Voir la source de Cercles d'Apollonius (fractale)

{{Ne pas confondre|Cercles d'Apollonius}}

En [[mathématiques]], la figure des '''cercles d'Apollonius''' est un [[Empilement de cercles|empilement compact de cercles]] dans un cercle. Elle est construite en itérant la construction d'Apollonius des deux cercles tangents à trois cercles deux à deux tangents. Sa densité est égale à 1, ce qui signifie que l'aire laissée par les interstices est nulle. C'est aussi une figure de géométrie [[fractale]] dont on a calculé la dimension.

Elle a été ainsi nommée en l'honneur du [[mathématicien]] [[Grèce|grec]] [[Apollonios de Perga|Apollonius de Perge]] qui a posé le problème de la [[Problème des contacts|détermination des cercles tangents à trois cercles]].

La partie centrale de la figure située entre les trois cercles initiaux, que l'on retrouve une infinité de fois dans la figure, s'appelle une '''baderne d'Apollonius'''<ref>{{Ouvrage|auteur1=François Apéry|titre=La Baderne d'Apollonius|lieu=Strasbourg|éditeur=Université Louis Pasteur, Institut de Recherche Mathématique Avancée|date=1982|lire en ligne=https://www.worldcat.org/fr/title/29179882}}</ref>{{,}}<ref name=":0">{{Ouvrage|auteur1=Alain Bouvier, Michel Georges, François Le Lionnais|titre=Dictionnaire des mathématiques|passage=47|lieu=2005|éditeur=PUF}}</ref>{{,}}<ref>{{Lien web |url=http://www.mathcurve.com/fractals/baderne/baderne.shtml |titre=Baderne d'Apollonius |site=MATHCURVE.COM |consulté le=26 juillet 2014}}.</ref>.<gallery widths="350" heights="200">
Fichier:Apollonian 2D N3 L7.svg|Figure des cercles d'Apollonius, partant de trois cercles de même taille.
Fichier:Baderne apollonius.gif|Baderne d'Apollonius, empilement de cercles situés entre trois cercles extérieurement tangents de même taille, formée elle-même de trois badernes, elles-mêmes formées...
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== Origine de l'appellation « baderne » ==
D'après François Apéry<ref>{{Article|auteur1=François Apéry|titre=À propos de l'article intitulé "La baderne d'Apollonius"|périodique=La Gazette des mathématiciens|date=octobre 1982}}.</ref> qui cite [[Benoît Mandelbrot]], ce dernier a créé le terme anglais "''[[:en:Apollonian_gasket|apollonian gasket]]''" (joint de culasse apollonien) en 1977, en même temps que le terme "''Sierpinski gasket''" ([[tamis de Sierpinski]], fractale de construction similaire) en pensant aux « feuilles de caoutchouc trouées assurant l'étanchéité des moteurs ». La traduction française « [[wikt:baderne|baderne]] d'Apollonius » serait due à Bouvier et George dans la première édition de leur dictionnaire de mathématiques en 1979<ref name=":0" />, le mot "''gasket''" désignant aussi une corde marine. Mandelbrot aurait préféré le terme « [[wikt:garcette|garcette]] ».

== Construction ==
La figure des cercles d'Apollonius peut être construite comme suit. On débute avec trois cercles ''C''1, ''C''2 et ''C''3, chacun d'eux étant tangent aux deux autres (dans la construction générale, ces trois cercles peuvent avoir n'importe quelle taille, tant qu'ils sont tangents). Apollonius découvrit qu'il existe deux autres cercles qui n'ont pas d'intersection, ''C''4 et ''C''5, qui ont la propriété d'être tangents avec les trois cercles originaux — ceux-ci ont été appelés ''cercles d'Apollonius''.
{{Article détaillé|théorème de Descartes|problème des contacts}}
En ajoutant les deux cercles d'Apollonius aux trois cercles originaux, nous avons maintenant cinq cercles.

Prenons un des deux cercles d'Apollonius - disons ''C''4. Il est tangent à ''C''1 et ''C''2, donc le triplet de cercles ''C''4, ''C''1 et ''C''2 ont leurs propres cercles d'Apollonius. Nous connaissons déjà un de ceux-ci - c'est ''C''3 - mais l'autre est un nouveau cercle ''C''6.

D'une manière similaire, nous pouvons construire un nouveau cercle ''C''7 qui est tangent à ''C''4, ''C''2 et ''C''3, et un autre cercle ''C''8 à partir de ''C''4, ''C''3 et ''C''1. Ceci nous donne 3 nouveaux cercles. Nous pouvons construire trois autres nouveaux cercles à partir de ''C''5, donnant six nouveaux cercles. En prenant les cercles de ''C''1 jusqu'à ''C''5, ceci donne un total de 11 cercles.

En continuant la construction étape par étape de cette manière, nous pouvons ajouter {{math|2×3{{exp|''n''}}}} nouveaux cercles à l'étape {{Mvar|n}}, donnant un total de {{math|3{{exp|''n''+1}}+2}} cercles après {{Mvar|n}} étapes.

Il n'a été démontré qu'en 1943 que l'ensemble résiduel, complémentaire des disques dans le grand disque, a une aire nulle<ref>{{Article|langue=en|auteur1=EDWARD KASNER, FRED SUPNICK|titre=THE APOLLONIAN PACKING OF CIRCLES|périodique=Department of mathematics, Columbia University|date=Octobre 1943|lire en ligne=https://www.pnas.org/doi/pdf/10.1073/pnas.29.11.378}}</ref>{{,}}<ref>{{Article|auteur1=François Apéry|titre=La baderne d'Apollonius|périodique=La gazette des mathématiciens|numéro=19|date=Juin 1982|lire en ligne=https://zbmath.org/?q=in%3A147720|accès url=payant|pages=59-61}}</ref>, donc que l'empilement est ''complet'', et seulement en 1973 qu'il possède une [[dimension de Hausdorff]] égale environ à 1,3057<ref>{{en}} [[Curtis T. McMullen]], ''[http://abel.math.harvard.edu/~ctm/papers/home/text/papers/dimIII/dimIII.pdf Hausdorff dimension and conformal dynamics III: Computation of dimension]''.</ref> ; voir la {{OEIS|A052483}}.

== Variations ==
[[Fichier:Apollonian spheres2.png|150px|thumb|Sphères d'Apollonius]]
Les cercles d'Apollonius peuvent aussi être construits en remplaçant un des cercles générateurs par une droite, qui peut être vue comme un cercle passant par le [[point à l'infini]].

Deux des cercles générateurs peuvent aussi être remplacés par des droites parallèles, qui peuvent être vues comme étant tangentes à l'infini. Dans cette construction, les cercles qui sont tangents à une des deux droites forment une famille de [[cercle de Ford|cercles de Ford]].
{{Article détaillé|cercle de Ford}}

L'extension de la figure des cercles d'Apollonius à la dimension trois est baptisée '''« figure des sphères d'Apollonius »'''. Sa dimension fractale a été estimée à 2,47<ref>{{en}} M. Borkovec, W. De Paris et R. Peikert, ''[http://graphics.ethz.ch/~peikert/papers/apollonian.pdf The Fractal Dimension of the Apollonian Sphere Packing]'' {{pdf}}.</ref> ; voir la {{OEIS|A187089}}.

== Symétries ==
Si les trois cercles originaux ont le même rayon, alors la figure des cercles d'Apollonius possède trois axes de symétrie ; ces droites sont mutuellement tangentes à chaque paire de cercles. Chaque tangente mutuelle passe aussi par le centre du troisième cercle et le centre commun du premier des deux cercles d'Apollonius. Ces axes de symétrie forment des angles de 60 degrés, donc la construction des cercles d'Apollonius a aussi une symétrie rotationnelle d'ordre 3. Plus généralement, partant d'une famille de {{Mvar|n}} cercles de même rayon tangents deux à deux, on obtient une famille de cercles d'Apollonius ayant une symétrie rotationnelle d'ordre {{Mvar|n}}, comme on le voit ci-dessous.

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File:Apollonian 2D N3 L7.svg
File:Apollonian 2D N4 L6.svg
File:Apollonian 2D N5 L5.svg
File:Apollonian 2D N6 L5.svg
File:Apollonian 2D N7 L5.svg
File:Apollonian 2D N8 L5.svg
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== Courbures entières ==
Les courbures (les inverses des rayons) d'un ensemble de quatre cercles tangents trois à trois sont liées par la [[Théorème de Descartes|relation de Descartes]] :  <math>(k_1+k_2+k_3+k_4)^2=2\,(k_1^2+k_2^2+k_3^2+k_4^2).</math> Si on désigne alors par <math>k_4</math> et <math>k'_4</math> les courbures des deux cercles tangents aux trois premiers, on obtient <math>k_4+k'_4=2\,(k_1+k_2+k_3) </math> ; on en déduit de proche en proche que si quatre des courbures d'un ensemble de cercles d'Apollonius sont entières, elles le sont toutes{{Note|texte={{en}} [[Ronald Graham]], [[Jeffrey Lagarias]], Colin Mallows, Allan Wilks et Catherine Yan, [https://arxiv.org/pdf/math/0009113.pdf ''Apollonian Circle Packings: Number Theory''], J. Number Theory 100 (2003), 1--45}}.

== Liens avec la géométrie hyperbolique ==
Les trois cercles générateurs, et par conséquent la construction entière, sont déterminés par la localisation des trois points de contact. Puisqu'il existe une [[transformation de Möbius]] qui applique trois points donnés quelconques dans le plan à trois autres points quelconques, et puisque les transformations de Möbius respectent les cercles, il existe une transformation de Möbius qui applique deux familles de cercles d'Apollonius quelconques à une troisième.

Les transformations de Möbius sont aussi des isométries du [[géométrie hyperbolique|plan hyperbolique]], donc dans la géométrie hyperbolique, toutes les constructions de cercles d'Apollonius sont isométriques. Dans un sens, il n'existe par conséquent qu'une famille de cercles d'Apollonius, qui peut être pensée comme un [[pavage]] du plan hyperbolique par des cercles et des triangles hyperboliques.

La réunion des cercles d'Apollonius est l'ensemble limite (ou [[attracteur]]) d'un groupe de transformations de Möbius connu sous le nom de [[:en:Kleinian_group|groupe kleinéen]].

== Notes et références ==
=== Notes ===
{{Références}}

=== Références ===
{{Traduction/Référence|en|Apollonian gasket|78352120}}
* {{en}} Alexander Bogomolny, ''[http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/ApollonianGasket.shtml Apollonian Gasket]'', [[Cut-the-Knot]]
* {{en}} [[Benoît Mandelbrot]], ''The Fractal Geometry of Nature'', W H Freeman, 1982 {{ISBN|0-7167-1186-9}}
* {{en}} Paul D. Bourke : "[http://local.wasp.uwa.edu.au/~pbourke/papers/apollony/ An Introduction to the Apollony Fractal]". Computers and Graphics, Vol 30, Issue 1, January 2006, pages 134-136.
* {{en}} [[David Mumford]], Caroline Series, David Wright: ''Indra's Pearls: The Vision of Felix Klein'', Cambridge University Press, 2002 {{ISBN|0-521-35253-3}}

== Voir aussi ==
=== Article connexe ===

* [[Cercles d'Apollonius]]
* [[Liste de fractales par dimension de Hausdorff|Liste de fractales par dimensions de Hausdorff]]

=== Liens externes ===

* [[wikibooks:Fractals/Apollonian_fractals|How to compute and draw Apollonian gasket]] sur wikibooks
* [https://users.math.yale.edu/public_html/People/frame/Fractals/CircInvFrac/welcome.html Circle Inversion Fractals], fractales obtenues comme attracteurs d'une famille d'[[Inversion (géométrie)|inversions]]
{{Palette|Empilement}}
{{portail|géométrie}}

[[Catégorie:Cercle|Apollonius]]
[[Catégorie:Fractale]]
[[Catégorie:Formule ou théorème de François Viète]]