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En [[théorie des groupes]], la '''clôture normale''' d'un sous-[[Inclusion (mathématiques)|ensemble]] <math>S</math> d'un [[Groupe (mathématiques)|groupe]] <math>G</math> est le plus petit [[sous-groupe normal]] de <math>G</math> contenant <math>S.</math>

==Définitions équivalentes==
*La clôture normale <math>\operatorname{cln}_G(S)</math> de <math>S</math> dans <math>G</math> est l'intersection de tous les sous-groupes normaux de <math>G</math> contenant <math>S</math><ref>{{Ouvrage|lang=en|auteur=Derek F. Holt|auteur2=Bettina Eick|auteur3=[[Eamonn O'Brien| A. O'Brien]]|titre=Handbook of Computational Group Theory|passage=14|éditeur=[[CRC Press]]|année=2005|isbn=1-58488-372-3|lire en ligne=https://archive.org/details/handbookofcomput0000holt/page/14}}.</ref> :<math display="block">\mathrm{cln}_G(S) = \bigcap_{S \subseteq N \triangleleft G} N.</math>
*Le sous-groupe <math>\operatorname{cln}_G(S)</math> est [[Partie génératrice d'un groupe|engendré]] par l'ensemble <math>S^G=\{s^g : g\in G\} = \{g^{-1}sg : g\in G\}</math> de tous les [[Action par conjugaison|conjugués]] dans <math>G</math> des éléments de <math>S.</math>
*On peut donc aussi écrire<math display="block">\mathrm{cln}_G(S) = \{g_1^{-1}s_1^{\epsilon_1} g_1\dots g_n^{-1}s_n^{\epsilon_n}g_n : n \geq 0, \epsilon_i = \pm 1, s_i\in S, g_i \in G\}.</math>

== Propriétés ==
Tout sous-groupe normal est égal à sa clôture normale.

La clôture normale de l'[[ensemble vide]] est le sous-[[groupe trivial]]<ref>{{Rotman1}}, [https://books.google.fr/books?id=4x8BCAAAQBAJ&pg=PA32 {{p.|32}}].</ref>.

Il existe d'autres notations pour la clôture normale dans la littérature, comme <math>\langle S^G\rangle,</math><math>\langle S\rangle^G,</math><math>\langle \langle S\rangle\rangle_G</math> ou <math>\langle\langle S\rangle\rangle^G.</math>

Le dual du concept de clôture normale est celui d'intérieur normal ou [[cœur d'un sous-groupe|cœur]], défini comme le sous-groupe engendré par la réunion des sous-groupes normaux de <math>G</math> contenus dans <math>S</math><ref>{{Ouvrage|langue=en|auteur={{Lien|lang=de|Derek John Scott Robinson|texte=Derek J. S. Robinson}}|titre=A Course in the Theory of Groups|numéro dans collection=80|collection=[[Graduate Texts in Mathematics|GTM]]|éditeur=Springer|année=1996|numéro d'édition=2|url={{Google Livres|lqyCjUFY6WAC|page=16}}|page=16}}.</ref>.

== Présentation de groupe ==
Pour un groupe donné par une [[Présentation d'un groupe|présentation]] <math>G=\langle S \mid R\rangle</math> avec des générateurs <math>S</math> et des relations <math>R,</math> il est équivalent de définir <math>G</math> comme le [[groupe quotient]] <math>G = F(S) / \mathrm{cln}_{F(S)}(R),</math> où <math>F(S)</math> est un [[groupe libre]] sur <math>S</math><ref> 
{{Ouvrage|lang=en|auteur=[[Roger C. Lyndon]]|auteur2=[[Paul E. Schupp]]|titre=Combinatorial Group Theory|passage=87|éditeur=Springer-Verlag|lieu=Berlin|collection=Classics in Mathematics|année=2001|lire en ligne={{Google Livres|cOLrCAAAQBAJ|page=87}}}}.</ref>.

== Références ==
{{Traduction/Référence|en|Normal closure (group theory)|1072119007|type=n}}
{{Références}}
{{Portail|algèbre}}

[[Catégorie:Théorie des groupes]]