Voir la source de Classe de Stiefel-Whitney

{{ébauche|mathématiques}}
En [[topologie algébrique]], les '''classes de Stiefel-Whitney''' sont des [[classe caractéristique|classes caractéristiques]] associées aux [[fibré vectoriel|fibrés vectoriels]] réels de rang fini.

Elles constituent donc un analogue réel des [[Classe de Chern|classes de Chern]] dans le cas complexe.

Elles portent les noms de [[Eduard Stiefel]] et de [[Hassler Whitney]].

Toute classe caractéristique associée aux fibrés vectoriels réels apparaît comme un [[polynôme]] en les classes de Stiefel-Whitney.

== Axiomatique ==
Les classes de [[cohomologie]] [[Homologie singulière|singulière]] à coefficients dans l'[[Anneau Z/nZ|anneau ℤ/2ℤ]] de tout [[fibré vectoriel]] <math>\xi=E\rightarrow B</math>,
<center><math>w_n(\xi)\in H^n(B;\Z/2\Z)~(n\in\N),</math></center>
sont [[Raisonnement par analyse-synthèse|déterminées de façon unique]] par les [[axiome]]s suivants :

* <math>w_0(\xi)=1</math> et <math>w_n(\xi)=0</math> pour {{math|''n''}} strictement supérieur à la dimension des fibres ;
* si <math>f:B'\rightarrow B</math> est une application continue, alors <math>~f^*(w_n(\xi))=w_n(f^*(\xi))</math>, où <math>f^*(\xi)</math> désigne le [[pull-back]] de {{math|''ξ''}} par {{math|''f''}} ;
* si l'on note <math>w(\xi)=1+w_1(\xi)+w_2(\xi)+\ldots</math>, alors <math>w(\xi\oplus \xi')=w(\xi)\smile w(\xi')</math> où <math>\oplus</math> désigne la [[somme de Whitney]] et <math>\smile</math> le [[cup-produit]] ;
* <math>w_1(\gamma^1)</math> est l'élément non nul de <math>H^1(\R P^1;\Z/2\Z)</math>, où <math>\gamma^1</math> désigne le [[fibré en droites]] {{Lien|langue=en|trad=Tautological bundle|fr=fibré tautologique|texte=tautologique}} sur [[droite projective|ℝ''P''{{1}}]].

La dernière condition assure que les classes ne sont pas triviales. En effet, si l'on retirait cette condition, on pourrait poser <math>w_i(\xi)=0</math> pour tout {{math|''i'' > 0}}.

== Conséquences ==
* Si <math>\xi</math> est isomorphe à <math>\eta</math>, alors <math>w_n(\xi) = w_n(\eta)</math>.

* Le deuxième axiome assure aussi que les classes de Stiefel-Whitney d'un fibré trivial sont nulles (sauf celle d'indice 0). En effet un fibré trivial est isomorphe au [[produit fibré]] d'un fibré sur le point et la cohomologie d'un point est triviale en dimension strictement positive.

* Le troisième axiome implique que la somme d'un fibré avec un fibré trivial ne change pas ses classes de Stiefel-Whitney. Par exemple la somme du [[fibré tangent]] de S<sup>''n''</sup> avec le [[fibré normal]] (qui est un fibré trivial) est un fibré trivial et donc ses classes de Stiefel-Whitney sont nulles pour ''n'' > 0.

<!--
==Classification des classes caractéristiques==

===Cohomologie des [[grassmannienne]]s===
-->
== Application ==
Si ''B'' est [[équivalence d'homotopie|homotopiquement équivalent]] à un [[CW-complexe]], alors un fibré vectoriel ''E'' → ''B'' est orientable si et seulement si <math>w_1(E) = 0</math>.

Au-delà, un fibré vectoriel orienté sur une [[variété différentielle|variété]] {{math|X}} admet une [[structure spinorielle]] si et seulement si <math>w_2(E) = 0</math>, et dans ce cas les différentes structures spinorielles sont en correspondance [[Bijection|bijective]] avec <math>H^1(X,{\mathbf Z}_2)</math><ref>{{en}} {{Ouvrage|auteur=[[H. Blaine Lawson]]|auteur2=[[Marie-Louise Michelsohn]]|titre=''{{Langue|en|Spin Geometry}}''|éditeur=[[Princeton University Press|PUP]]|année=1989|isbn=978-0-691-08542-5}}, théorème 1.7 p. 82</ref>.


== Notes et références ==
{{Références}}


== Bibliographie ==
{{Ouvrage|lang=en|prénom=John|nom=Milnor|lien auteur1=John Milnor|nom2=[[James Stasheff]]|titre=Characteristic Classes|collection=Annals of Mathematics Studies|numéro dans collection=76|lien éditeur=Princeton University Press|éditeur=Princeton University Press|année=1974|url=https://books.google.fr/books?id=5zQ9AFk1i4EC}}

== Article connexe ==
{{Lien|langue=en|trad=De Rham invariant|fr=Invariant de De Rham}}

{{Portail|mathématiques}}

[[Catégorie:Classe caractéristique|Stiefel]]