Voir la source de Cercles inscrit et exinscrits d'un triangle

[[Image:Triangle_cercles_exinscrits.png|thumb|upright=1.5|Les trois cercles exinscrits d'un triangle et son cercle inscrit.]]
Étant donnés trois points non alignés A, B et C du plan, il existe quatre cercles tangents aux trois droites (AB), (AC) et (BC). Ce sont le '''cercle inscrit''' (celui qui est intérieur au triangle) et les '''cercles exinscrits''' du triangle ABC.

== Bissectrices ==
{{article détaillé|Bissectrice}}
[[Image:BissectorIncircle.svg|thumb|Bissectrices et cercle inscrit d'un triangle.]]
Un cercle tangent aux trois droites (AB), (BC), (CA) doit posséder un centre équidistant de ces trois droites. Or l'ensemble des points équidistants de deux droites sécantes (d<sub>1</sub>) et (d<sub>2</sub>) forme deux droites perpendiculaires, constituées des quatre demi-droites [[bissectrice]]s chacune d'un des quatre secteurs angulaires construits par les droites (d<sub>1</sub>) et (d<sub>2</sub>), et appelées bissectrices des droites (d<sub>1</sub>) et (d<sub>2</sub>).

Si on considère les trois côtés du triangle en tant que droites, on dispose en tout de six bissectrices, deux pour chaque couple de droites. Par chacun des sommets du triangle, passe une '''bissectrice intérieure''' (qui rencontre le côté opposé du triangle) et une '''bissectrice extérieure'''.

Si une bissectrice issue de A rencontre une bissectrice issue de B alors le point d'intersection, étant équidistant de (AB) et (AC) et équidistant de (BA) et (BC), est à égale distance de (CA) et (CB) et appartient donc à l'une (et une seule) des bissectrices issues de C. Il y a donc quatre points de concours possibles.

'''Cas du cercle inscrit'''. Les bissectrices intérieures issues de A et B se coupent à l'intérieur des secteurs angulaires (BAC) et (ABC), c'est-à-dire dans le triangle ABC. Le point d'intersection est donc sur la bissectrice intérieure issue de C et plus exactement sur la [[demi-droite]] bissectrice du secteur angulaire (ACB). Le point d'intersection est alors le centre d'un cercle tangent aux trois côtés du triangle. C'est le cercle inscrit. 

'''Cas des cercles exinscrits'''. Les bissectrices extérieures issues de A et de B se coupent dans le secteur angulaire (ACB) et rencontrent donc, eux aussi, la demi-droite bissectrice de l'angle (ACB). Le point d'intersection est alors le centre d'un cercle tangent au segment [AB] et aux demi-droites d'origines A et B, de supports (AC) et (BC) et ne contenant pas C. C'est un cercle exinscrit au triangle. Un raisonnement analogue peut être fait pour les deux autres couples de bissectrices extérieures.

Le cercle inscrit et les trois cercles exinscrits sont parfois appelés les quatre cercles ''tritangents'' du triangle<ref>{{Ouvrage|auteur1=[[H.S.M. Coxeter]] et S.L. Greitzer|titre=Redécouvrons la géométrie|lieu=Paris|éditeur=[[Dunod]]|année=1971|pages totales=214|passage=14}}</ref>.

== Notations ==
[[Fichier:Law of sines (simple).svg|vignette|126x126px|Notations utilisées dans cet article]]
Dans cet article, {{Mvar|a}} désigne la longueur du côté [BC], {{Mvar|b}} la longueur du côté [AC] et {{Mvar|c}} la longueur du côté [AB]. Enfin O désigne le centre du cercle inscrit et O<sub>A</sub>, O<sub>B</sub> et O<sub>C</sub> les trois centres des cercles exinscrits compris dans les secteurs angulaires issus respectivement de A, B, C.

== Cercle inscrit ==
Il existe un et un seul cercle intérieur au triangle et tangent à la fois à ses trois côtés. Ce cercle est appelé « '''cercle inscrit''' » dans le triangle. C'est le [[Problème du plus grand cercle vide|plus grand cercle]] que peut contenir ce triangle.

=== Centre ===
Son centre est le point d'intersection des bissectrices intérieures ; étant équidistant des côtés, ses [[coordonnées trilinéaires]] par rapport aux sommets sont par définition {{nobr|(1 : 1 : 1)}} ; ses [[coordonnées barycentriques]] sont donc <math>(a:b:c)</math> ou <math>\left(\frac1{h_A}:\frac1{h_B}:\frac1{h_C}\right) </math> où <math>h_A,h_B,h_C</math> sont les trois [[Hauteur d'un triangle|hauteurs]]. C'est le premier centre X(1) répertorié dans l'[https://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html ETC].

Les distances <math>d_A,d_B,d_C</math> du centre du cercle inscrit aux sommets sont données par <math>d_A=\frac{bc}p\cos\frac{\widehat A}2</math> ou <math>d_A^2=\frac{p-a}pbc</math> et les formules permutées.

La '''relation d'Euler''' donne la distance {{mvar|d}} du centre du cercle inscrit au centre du [[Cercle circonscrit à un triangle|cercle circonscrit]] : {{math|''d''{{2}} {{=}} ''R''{{2}} – 2''Rr''}} (avec {{mvar|R}} rayon du cercle circonscrit, {{mvar|r}} celui du cercle inscrit).

{{Article détaillé|Relations d'Euler dans le triangle}}

=== Rayon ===
[[Fichier:Cercle inscrit triangle.gif|vignette|300x300px|{{math|1='|§=''S'' = <span style="color:red">{{sfrac|''a.r''|2}}</span> + <span style="color:green">{{sfrac|''b.r''|2}}</span> + <span style="color:blue">{{sfrac|''c.r''|2}}</span> = ''p.r''}}]]
Le rayon du cercle inscrit est égal, d'après la preuve illustrée ci-contre, à 

<center><math>r=\frac Sp=\frac{2S}{a+b+c}</math></center>

où ''S'' désigne l'[[aire du triangle]] et {{math|''p'' {{=}} {{sfrac|''a + b + c''|2}}}} son demi-[[périmètre]].

Donc <math>\frac1r=\frac1{h_A}+\frac1{h_B}+\frac1{h_C}</math> où <math>h_A=\frac{2S}a,h_B=\frac{2S}b,h_C=\frac{2S}c </math> sont les trois hauteurs du triangle : le rayon du cercle inscrit est le tiers de leur [[moyenne harmonique]].

Compte-tenu de la [[formule de Héron]], on obtient : 
<center><math>r^2=\frac{(p-a)(p-b)(p-c)}{p}=\frac{(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)}{4(a+b+c)}.</math></center>

<math>T_A,T_B,T_C</math> étant les points de contact du cercle inscrit avec les côtés <math>[BC],[CA],[AB]</math>, les distances des points de contact aux sommet, appelées "distances de contact", sont <math>x=AT_B=AT_C,y=BT_C=BT_A,z=CT_A=CT_B</math>.

Comme {{mvar|a {{=}} y+z}}, {{mvar|b {{=}} z+x}}, {{mvar|c {{=}} x+y}} , on obtient :
<center>{{Mvar|1=x = p – a, y = p – b, z = p – c}},</center>

d'où :
<center><math>r^2=\frac{xyz}{x+y+z}</math>.</center>

D'autre part, si l'on se souvient que <math>\frac{abc}{2S}=2R</math>, où <math>R</math> désigne le rayon du [[Cercle circonscrit à un triangle|cercle circonscrit]] au même triangle,

on a : <center><math>Rr=\frac{abc}{2(a+b+c)}</math>.</center>

Dans le cas du [[triangle rectangle]] d'hypoténuse de longueur <math>c</math>, l'expression du rayon se simplifie en <math>r=\frac{a+b-c}2</math>.

== Point de Gergonne ==
[[Image:Triangle_gergonne.png|thumb|upright=2|''G<sub>e</sub>'' est le point de Gergonne du triangle ABC.]]
D'après le [[théorème de Ceva]], les trois céviennes <math>(AT_A),(BT_B),(CT_C)</math> joignant les sommets aux points de contact, sont concourantes. En effet, le produit des rapports <math>\frac{T_CA}{T_CB}\times \frac{T_AB}{T_AC} \times \frac{T_BC}{T_BA}=\frac xy\frac yz\frac zx</math> est égal à 1.

Leur point de concours est appelé le '''point de [[Joseph Diaz Gergonne|Gergonne]]''' du triangle et le triangle ''T<sub>A</sub>T<sub>B</sub>T<sub>C</sub>'', le '''triangle de contact''' (ou triangle de Gergonne) du triangle ''ABC''.

Ses coordonnées barycentriques dans ABC sont <math>\left(\frac1x:\frac1y:\frac1z\right)=\left(\frac1{-a+b+c}:\frac1{a-b+c}:\frac1{a+b-c}\right)</math>.

{{Démonstration/début}}

Si ''X'' est le point de coordonnées barycentriques <math>\left(\frac1x:\frac1y:\frac1z\right)</math>, le point d'intersection <math>X_A</math> de (''AX'') et (''BC'') vérifie <math>\frac1y\overline{X_AB}+\frac1z\overline{X_AC}=0</math>, soit <math>\frac{\overline{X_AC}}{\overline{X_AB}}=\frac zy</math>, donc <math>X_A=T_A</math> et de même <math>X_B=T_B</math>, <math>X_C=T_C</math> ; donc ''X'' est le point de Gergonne.

{{Démonstration/fin}}

il est répertorié X(7) dans l'[https://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html ETC].

De plus, Si ''T'<sub>A</sub>'' est le point d'intersection des droites (''T<sub>B</sub>T<sub>C</sub>'') et (''BC'') , les points  ''T'<sub>A</sub>'', ''B'', ''T<sub>A</sub>'' et ''C'' sont en [[division harmonique]].
{{clr}}

== Propriétés du triangle de contact ==
[[File:BissectorIncircleGergonneAngles.svg|thumb|upright=2|Les angles en vert sont tous égaux.]]

* L'angle à l'un des sommets du triangle de Gergonne est égal à l'angle entre les deux bissectrices issues des sommets du triangle initial formant le côté où se trouve le sommet du triangle de Gergonne.
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[[File:BissectorIncircleGergonneOrthogonals.svg|thumb|upright=1.5|Les intersections des bissectrices avec les côtés du triangle de contact présentent des caractéristiques particulières.|gauche]]

* Les points d'intersection des bissectrices avec les côtés du triangle de contact permettent de construire trois droites orthogonales aux bissectrices<ref>[http://tube.geogebra.org/m/1304463 Démonstration] sur tube.geogebra.org.</ref>.
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[[File:GergonneLine.svg|thumb|upright=2|Un triangle et sa droite de Gergonne.]]
* Un triangle et son triangle de contact sont [[Homologie (transformation géométrique)|homologiques]], de centre le conjugué isogonal du point de Gergonne pour le triangle de référence ([[nombre de Kimberling]] ''X''{{ind|55}}) et d'axe une droite appelée ''droite de Gergonne'' du triangle de référence. Les points d'intersection de l'homologie sont les ''points de Nobbs'', qui sont donc par définition sur la droite de Gergonne, de même de que les points de Fletcher et d'Evans du triangle de référence<ref>{{mathworld|nom_url=GergonneLine|titre=Gergonne Line}}</ref>. 
{{clr}}

== Cercle inscrit dans le triangle médian ==
[[Fichier:Centre ligne triangulaire.png|vignette|alt="Centre de gravité de la ligne polygonale homogène ABC."|Le centre du cercle inscrit dans le triangle médian est le centre de gravité de la ligne homogène ABCA.]]
Le centre du cercle inscrit dans le [[Triangle#Triangle médian|triangle médian]] IJK (I milieu de [BC], etc.), appelé [[Cercle de Spieker|point de Spieker]], est le [[centre de gravité]] (ou d'inertie) de la ligne polygonale homogène formée par les côtés du triangle.

C'est en effet  le barycentre du système <math display="inline">\begin{pmatrix} I & J & K \\ a & b & c \end{pmatrix}</math> ; ses coordonnées barycentriques dans le triangle de départ sont donc <math>(b+c:c+a:a+b)</math> ; il est répertorié X(10) dans l'[https://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html ETC].

== Cercles exinscrits ==
[[Fichier:Cercle exinscrit.png|gauche|vignette|Aire de <math>ABC</math> = aire de <math>AI_AC</math>+aire de <math>AI_AB</math> - aire de <math>I_ABC</math> . Donc, <math>S=\frac12(br_A+cr_A-ar_A)</math>, d'où <math>r_A = \frac S{p-a}</math>.]]
Il y a trois cercles exinscrits : chacun est tangent à un unique côté du triangle (considéré comme un segment). On note ''C<sub>A</sub>'' le cercle exinscrit touchant le côté [CB], ''C<sub>B</sub>'' le cercle exinscrit touchant le côté [AC] et ''C<sub>C</sub>'' le cercle exinscrit touchant le côté [AB].

Les rayons des cercles exinscrits sont respectivement (démonstration ci-contre) :
{{Retrait|<math>r_A = \frac S{p-a},\quad r_B = \frac S{p-b}\quad{\rm et}\quad r_C = \frac S{p-c}</math>}}
donc
<center>
<math> \frac1{r_A}+ \frac1{r_B} + \frac1{r_C}= \frac pS=\frac1r</math>

et <math>S=\sqrt{r_Ar_Br_Cr}</math>.
</center>

De plus, le rayon du [[Cercle circonscrit à un triangle|cercle circonscrit]] est donné par <math>R=r_A+r_B+r_C-r</math> <ref>{{Ouvrage|auteur1=David wells|titre=Le dictionnaire Penguin des curiosités géométriques|passage=34|éditeur=Eyrolles|date=1998}}</ref>.

On peut noter les relations : <math>\frac{r_A}{r}=\frac{p}{p-a}=\frac{h_A}{h_A-2r}=\frac{\tan(\widehat B+\widehat C)}{\tan \widehat A}</math><ref>{{Lien web |auteur=Loïc Terrier |titre=Autre démonstration du théorème des co-hauteurs |url=https://www.mathcurve.com/thci2_sol.pdf}}</ref>, où <math>h_A</math> est la [[Hauteur d'un triangle|hauteur]] issue de <math>A</math>.

Leurs centres sont barycentres du système <math display="inline">\begin{pmatrix} A & B & C \\ -a & b & c \end{pmatrix}</math> pour le premier, <math display="inline">\begin{pmatrix} A & B & C \\ a &- b & c \end{pmatrix}</math> pour le second et <math display="inline">\begin{pmatrix} A & B & C \\ a & b & -c \end{pmatrix}</math> pour le troisième.

Le terme "exinscrit" a été introduit par [[Simon Antoine Jean L'Huillier]]<ref>{{ouvrage|titre=Annales de mathématiques pures et appliquées|auteur=Joseph Diez Gergonne|lire en ligne=https://www.google.fr/books/edition/Annales_de_math%C3%A9matiques_pures_et_appli/Ay80AQAAIAAJ?hl=fr&gbpv=1&dq=annales+de+gergonne&printsec=frontcover}} {{p.|139}}.</ref>.

Le triangle formé par les centres des trois cercles exinscrits est également appelé ''triangle exinscrit'', ou aussi ''triangle excentral'' ou ''triangle de Bevan''.

=== Point de Nagel ===
[[Image:Triangle_nagel.png|thumb|upright=1.5|Point de Nagel d'un triangle.]]
On note U<sub>A</sub> le point de tangence de ''C<sub>A</sub>'' avec [CB], U<sub>B</sub> le point de tangence de ''C<sub>B</sub>'' avec [AC] et U<sub>C</sub> le point de tangence de ''C<sub>C</sub>'' avec [AB].

Alors les droites (AU<sub>A</sub>), (BU<sub>B</sub>) et (CU<sub>C</sub>) sont concourantes : leur point d'intersection N<sub>a</sub> s'appelle le '''point de [[Christian Heinrich von Nagel|Nagel]]''' du triangle (nombre de Kimberling X(8)). On appelle le triangle U<sub>A</sub>U<sub>B</sub>U<sub>C</sub> le '''[[triangle de Nagel]]''' du triangle ABC.

Le point de Nagel N<sub>a</sub>, le centre du cercle inscrit I et le centre de gravité G sont alignés sur la '''droite de Nagel''' et liés par la relation IN<sub>a</sub> = 3 IG.
Le point de Spieker est aussi sur cette droite, c'est le centre du cercle inscrit dans le triangle médian.

Il est possible de construire en quelques secondes le point de Nagel d'un triangle en s'inspirant d'une construction qui aboutit au cercle de Conway<ref>{{Lien web|langue=|auteur1=Xavier Dussau|titre=Elementary construction of the Nagel point|url=https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-02558108/document|site=HAL|périodique=|date=|consulté le=}}.</ref>.
{{clr}}

=== Point de Bevan ===
[[Image:Triangle_bevan.png|thumb|upright=1.5|Point et triangle de Bevan.]]
Les droites (O<sub>A</sub>U<sub>A</sub>), (O<sub>B</sub>U<sub>B</sub>) et (O<sub>C</sub>U<sub>C</sub>) sont également concourantes : leur point d'intersection B<sub>e</sub> s'appelle le '''point de Bevan''' du triangle ABC (portant le nom de [[:en:Benjamin_Bevan|Benjamin Bevan]], nombre de Kimberling X(40)) et le triangle O<sub>A</sub>O<sub>B</sub>O<sub>C</sub> s'appelle le triangle de Bevan de ABC.

Le point de Bevan est le symétrique du centre du cercle inscrit dans ABC, par rapport au centre du [[Cercle circonscrit à un triangle|cercle circonscrit à ABC]]. Le point de Bevan et ces deux centres sont donc alignés.

Le point de Bevan est le centre du cercle circonscrit au triangle de Bevan. 
[[File:ExcentralIntouchHomothety.svg|thumb|left|Illustration de l'homothétie entre le triangle de Gergonne et le triangle de Bevan d'un triangle.]]
Le triangle de Bevan et le triangle de Gergonne sont [[homothétie|homothétiques]], de centre d'homothétie le [[conjugué isogonal]] du mitenpunkt de ''ABC'' et de rapport <math display="inline">\frac{4abc}{(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)}</math><ref>{{article |lang=en |auteur1=Sara Grozdev |auteur2=Hiroshi Okumura |auteur3=Deko Dekov |année=2018 |titre=Triangles Homothetic with the Intouch Triangle |volume = 4 |périodique=Mathematical Reflections}}</ref>.
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=== Point d'Apollonius ===
[[Image:Triangle_apollonius.png|thumb|upright=1.5|Point d'Apollonius d'un triangle.]]
Il existe un unique cercle tangent simultanément aux trois cercles exinscrits et qui les contienne (voir [[Problème des contacts]]) ; c'est le [[cercle d'Apollonius]] du triangle.
Si l'on note V<sub>A</sub>, V<sub>B</sub> et V<sub>C</sub> les trois points de tangence alors les droites (AV<sub>A</sub>), (BV<sub>B</sub>) et (CV<sub>C</sub>) sont concourantes : leur point d'intersection A<sub>p</sub> s'appelle le '''point d'[[Apollonius de Perga|Apollonius]]''' du triangle (nombre de Kimberling X(181)).
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=== Mittenpunkt ===
[[File:Mittenpunkt+excircles.svg|thumb|right|upright=1.8|Le mittenpunkt d'un triangle ABC]]

On appelle mittenpunkt du triangle ABC le point de concours des droites reliant les centres O<sub>A</sub>, O<sub>B</sub>, O<sub>C</sub> des trois cercles exinscrits aux milieux respectifs des côtés du triangle (nombre de Kimberling X(9)). 

Le mittenpunkt M<sub>i</sub> est situé sur la droite reliant le centre de gravité G au point de Gergonne G<sub>e</sub> avec la relation M<sub>i</sub>G<sub>e</sub>= 3M<sub>i</sub>G.

Le mittenpunkt M<sub>i</sub> est situé sur la droite reliant le centre du cercle inscrit au point de Lemoine . 

Le mittenpunkt est également le point de Lemoine du triangle de Bevan O<sub>A</sub>O<sub>B</sub>O<sub>C</sub>, triangle formé par les bissectrices extérieures, de sommets les centres des trois cercles exinscrits.

[[File:MandartInellipseWithMittenpunkt.svg|thumb|right|500px|Le mittenpunkt d'un triangle est le centre de son ellipse de Mandart.]]
Il est le centre de l'ellipse de Mandart du triangle (l'ellipse inscrite dans le triangle et tangente aux points de contact des cercles exinscrits U<sub>A</sub>, U<sub>B</sub>, U<sub>C</sub>).
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== Points de Feuerbach ==
[[Image:Triangle_triangle_feuerbach2.png|thumb|upright=2|Triangle de Feuerbach.]]
{{article détaillé|Théorème de Feuerbach}}
Les trois cercles exinscrits et le cercle inscrit sont tangents au [[cercle d'Euler]] du triangle ABC. Les points de contact F<sup>e</sup>, F{{indexp|A|e}}, F{{indexp|B|e}}, F{{indexp|C|e}} de ces cercles s'appellent les '''points de Feuerbach''' du triangle. Ce résultat constitue le [[théorème de Feuerbach]].

Les trois points de tangence des cercles exinscrits forment le '''triangle de Feuerbach''' F{{indexp|A|e}}F{{indexp|B|e}}F{{indexp|C|e}} du triangle ABC.
{{clr}}

[[File:Thm Feuerbach droite des centres.svg|thumb|upright=2|Le point S, les centres I et J et le point de Feuerbach Fe sont alignés.]]
Soit S le point de concours des droites (AF{{indexp|A|e}}), (BF{{indexp|B|e}}), (CF{{indexp|C|e}}). Alors le point S, le centre du cercle inscrit, le centre du cercle d'Euler et le point de Feuerbach F<sup>e</sup> sont alignés et en division harmonique.
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[[File:Point Feuerbach pied bissect.svg|thumb|upright=2|Le cercle, circonscrit au triangle formé par les pieds des bissectrices, passe par le point de Feuerbach F{{exp|e}}.]]
Le cercle passant par les pieds des bissectrices intérieures du triangle ABC passe aussi par le point de Feuerbach F<sup>e</sup>.
{{clr}}

[[File:Feuerbach_Hyperbola.svg|300px|thumb|upright=2|Hyperbole de Feuerbach.]]
Le point de Feuerbach F{{exp|e}} est le centre de symétrie d'une hyperbole équilatère (dite [[hyperbole de Feuerbach]]) passant en particulier par :
*les trois sommets du triangle ;
*l'orthocentre ;
*le centre du cercle inscrit ;
*le point de Gergonne ;
*le point de Nagel ;
*le mittenpunkt.
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[[File:MandartInellipseAndFeuerbachPoint.svg|thumb|Le point de Feuerbach d'un triangle est le seul centre de ce triangle à être sur son ellipse de Mandart]]
Le point de Feuerbach est un des seuls [[Centre du triangle|centres du triangle]] sur l'ellipse de Mandart (ellipse tangente aux côtés du triangle aux points de contact des cercles exinscrits et ayant pour centre le mittenpunkt).

{{clr}}

==Notes et références==
{{Références}}
* {{ouvrage |auteur=Yvonne et René Sortais |titre=La géométrie du triangle |éditeur=Hermann |année=1997 |ISBN=978-2-7056-1429-4}}.
* {{ouvrage |auteur=Jean-Denis Eiden |titre=Géométrie analytique classique |éditeur=Calvage & Mounet |année=2009 |ISBN=978-2-91-635208-4}}.

==Voir aussi==
=== Articles connexes ===
* [[Cercle circonscrit à un triangle|Cercle circonscrit]] au triangle
* [[Nombre de Kimberling]]
* [[Triplet pythagoricien#Propriétés d'un triplet pythagoricien primitif|Triplet pythagoricien]] ; le triangle associé possède des cercles inscrits et exinscrits très simples
* [[Carré inscrit dans un triangle]]
* [[Tétraèdre#Centres de la sphère inscrite et des sphères ex-inscrites|Sphère inscrite dans un tétraèdre]]

===Liens externes===
* {{Lien web|lang=en|site=[[Cut The Knot]]|url=http://www.cut-the-knot.org/triangle/InExCircles.shtml|titre=Incircles and Excircles in a Triangle|auteur=A. Bogomolny}}
* {{mathworld|nom_url=Incircle|titre=Incircle}}
* {{mathworld|nom_url=Excircles|titre=Excircles}} 
* {{mathworld|nom_url=NagelPoint|titre=Nagel Point}}
* {{mathworld|nom_url=GergonnePoint|titre=Gergonne Point}}
* {{mathworld|nom_url=BevanPoint|titre=Bevan Point}}
* {{mathworld|nom_url=Mittenpunkt|titre=Mittenpunkt}}

{{Palette|Triangle}}
{{Portail|géométrie}}

{{DEFAULTSORT:Cercle inscrit exinscrit triangle}}
[[Catégorie:Cercle|Inscrit Exinscrit Triangle]]
[[Catégorie:Cercle associé à un triangle]]