Voir la source de Cissoïde

{{ébauche|mathématiques}}
[[File:Allgemeine_zissoide.svg|vignette|La courbe rouge est la cissoïde des courbes verte et bleue.]]
En [[géométrie]], la '''cissoïde''', ou '''courbe cissoïdale''' ou '''cissoïdale''', de deux courbes (C{{ind|1}}) et (C{{ind|2}}) par rapport à un point fixe O est le [[lieu géométrique]] des points P tels que :
:<math>\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OP_1}+\overrightarrow{OP_2}</math>
où P{{ind|1}} est un point de (C{{ind|1}}) et P{{ind|2}} un point de (C{{ind|2}}), P{{ind|1}} et P{{ind|2}} étant alignés avec O.

La cissoïde peut aussi être vue comme la courbe médiane de pôle O des courbes C'{{ind|1}} et C'{{ind|2}}, images de C{{ind|1}} et C{{ind|2}} par une [[homothétie]] de centre O et de rapport 2.

Elle est parfois définie comme l'ensemble des points P tels que :
:<math>\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{P_1P_2}</math>
où P{{ind|1}} est un point de (C{{ind|1}}) et P2 un point de (C{{ind|2}}), P{{ind|1}} et P{{ind|2}} étant alignés avec O. Cette définition est équivalente à la première, à condition de remplacer C{{ind|1}} par sa symétrique par rapport à O.

== Étymologie et histoire ==

Le terme ''cissoïde'' provient du grec ''kissos'' lierre et ''eidos'' forme. En effet, la [[cissoïde de Dioclès]] rappelle la forme d'une feuille de [[Hedera|lierre]].

== Définition mathématique ==

L'équation polaire de la cissoïde de pôle O des courbes <math>R = f_1(\theta)</math> et <math>R=f_2(\theta)</math> est donné par:

:<math>R=f_1(\theta)+f_2(\theta)</math>

Une cissoïde peut aussi être décrite comme la différence au lieu de la somme de deux courbes.

== Propriétés ==
* Si (C{{ind|1}}) est un cercle, O un point du cercle et (C{{ind|2}}) la tangente au cercle en un point diamétralement opposé à O, la cissoïde porte le nom de cissoïde droite ou [[cissoïde de Dioclès]]

* Si (C{{ind|1}}) et (C{{ind|2}}) sont deux droites parallèles, la cissoïdale est aussi une droite parallèle aux deux premières.

* Si (C{{ind|1}}) et (C{{ind|2}}) sont deux droites sécantes, la cissoïdale est une hyperbole passant par O, d'asymptotes C{{ind|1}} et C{{ind|2}}.

* Si (C{{ind|2}}) est un cercle et que le point fixe O est le centre de ce cercle, la cissoïdale est une [[conchoïde]] de la courbe (C{{ind|1}}).

* Si (C{{ind|1}}) est une conique, (C{{ind|2}}) est une droite, et que le point fixe O est sur la conique, on obtient une [[cissoïde de Zahradnik]].

* Si (C{{ind|1}}) et (C{{ind|2}}) sont des cercles et le point fixe O est sur l'un des cercles, on obtient une [[Courbe quartique|quartique bicirculaire rationnelle]].

* Si (C{{ind|1}}) et (C{{ind|2}}) sont des cercles et le point fixe O est le milieu des centres, on obtient une [[courbe de Booth]], dont la [[lemniscate de Bernoulli]] est un cas particulier.

== Liens externes ==
* Sur le site de [[Robert Ferréol]], dans [http://www.mathcurve.com son encyclopédie des formes mathématiques remarquables] :
** [http://www.mathcurve.com/courbes2d/cissoidale/cissoidale.shtml "Courbe Cissoïdale"]
** [http://www.mathcurve.com/courbes2d/cissoid/cissoid.shtml "Cissoïde"]

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