimberling]] comptait 52 112 centres remarquables.

==Définition formelle ==
On considère un triangle <math>ABC</math>, avec les notations classiques : <math>a=BC,b=CA,c=AB</math>.

* La propriété d'[[équivariance]] par rotation d'un centre du triangle se traduit par le fait qu'un tel point a pour [[coordonnées trilinéaires]] dans <math>(A,B,C)</math>:

{{math||§=(''f''(''a'', ''b'', ''c'') : ''f''(''b'', ''c'', ''a'') : ''f''(''c'', ''a'', ''b''))}}   où <math>f</math> est une [[Fonction (mathématiques)|fonction]] non nulle de <math>\mathbf{T}=\{(a,b,c)\in(\mathbb R_+^\star)^3/a<b+c,b<c+a,c<a+b\}</math> vers <math>\mathbb R</math> <ref>{{Article|langue=en|auteur1=L. Felipe Prieto-Martinez, Raquel Sanchez-Cauce|titre=Generalization of Kimberling’s concept of triangle center for other polygons|périodique=Arxiv|date=14 avril 2020|lire en ligne=https://arxiv.org/pdf/2004.01677.pdf}}</ref>.

* La propriété d'équivariance par homothétie se traduit par le fait que la fonction <math>f</math> est [[Fonction homogène|homogène]]<ref>{{article|langue=en|auteur=[[Clark Kimberling]]|titre=Triangle centers as functions|périodique=The Rocky Mountain Journal of Mathematics|volume=23|numéro=4|année=1993|lire en ligne=https://projecteuclid.org/journals/rocky-mountain-journal-of-mathematics/volume-23/issue-4/Triangle-Centers-as-Functions/10.1216/rmjm/1181072493.full|passage=1269-1286}}, p. 1274</ref> :

:: ll existe une constante réelle <math>\alpha</math> telle que, pour tout {{math|''t'' > 0}}, <math>f(ta,tb,tc) = t^\alpha f(a,b,c)</math> .

* La propriété d'équivariance par réflexion se traduit par le fait que la fonction <math>f</math> est symétrique par rapport aux deuxième et troisième variables {{sfn|Kimberling|1993|p=1273}}, propriété dite de bisymétrie :

:: <math>f(a,b,c) = f(a,c,b).</math>

Une fonction <math>f</math> non nulle ayant ces deux propriétés est appelée une ''fonction centrale''<ref>{{Article|auteur1=François Lavallou|titre=cubiques du triangle|périodique=Hors Série tangente 74 - Courbes et trajectoires|date=avril 2020|lire en ligne=http://www.infinimath.com/librairie/descriptif_livre.php?ref=2928#article|accès url=payant|pages=36}}</ref> (traduction de "''{{lang|en|center function}}''").

Il n'est pas nécessaire de donner les trois coordonnées trilinéaires d'un centre du triangle puisque par construction, les seconde et troisième coordonnées se déduisent de la première par [[permutation circulaire]] de <math>a,b,c</math>. On parle alors de '''cyclicité'''<ref name="wolf12">{{mathworld|nom_url=TriangleCenter.html|titre=Triangle Center}}</ref>{{,}}<ref>{{mathworld|nom_url=TriangleCenterFunction.html|titre=Triangle Center Function}}</ref>.

Un point de coordonnées trilinéaires {{math|(''x'' : ''y'' : ''z'')}} ayant pour [[coordonnées barycentriques]] {{math||§=(''ax'' : ''by'' : ''cz'')}}, et comme lorsque {{mvar|f}} est une fonction centrale, {{mvar|a f}} l'est également, on peut aussi définir un centre de triangle comme ayant des [[coordonnées barycentriques]] du type {{math||§=(''g''(''a'', ''b'', ''c'') : ''g''(''b'', ''c'', ''a'') : ''g''(''c'', ''a'', ''b''))}} où {{mvar|g}} est une fonction centrale.

Toute fonction centrale, trilinéaire ou barycentrique, donne naissance à un centre du triangle unique. Cette correspondance n'est cependant pas [[Injection (mathématiques)|injective]] : différentes fonctions, même non proportionnelles, peuvent définir un même centre du triangle. Par exemple, les fonctions {{math|''f''<sub>1</sub>(''a'',''b'',''c'') {{=}} 1/''a''}} et {{math|''f''<sub>2</sub>(''a'',''b'',''c'') {{=}} ''bc''}} correspondent toutes deux au centre de gravité. Deux fonctions centrales définissent le même centre si et seulement si leur rapport est une [[fonction symétrique]] en <math>a,b,c</math>.

Même si une fonction centrale est bien définie sur <math>\mathbf T</math> tout entier, le centre peut ne pas exister pour tout triangle. Par exemple, si {{math|''f''(''a'', ''b'', ''c'')}} est égal à 0 si {{math|''a''/''b''}} et {{math|''a''/''c''}} sont tous deux rationnels et 1 sinon, alors pour tout triangle de côtés de longueurs entières, le centre associé est de coordonnées trilinéaires (0 : 0 : 0) et n'est donc pas défini.

===Autres domaines utiles===
Il existe des cas où il peut être utile de restreindre l'analyse à des domaines plus petits que <math>\mathbf T</math>. Par exemple :

* Les centres ''X''<sub>3</sub>, ''X''<sub>4</sub>, ''X''<sub>22</sub>, ''X''<sub>24</sub>, ''X''<sub>40</sub> font spécifiquement référence aux [[Triangle acutangle|triangles acutangles]], dont les longueurs des côtés sont dans le sous-ensemble de <math>\mathbf T</math> défini par

:: {{math||§=''a''<sup>2</sup> < ''b''<sup>2</sup> + ''c''<sup>2</sup>}}, {{math||§=''b''<sup>2</sup> < ''c''<sup>2</sup> + ''a''<sup>2</sup>}}, {{math||§=''c''<sup>2</sup> <''a''<sup>2</sup> + ''b''<sup>2</sup>}}.

* Quand on veut différencier le [[point de Fermat]] du point  ''X''<sub>13</sub>,  le domaine des triangles dont un angle dépasse {{math|2π/3}} est important, ce qui se traduit par

:: {{math|''a''<sup>2</sup> > ''b''<sup>2</sup> + ''bc'' + ''c''<sup>2</sup>}} ou {{math|''b''<sup>2</sup> > ''c''<sup>2</sup> + ''ca'' + ''a''<sup>2</sup>}} ou {{math|''c''<sup>2</sup> > ''a''<sup>2</sup> + ''ab'' + ''b''<sup>2</sup>}}.

* Un domaine bien plus pratique car dense dans <math>\mathbf T</math> tout en excluant les triangles isocèles est l'ensemble des triangles scalènes, obtenu par exclusion des plans {{math|''b'' {{=}} ''c''}}, {{math|''c'' {{=}} ''a''}}, {{math|''a'' {{=}} ''b''}} de <math>\mathbf T</math>.

===Symétrie du domaine===
Tout sous-ensemble <math>\mathbf D\subset\mathbf T</math> n'est pas forcément un domaine conforme. Pour vérifier la bisymétrie, <math>\mathbf D</math> doit être symétrique par rapport aux plans {{math|''b'' {{=}} ''c''}}, {{math|''c'' {{=}} ''a''}}, {{math|''a'' {{=}} ''b''}}. Pour vérifier la cyclicité, il doit également être invariant pour toute rotation d'angle {{math|2π/3}} autour de la droite {{math|1=''a'' = ''b'' = ''c''}}. Le plus simple de ces domaines admissibles est la droite {{math|(''t'' , ''t'' , ''t'')}} qui correspond à l'ensemble des triangles équilatéraux.

=== Coordonnées du centre ===
Étant donnés les trois sommets du triangle ''A'', ''B'', ''C'', il existe quatre systèmes de coordonnées permettant de retrouver la position d'un centre ''P'' du triangle à partir des sommets :
* les [[coordonnées barycentriques]], qui utilisent les aires des triangles ''BPC'', ''CPA'', ''APB'' ;
* les [[coordonnées trilinéaires]], ou normales, qui utilisent la distance de ''P'' aux droites (''BC''), (''CA''), (''AB'') ;
* les [[coordonnées angulaires]], qui utilisent les mesures des angles <math>\widehat{APB}, \widehat{BPC}, \widehat{CPA}</math> ;
* les [[coordonnées tripolaires]], qui utilisent la distance de ''P'' aux sommets ''A'', ''B'', ''C''.
Les deux derniers systèmes sont peu utilisés, car ils ont le défaut de ne pas définir la position de ''P'' de façon unique (les coordonnées angulaires sont mal définies pour tout point sur le [[cercle circonscrit]] à ''ABC'', et les coordonnées tripolaires désignent deux points, l'un étant inverse de l'autre par rapport au cercle circonscrit) ; de plus, les coordonnées angulaires ont des expressions souvent compliquées.

==Exemples et contre-exemple==
[[File:Triangle centers1.svg|right|thumb|400px|Un triangle ''ABC'' avec son [[centre de gravité]] ''G'', le centre de son [[cercle inscrit]] ''I'', le centre de son [[cercle circonscrit]] ''O'', son [[orthocentre]] ''H'' et le centre de son [[cercle d'Euler]] ''N''.]]

=== Centre du cercle circonscrit ===
Le point de concours des médiatrices des côtés d'un triangle ABC est le centre de son cercle circonscrit. Ses coordonnées trilinéaires sont
:<math>a(b^2 + c^2 - a^2) : b(c^2 + a^2 - b^2) : c(a^2 + b^2 - c^2).</math>

On pose {{math||§=''f''(''a'', ''b'', ''c'') {{=}} ''a''(''b''<sup>2</sup> + ''c''<sup>2</sup> − ''a''<sup>2</sup>)}}. On a alors bien homogénéité et bisymétrie :<math>f(ta,tb,tc) = ta\left( (tb)^2 + (tc)^2 - (ta)^2\right) = t^3 a(b^2 + c^2 - a^2) = t^3 f(a,b,c)</math>
:<math>f(a,c,b) = a(c^2 + b^2-a^2) = a(b^2 + c^2-a^2) = f(a,b,c)</math>
donc {{mvar|f}} est bien une fonction centrale et ce point est bien un centre du triangle, répertorié X(3) dans l'[https://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html ETC].

=== Premier centre isogonique ===
On construit, à l'extérieur du triangle ''ABC'', le triangle équilatéral ''A'BC'' de base ''BC'' et de sommet ''A''{{'}}. On construit de façon similaire les triangles équilatéraux ''AB'C'' et ''ABC''{{'}} le long des deux autres côtés du triangle ''ABC''. Alors les droites (''AA''{{'}}), (''BB''{{'}}) et (''CC''{{'}}) sont concourantes au premier centre isogonique du triangle répertorié X(13) dans l'[https://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html ETC]. Ses coordonnées trilinéaires sont
:<math>\csc\left(A + \frac{\pi}{3}\right) : \csc\left(B + \frac{\pi}{3}\right) : \csc\left(C + \frac{\pi}{3}\right)</math>.
où {{formule|csc}} est la [[Fonction trigonométrique#cosécante|cosécante]] (inverse du sinus).

En exprimant <math>\csc\left(A + \frac{\pi}{3}\right)</math> à l'aide des longueurs {{mvar|a}}, {{mvar|b}} et {{mvar|c}}, on peut vérifier que l'on obtient bien une fonction centrale, donc ce point est un centre du triangle.

=== Point de Fermat ===
Soit
:<math>f(a, b, c) = \begin{cases}
  1 & \quad \text{si } a^2 > b^2 + bc + c^2 & (\mathrm{i.e~} A > 2\pi/3), \\
  0 & \quad \text{si } b^2 > c^2 + ca + a^2 \text{ ou } c^2 > a^2 + ab + b^2 & (\mathrm{i.e.~} B > 2\pi/3 \text{ ou } C > 2\pi/3), \\
    \csc(A + \pi/3) & \quad \text{sinon } & (\mathrm{i.e.~aucun~angle~ne~d\acute epasse~} 2\pi/3).
\end{cases}</math>

Alors {{mvar|f}} est bisymétrique et homogène donc c'est une fonction centrale. De plus le centre correspondant coïncide avec le sommet d'angle obtus au cas où un des angles dépasse {{math|2π/3}}, et avec le premier centre isogonique sinon. Ainsi, ce centre est le [[point de Fermat]] du triangle.

===Points de Brocard et paires bicentriques===
{{article détaillé|Points de Brocard}}
Les points de Brocard sont des exemples de points que l'on ne peut pas qualifier de centres du triangle. En effet, les coordonnées trilinéaires du premier point de Brocard sont {{math|''c''/''b'' : ''a''/''c'' : ''b''/''a''}}, elles vérifient bien les propriétés d'homogénéité et de cyclicité mais pas la bisymétrie. Le second point de Brocard a pour coordonnées  trilinéaires {{math|''b''/''c'' : ''c''/''a'' : ''a''/''b''}} et les mêmes remarques peuvent être faites.

Les deux points de Brocard forment une des nombreuses paires bicentriques de points<ref>{{lien web|langue=en|url=http://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/BicentricPairs.html|titre=Bicentric Pairs of Points|site=Encyclopedia of Triangle Centers}}</ref>, paires de points définies par rapport à un triangle par le fait que la paire (mais pas chaque point pris individuellement) est préservée par des similitudes appliquées au triangle. Plusieurs opérations binaires, comme le milieu et le produit trilinéaire, une fois appliquées aux points de Brocard ou aux autres paires bicentriques, produisent des centres du triangle.

== Quelques centres du triangle connus ==
Ci-dessous sont présentés quelques centres du triangle connus avec leur nom, leur [[nombre de Kimberling]], leurs propriétés caractéristiques et leurs coordonnées trilinéaires et barycentriques.

Quelques formules permettant de passer des angles aux longueurs : 
:<math>\cos \widehat{A}=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc},\ \sin \widehat{A}=\frac{2S}{bc}</math>
:<math>\cos^2\frac{\widehat A}2= \dfrac{p(p-a)}{bc},\ \sin^2\frac{\widehat A}2= \dfrac{(p-b)(p-c)}{bc},</math> 
où <math>p=\frac{a+b+c}2</math> est le demi-périmètre du triangle, et <math>S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}</math> son aire, exprimée par la [[formule de Héron]].

===Centres classiques===
<center>
{| class="wikitable" border="1"
! Nombre de Kimberling associé
! Nom
! Notation classique
! width = 25%| Coordonnées trilinéaires
!Coordonnées barycentriques
! Description
|-
|align="center"| {{math|''X''{{ind|1}}}}
| Centre du [[cercle inscrit]]
|align="center"| {{mvar|I}}
| {{math|1 : 1 : 1}}
|{{math|''a'' : ''b'' : ''c''}}<br/>{{math|sin ''A'' : sin ''B'' : sin ''C''}}
| Point d'intersection des [[bissectrice]]s. Centre du [[cercle inscrit]] dans le triangle.
|-
|align="center"| {{math|''X''{{ind|2}}}}
| [[Centre de gravité]]
|align="center"| {{mvar|G}}
| {{math|''bc'' : ''ca'' : ''ab''}}
| {{math|1 : 1 : 1}}
| Point d'intersection des [[médiane (géométrie)|médiane]]s. Isobarycentre des sommets.
|-
|align="center"| {{math|''X''{{ind|3}}}}
| Centre du [[Cercle circonscrit à un triangle|cercle circonscrit]]
|align="center"| {{mvar|O}} ou {{math|Ω}}
| {{math|cos ''A'' : cos ''B'' : cos ''C''}}
|{{math|sin 2''A'' : sin 2''B'' : sin 2''C''}}
| Point d'intersection des [[médiatrice]]s des côtés. Centre du [[cercle circonscrit]] au triangle.
|-
|align="center"| {{math|''X''{{ind|4}}}}
| [[Orthocentre]]
|align="center"| {{mvar|H}}
| {{math|sec ''A'' : sec ''B'' : sec ''C''}}
|{{math|tan ''A'' : tan ''B'' : tan ''C''}}
| Point d'intersection des hauteurs du triangle.
|-
|align="center"| {{math|''X''{{ind|5}}}}
| Centre du [[cercle d'Euler]]
|align="center"| {{mvar|N}}
| {{math|cos(''B'' − ''C'') : cos(''C'' − ''A'') : cos(''A'' − ''B'')}}
|{{math||§=''a'' cos(''B'' − ''C'') :}} etc.
<math>\sin 2B+\sin2C:</math> etc.<br /><math>a^2(b^2 + c^2) - (b^2 - c^2)^2</math> : etc.
| Centre du cercle passant par le milieu de chaque côté, les pieds des hauteurs et les milieux des segments joignant l'orthocentre aux sommets.
|-
|align="center"| {{math|''X''{{ind|6}}}}
| [[Point de Lemoine]]
|align="center"| {{mvar|K}}
| {{math|''a'' : ''b'' : ''c''}}<br/>{{math|sin ''A'' : sin ''B'' : sin''C''}}
|<math>a^2:b^2:c^2</math><br/><math>a\sin A:b\sin B:c\sin C</math>
| Point d'intersection des [[symédiane]]s (droites symétriques des médianes par rapport aux bissectrices correspondantes).
|-
|align="center"| {{math|''X''{{ind|7}}}}
| [[Point de Gergonne]]
|align="center"| {{mvar|G{{ind|e}}}}
| <math>\frac{bc}{p-a}:\frac{ca}{p-b}:\frac{ab}{p-c}</math><math>\sec^2\frac A2:\sec^2\frac B2:\sec^2\frac C2</math>
|<math>\tan \frac A2 : \tan \frac B2 : \tan \frac C2 </math><math>\frac1{p-a}:\frac1{p-b}:\frac1{p-c}</math>
| Point d'intersection des droites reliant les sommets et les points de contact du cercle inscrit avec les côtés opposés.
|-
|align="center"| {{math|''X''{{ind|8}}}}
| [[Point de Nagel]]
|align="center"| {{mvar|N{{ind|a}}}}
| <math>\frac{p-a}a:\frac{p-b}b:\frac{p-c}{c}</math><math>\csc^2\frac A2:\csc^2\frac B2:\csc^2\frac C2</math>
|<math>\cot \frac A2 : \cot \frac B2 : \cot \frac C2 </math><br/><math>p-a:p-b:p-c</math>
| Point d'intersection des droites reliant les sommets et les points de contact des cercles exinscrits aux côtés opposés.
|-
|align="center"| {{math|''X''{{ind|9}}}}
| [[Mittenpunkt]]
|align="center"| {{mvar|M}}
| <math>p-a:p-b:p-c</math>
|<math>\cos^2 \frac A2 : \cos^2 \frac B2 : \cos^2 \frac C2 </math><math>a(p-a):b(p-b):c(p-c)</math>
| Plusieurs définitions.
|-
|align="center"| {{math|''X''{{ind|10}}}}
| Centre du [[cercle de Spieker]]
|align="center"| {{mvar|S{{ind|p}}}}
| {{math|''bc''(''b'' + ''c'') : ''ca''(''c'' + ''a'') : ''ab''(''a'' + ''b'')}}
|<math>b + c : c + a : a + b </math>
| Centre du cercle inscrit dans le triangle médian. Isobarycentre des côtés du triangle.
|-
|align="center"| {{math|''X''{{ind|11}}}}
| [[Point de Feuerbach]]
|align="center"| {{mvar|F}}
| {{math|1 − cos(''B'' − ''C'') : 1 − cos(''C'' − ''A'') : 1 − cos(''A'' − ''B'')}}
|{{math||§=''a''(1 − cos(''B'' − ''C'')) :}} etc.
| Point de contact entre le cercle d'Euler et le cercle inscrit.
|-
|align="center"| {{math|''X''{{ind|13}}}}
| [[Point de Fermat]] [[#Fermat|(*)]]
|align="center"| {{mvar|X}}
| {{math|csc(''A'' + π/3) : csc(''B'' + π/3) : csc(''C'' + π/3)}}
|
| Point minimisant la somme des distances aux sommets.
|-
|align="center"| {{math|''X''{{ind|15}}}} , {{math|''X''{{ind|16}}}}
| [[Points isodynamiques]]
|align="center"| {{mvar|S}} <br/> {{mvar|S'}}
| {{math|sin(''A'' + π/3) : sin(''B'' + π/3) : sin(''C'' + π/3)<br/>sin(''A'' − π/3) : sin(''B'' − π/3) : sin(''C'' − π/3)}}
|
| Centres des inversions qui transforment le triangle en un triangle équilatéral.
|-
|align="center"| {{math|''X''{{ind|17}}}} , {{math|''X''{{ind|18}}}}
| [[Points de Napoléon]]
|align="center"| {{mvar|N}} <br/> {{mvar|N'}}
| {{math|sec(''A'' − π/3) : sec(''B'' − π/3) : sec(''C'' − π/3)<br/>sec(''A'' + π/3) : sec(''B'' + π/3) : sec(''C'' + π/3)}}
|
| Point d'intersection des droites reliant les sommets du triangle aux centres des triangles équilatéraux pointant vers l'extérieur (pour le {{1er}} point) ou à l'intérieur (pour le {{2e}} point), ayant pour bases les côtés opposés.
|-
|align="center"|{{math||§=''X''{{ind|63}}}}
|Point du [[L'Idée fixe du savant Cosinus|Savant Cosinus]] <ref>{{Article|auteur1=François Rideau|titre=Le Savant Cosinus|périodique=Bulletin de l'[[APMEP]]|date=mars-avril 2005|lire en ligne=https://www.apmep.fr/IMG/pdf/AAA05025.pdf}}</ref>
|align="center"|{{math|Ω}}
|<math>\cot A:\cot B:\cot C</math>
|<math>\cos A:\cos B:\cos C</math>
|Situé sur la droite passant par le centre de gravité et le point de Gergonne.
|-
| align="center" | {{math|''X''{{ind|99}}}}
| {{lien|trad=Steiner point (triangle)|fr=Point de Steiner}}
| align="center" | {{mvar|S}}
| <math>\frac{bc}{b^2-c^2}:\frac{ca}{c^2-a^2}:\frac{ab}{a^2-b^2} </math>
|<math>\frac1{b^2-c^2}:\frac1{c^2-a^2}:\frac1{a^2-b^2} </math>
| Plusieurs définitions.
|}
{{ancre|Fermat}}(*) : il s'agit plus précisément du premier centre isogonique, confondu avec le point de Fermat pour des angles aux sommets n’excédant pas {{math|2π/3}}.
</center>

=== Centres récents ===
Les centres notables découverts plus récemment n'ont pas de notation courante. Seule la première coordonnée trilinéaire {{math|''f''(''a'',''b'',''c'')}} sera spécifiée, les deux autres étant obtenues par cyclicité des coordonnées trilinéaires.

<center>
{| class="wikitable"
! Nombre de Kimberling
! Nom
! Fonction centrale<br/>{{math|''f''(''a'',''b'',''c'')}}
! Description
! Année de découverte
|-
| align="center" | {{math|''X''{{ind|21}}}}
| [[Point de Schiffler]]
| {{math|1/(cos ''B'' + cos ''C'')}}
| Point d'intersection des droites d'Euler des triangles formés par les sommets du triangle de référence et le centre de son cercle inscrit.
| 1985
|-
| align="center" | {{math|''X''{{ind|22}}}}
| [[Point d'Exeter]]
| {{math|''a''(''b''{{4}} + ''c''{{4}} − ''a''{{4}})}}
| Point de concours des droites passant par les points d'intersection des médianes avec le cercle circonscrit, et les sommets du triangle formé par les tangentes au cercle circonscrit aux sommets du triangle de départ. 
| 1986
|-
| align="center" | {{math|''X''{{ind|111}}}}
| [[Point de Parry]]
| {{math|''a''/(2''a''<sup>2</sup> − ''b''<sup>2</sup> − ''c''<sup>2</sup>)}}
| Centre du cercle de Parry (cercle passant par le centre de gravité et les deux points isodynamiques)
| début des années 1990
|-
| align="center" | {{math|''X''{{ind|173}}}}
| {{lien|trad=Congruent isoscelizers point|fr=Point des isocéliseurs congruents}}
| {{math|tan(''A''/2) + sec(''A''/2)}}
|
| 1989
|-
| align="center" | {{math|''X''{{ind|174}}}}
| {{lien|trad=Yff center of congruence|fr=Centre de congruence d'Yff}}
| {{math|sec(''A''/2)}}
|
| 1987
|-
| align="center" | {{math|''X''{{ind|175}}}}
| {{lien|trad=Isoperimetric point|Point isopérimétrique}}
| {{math|− 1 + sec(''A''/2) cos(''B''/2) cos(''C''/2)}}
| Point ''P'' du triangle ''ABC'' tel que les triangles ''PAB'', ''PBC'', ''PCA'' ont même périmètre  
| 1985
|-
| align="center" | {{math|''X''{{ind|179}}}}
| [[Point d'Ajima–Malfatti|Premier point d'Ajima-Malfatti]]
| {{math|sec<sup>4</sup>(''A''/4)}}
|
|
|-
| align="center" | {{math|''X''{{ind|181}}}}
| [[Point d'Apollonius d'un triangle|Point d'Apollonius]]
| {{math|''a''(''b'' + ''c''){{2}}/(''b'' + ''c'' − ''a'')}}
| Point de concours des droites passant par les sommets du triangle et les points de contacts entre les cercles exinscrits et le cercle d'Apollonius englobant ces trois cercles.
| 1987
|-
| align="center" | {{math|''X''{{ind|192}}}}
| {{lien|trad=Equal parallelians point|fr=Point des parallèliennes égales}}
| {{math|''bc''(''ca'' + ''ab'' − ''bc'')}}
| Point d'intersection des trois segments intérieurs au triangle, parallèles à un côté, dont les extrémités sont sur les deux autres côtés, et tous trois égaux.
| 1961
|-
| align="center" | {{math|''X''{{ind|356}}}}
| [[Centres de Morley|Centre de Morley]]
| {{math|cos(''A''/3) + 2 cos(''B''/3) cos(''C''/3)}}
| Centre du cercle circonscrit au triangle de Morley (triangle équilatéral formé par les intersections des trisectrices aux sommets)
|
|-
| align="center" | {{math|''X''{{ind|360}}}}
| [[Points de Hofstadter|Point zéro de Hofstadter]]
| {{math|''A''/''a''}}
|
| 1992
|}
</center>

==Classes générales de centres du triangle ==

===Centres de Kimberling===
En honneur de Clark Kimberling, créateur de l'encyclopédie en ligne qui répertorie et classe plus de {{unité|32000|centres}} du triangle, ceux-ci sont appelés généralement ''centres de Kimberling''<ref>{{mathworld|nom_url=KimberlingCenter|titre=Kimberling Center}}</ref>.

===Centre polynomial du triangle ===
Un centre du triangle est dit ''polynomial'' si ses coordonnées trilinéaires peuvent être exprimées comme des polynômes en {{mvar|a}}, {{mvar|b}} et {{mvar|c}}.

===Centre régulier du triangle ===

Un centre du triangle est dit ''régulier'' si ses coordonnées trilinéaires peuvent être exprimées comme des polynômes en {{mvar|a}}, {{mvar|b}} et {{mvar|c}}, et son aire {{mvar|S}}.

=== Centre majeur du triangle ===
Un centre du triangle est dit ''majeur'' si ses coordonnées trilinéaires peuvent être exprimées sous la forme {{math|''f''(''A'') : ''f''(''B'') : ''f''(''C'')}} où {{mvar|f}} ne dépend que de l'angle ''A'' et non des deux autres angles ou des longueurs des côtés<ref>{{mathworld|nom_url=MajorTriangleCenter.html|titre=Major Triangle Center}}</ref>.

=== Centre transcendant du triangle ===
Un centre du triangle est dit ''transcendant'' si ses coordonnées trilinéaires ne peuvent être exprimées par des [[Fonction algébrique|fonctions algébriques]] de {{mvar|a}}, {{mvar|b}} et {{mvar|c}}.

==Cas particuliers ==

===Triangles isocèles et équilatéraux ===

Soit {{mvar|f}} une fonction centrale.Si deux côtés du triangle sont égaux (par exemple {{math|''a'' {{=}} ''b'')}}, alors
:{{formule|''f''(''a'',''b'',''c'') {{=}} ''f''(''b'',''a'',''c'')}} car {{math|''a'' {{=}} ''b''}}
:{{formule|''f''(''a'',''b'',''c'') {{=}} ''f''(''b'',''c'',''a'')}} par la bisymétrie
donc deux coordonnées du centre du triangle associé sont toujours égales. Ainsi, tous les centres d'un tel triangle sont alignés sur son axe de symétrie. Pour un triangle équilatéral, ils sont donc confondus avec son centre de gravité. Ainsi, comme le cercle, le triangle équilatéral a un centre unique.

===Centres des cercles exinscrits ===
Le centre du cercle exinscrit dans l'angle en ''A'', de coordonnées trilinéaires  -1 : 1 : 1 n'est pas un centre du triangle au sens de Kimberling, ainsi que les deux autres, car la deuxième coordonnée n'est pas obtenue par permutation de ''{{mvar|a}}, {{mvar|b}}, {{mvar|c}}'' à partir de la première. Mais, en se limitant aux triangles [[Triangle scalène|scalènes]], on peut obtenir le centre du cercle exinscrit opposé au plus grand angle au sommet à partir de la fonction centrale :
:<math>f(a, b, c) = \begin{cases}
  -1 & \quad \text{si } a \geqslant b \text{ et } a \geqslant c, \\
   \;\;\; 1 & \quad \text{sinon}.
\end{cases}</math>

Le centre du cercle exinscrit dans l'angle moyen, et celui du plus petit angle, peuvent être définis par des fonctions similaires. Cependant, comme vu plus haut, seul un des centres des cercles exinscrits d'un triangle isocèle (et aucun pour un triangle équilatéral) ne peut être vu comme un centre du triangle.

=== Fonctions bi-antisymétriques ===
Une fonction {{mvar|f}} est '''bi-antisymétrique''' si {{math|''f''(''a'',''b'',''c'') {{=}} −''f''(''a'',''c'',''b'')}} pour tous {{math|''a'',''b'',''c''}}. Si {{mvar|f}} est une telle fonction, de plus non nulle et homogène, on peut facilement voir que la fonction {{math|(''a'',''b'',''c'') → ''f''(''a'',''b'',''c''){{2}} ''f''(''b'',''c'',''a'') ''f''(''c'',''a'',''b'')}} est une fonction centrale. Le centre correspondant a pour coordonnées {{math|''f''(''a'',''b'',''c'') : ''f''(''b'',''c'',''a'') : ''f''(''c'',''a'',''b'')}}. En prenant en compte ceci, la définition d'un centre du triangle est parfois modifiée pour inclure les fonctions non nulles homogènes bi-antisymétriques.

===Centres nouveaux et anciens ===
Toute fonction centrale {{mvar|f}} peut être '''normalisée''' en la multipliant par une fonction symétrique de {{mvar|a}}, {{mvar|b}}, {{mvar|c}} de sorte que <math>\alpha</math>. Une fonction centrale normalisée donne le même centre du triangle que l'originale, et une propriété plus forte sur l'homogénéité:  {{math|''f''(''ta'',''tb'',''tc'') {{=}} ''f''(''a'',''b'',''c'')}} pour tout {{math|''t'' > 0}} et tout triplet {{math|(''a'',''b'',''c'')}}. Réunis avec la [[fonction nulle]], les fonctions centrales normalisées forment une [[algèbre]] munie de l'addition, la soustraction et la multiplication. On a ainsi un moyen simple de créer de nouveaux centres du triangle. Toutefois, deux fonctions centrales normalisées vont souvent définir un même centre du triangle, par exemple {{mvar|f}} et {{math|{{sfrac|(''a''+''b''+''c'')<sup>3</sup>|''abc''}}''f''}} .

===Centres sans intérêt ===
On suppose {{math|''a'', ''b'', ''c''}} trois variables réelles et soient {{math|''α'', ''β'', ''γ''}} trois constantes réelles. On considère

:<math>f(a, b, c) = \begin{cases}
  \alpha & \quad \text{ si } \min(a,b,c) = a, \\
  \gamma & \quad \text{ si } \max(a,b,c) = a, \\
  \beta & \quad \; \text{sinon}.
\end{cases}</math>

Alors {{mvar|f}} est une fonction centrale et {{math|''α'' : ''β'' : ''γ''}} est le centre correspondant dès que les côtés du triangle de référence sont notés de sorte que {{math|''a'' < ''b'' < ''c''}}. Ainsi, tout point eut potentiellement pu être un centre du triangle. Cependant la grande majorité de ces centres n'ont que peu d'intérêt, au même titre que la plupart des fonctions continues n'ont que peu d'intérêt. L{{'}}{{lang|en|''[[Encyclopedia of Triangle Centers]]''}} se concentre sur ceux qui sont intéressants et continue de s'agrandir.

===Systèmes binaires ===
Il existe d'autres paires de centres que celle formée par le point de Fermat et le premier centre isogonique. On en trouve une autre entre {{math|''X''<sub>3</sub>}} et le centre du cercle inscrit au [[triangle tangentiel]]. En effet, on considère la fonction centrale suivante :
:<math>f(a, b, c) = \begin{cases}
  \cos(A) \quad \; \quad \; \quad \; \quad \; \quad \; \quad \;\,\, \text{pour un triangle acutangle}, \\
  \cos(A) + \sec(B)\sec(C) \quad \text{si l'angle en } A \text{ est obtus}, \\
  \cos(A) - \sec(A) \quad \; \quad \; \quad \;\, \text{si l'un des angles en } B \text{ ou } C \text{ est obtus}.
\end{cases}</math>

Pour le centre correspondant, on a quatre possibilités distinctes :
:*&nbsp; {{math|cos(''A'') : cos(''B'') : cos(''C'')}} &nbsp; &nbsp; pour un triangle de référence acutangle (on retrouve ici le centre du cercle circonscrit) ;
:*&nbsp; {{math|[cos(''A'') + sec(''B'')sec(''C'')] : [cos(''B'') − sec(''B'')] : [cos(''C'') − sec(''C'')]}} &nbsp; &nbsp; si l'angle en ''A'' est obtus ;
:*&nbsp; {{math|[cos(''A'') − sec(''A'')] : [cos(''B'') + sec(''C'')sec(''A'')] : [cos(''C'') − sec(''C'')]}} &nbsp; &nbsp; si l'angle en ''B'' est obtus ;
:*&nbsp; {{math|[cos(''A'') − sec(''A'')] : [cos(''B'') − sec(''B'')] : [cos(''C'') + sec(''A'')sec(''B'')]}} &nbsp; &nbsp; si l'angle en ''C'' est obtus.
Le calcul montre que dans tous les cas, ces coordonnées trilinéaires sont celles du centre au cercle inscrit au triangle tangentiel, mais peuvent correspondre également au centre du cercle circonscrit.

== Géométries non-euclidiennes et autres ==

L'étude des centres du triangle renvoie traditionnellement à la [[géométrie euclidienne]], mais les centres du triangle peuvent être recherchés dans une [[géométrie non-euclidienne]]<ref>{{cite arxiv|auteur=Robert A. Russell|année=2019|titre=Non-Euclidean Triangle Centers|class=math.MG|eprint=1608.08190}}</ref>. Les centres du triangle dans la [[géométrie sphérique]] peuvent être définis par la [[trigonométrie sphérique]]<ref>{{lien web|langue=en|auteur=Rob Johnson|titre=Spherical Trigonometry|site=West Hills Institute of Mathematics|url=https://www.math.ucla.edu/~robjohn/math/spheretrig.pdf}}</ref>. Les centres du triangle qui ont la même forme pour les géométries euclidienne et [[géométrie hyperbolique|hyperbolique]] peut être exprimés par [[gyrotrigonométrie]]<ref>{{article|langue=en|lire en ligne=http://ajmaa.org/searchroot/files/pdf/v6n1/v6i1p18.pdf|titre=Hyperbolic Barycentric Coordinates|auteur=Abraham A. Ungar|périodique=The Australian Journal of Mathematical Analysis and Applications|volume=6|numéro=1|pages=1-35|année=2009}}</ref>{{,}}<ref>{{article|langue=en|lire en ligne=https://www.springer.com/astronomy/cosmology/book/978-90-481-8636-5|titre=Hyperbolic Triangle Centers: The Special Relativistic Approach|auteur=Abraham A. Ungar|périodique=Springer Science & Business Media|année=2010}}</ref>{{,}}<ref name="barycalc">{{Ouvrage|langue=en|auteur1=Abraham Ungar|titre=Barycentric Calculus In Euclidean And Hyperbolic Geometry|sous-titre=A Comparative Introduction|éditeur=[[World Scientific]]|année=2010|isbn=|lire en ligne=https://books.google.fr/books?id=2LLFCgAAQBAJ&pg=PR11}}</ref>. En géométrie non euclidienne, l'hypothèse que la somme des angles intérieurs du triangle vaille 180° doit être écartée.

On peut aussi définir les centres des [[tétraèdre]]s ou de [[simplexe]]s de dimension supérieure, par analogie avec les triangles en dimension deux<ref name="barycalc"/>.

==Notes==
{{Traduction/Référence|en|Triangle center|1001613268}}
{{Références}}

== Voir aussi ==
===Articles connexes===
* [[Géométrie moderne du triangle]]
* [[Droite centrale]]
* ''[[Encyclopedia of Triangle Centers]]''
* [[Nombre de Kimberling]]

===Liens externes===
* {{MathWorld|nom_url=TriangleCenter|titre=Triangle Center}}
* {{en}} Manfred Evers, [http://forumgeom.fau.edu/FG2017volume17/FG201733.pdf ''On Centers and Central Lines of Triangles in the Elliptic Plane'']
* {{en}} Manfred Evers, [http://front.math.ucdavis.edu/1908.11134 ''On the geometry of a triangle in the elliptic and in the extended hyperbolic plane'']
* {{en}} [[Clark Kimberling]], [http://faculty.evansville.edu/ck6/tcenters/ ''Triangle Centers''] sur le site de l'[[Université d'Evansville]]
* {{en}} Ed Pegg, [https://community.wolfram.com/groups/-/m/t/1028357 ''Triangle Centers in the 2D, 3D, Spherical and Hyperbolic''] sur [[Wolfram Research]].
* {{en}} Paul Yiu, [http://math.fau.edu/Yiu/TourOfTriangleGeometry/MAAFlorida37040428.pdf ''A Tour of Triangle Geometry''] sur le site de la [[Florida Atlantic University]].

{{Palette|Triangle}}
{{Portail|géométrie}}

[[Catégorie:Centre du triangle|*]]