Voir la source de Coïncidence mathématique

{{ Voir homonymes | Coïncidence (homonymie) | Coïncidence }}
En [[mathématiques]], une '''coïncidence mathématique''' est une expression de quasi-égalité entre deux quantités, sans qu'il y ait une explication théorique directe.

== Introduction ==
Une coïncidence mathématique réside souvent dans le fait qu'un [[nombre réel]] est proche d'un nombre [[entier relatif|entier]], ou plus généralement proche d'un [[nombre rationnel]] avec un petit [[dénominateur]]. Étant donné le très grand nombre de façons de combiner les expressions mathématiques, il en existe un très grand nombre.

Bien que les coïncidences mathématiques soient parfois utiles, elles sont principalement célèbres en tant que curiosités ou [[Mathématiques récréatives|récréations mathématiques]].

== Quelques exemples ==  
=== La base 2 ===  
* La coïncidence <math>2^{10} = 1024 \approx 1000 = 10^3</math>, vraie à 2,4 % près, renvoie à l'expression rationnelle <math>\dfrac{\log10}{\log2} \approx 3,219 \approx \dfrac{10}{3}</math>, ou <math> 2 \approx 10^{3/10}</math>, vrai à 0,3 % près. Cette relation est utilisée en ingénierie, par exemple pour donner une approximation d'une puissance de 2 avec {{nombre|3|[[decibel|dB]]}} (en fait {{nombre|3.0103|dB}}), ou pour passer d'{{nombre|1|[[kilooctet]]}} à {{nombre|1|[[kibioctet]]}} ; voir [[Préfixe binaire]].
* En utilisant {{fraction|3|10}} comme approximation de {{math|log{{ind|10}}(2)}} on trouve les approximations suivantes pour les [[Logarithme|logarithmes]] d'autres valeurs :
** <math>3^4\approx 10\cdot 2^3,</math> amène à <math>\log_{10}3 = (1+3\log_{10}2)/4\approx  (1 + 9/10)/4 = 0,475</math> (à comparer à 0,4771, vrai à 0,5 % près)
** <math>7^2\approx 10^2/2,</math> amène à <math>\log_{10}7 \approx 1-\log_{10}2/2 \approx 1 - 3/20 = 0,85</math> (à comparer à 0,8451, vrai à 0,6 % près)

=== Les intervalles musicaux ===

* Les coïncidences <math>2^{11} \approx 3^7</math> et <math>\dfrac{\log3}{\log2} \approx 1,5849... \approx \dfrac{11}{7}</math> amènent à l'observation souvent utilisée en [[musique]] qui fait correspondre sept [[demi-ton]]s de la [[gamme tempérée]] à une [[quinte]] de la [[gamme naturelle]] : <math>2^{7/12}\approx 3/2</math>, vrai à 0,1 % près. La quinte est la base de la [[gamme pythagoricienne]] et de la plupart des systèmes musicaux dans le monde.
* De l'approximation <math>{(3/2)}^{12}\approx 2^7</math>, il résulte que le [[cycle des quintes]] se termine sept [[octave (musique)|octaves]] plus haut que l'origine.
*  La quasi-équivalence entre les commas pythagoricien et syntonique : {{frac|3<sup>12</sup>|2<sup>19</sup>}} (23,46 [[Cent et savart|cents]]) <math>\approx </math> ''{{frac|3<sup>4</sup>|(2<sup>4</sup>*5)}}'' (21,50 [[Cent et savart|cents]]) a des conséquences remarquables dans la construction des tempéraments, en particulier à l'époque baroque (voir [[Comma (musicologie)#Histoire]] et [[Comma pythagoricien#Utilisation]]).

== Expressions numériques ==

=== Le nombre [[pi|{{math|π}}]] ===
* La première réduite de {{math|π}} par [[fraction continue]] ; [3; 7] = 22/7 = 3,1428…, était connue d'[[Archimède]]<ref>{{Ouvrage
| langue=en
| prénom1=Petr
| nom1=Beckmann
| titre={{Lien|A History of Pi}}
| éditeur=Dorset Press
| année=1993
| année première édition=1971, St. Martin's Griffin
| pages totales=200
| isbn=978-0-88029-418-8
}}.</ref>, et elle est vraie à environ 0,04 % près.
* La troisième réduite de {{math|π}}, [3; 7, 15, 1] = {{fraction|355|113}} = 3,1415929…, trouvée par [[Zu Chongzhi]] (et redécouverte par [[Metius]]), est vraie sur six décimales, soit 85 pour un milliard ; cette extrême précision avec deux nombres inférieurs à mille vient du fait que {{math|π}} possède un quatrième terme inhabituellement élevé dans sa représentation en fraction continue : {{math|π}} = [3 ; 7, 15, 1, 292, …]<ref> La suite de la fraction continue est [3 ; 7, 15, 1, 292, 1, 1, 1, 2, 1, 3, 1, 14, 2, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 1, 84, 2, 1, 1, 15, 3, 13, ...] et avec le cinquième terme on obtient la {{fraction|103993|33102}}, voir [http://numbers.computation.free.fr/Constants/Pi/piApprox.html Collection of approximations for p]</ref>.
* <math>\pi^2=9{,}8696\dots\approx10</math>. {{Douteux|date=janvier 2019|Cette coïncidence a été utilisée dans la conception de la [[règle à calcul]], en particulier dans les graduations de la réglette centrale}} ;
* <math>\pi\approx\sqrt\frac{227}{23}</math>, à 10{{exp|–5}} près<ref>{{Lien web|lang=en|auteur=Frank Rubin|url=http://www.contestcen.com/pi.htm|titre=PI Competition|site=The Contest Center}}</ref> {{Pertinence détail<!--[[:en:Special:Diff/292800077|remove non-notable Chen prime connection]]-->|date=janvier 2019|(à noter que [[2 (nombre)|2]], [[227 (nombre)|227]] et [[23 (nombre)|23]] sont des [[Nombre premier de Chen|nombres premiers de Chen]])}} ;
* <math>\pi\approx\left(9^2+\dfrac{19^2}{22}\right)^{1/4}</math> juste sur huit décimales<ref>Dû à [[Srinivasa Ramanujan]] ({{Article|lang=en|titre=Modular equations and approximations to 𝜋|url=http://ramanujan.sirinudi.org/Volumes/published/ram06.pdf|revue={{Lien|The Quarterly Journal of Pure and Applied Mathematics|texte=Quart. J. Pure Appl. Math.}}|vol=45|date=1914|p.=350-372}}). Ramanujan affirme que cette {{Citation|curieuse approximation de {{math|π}}}} {{Citation|a été obtenue empiriquement et n'a pas de lien avec la théorie}} développée dans le reste de son article.</ref>.
{{Voir aussi|amorce=Voir aussi|Approximation de π#Approximations diverses}}

=== Le nombre [[e (nombre)|{{math|e}}]] ===
*{{Pertinence détail|date=janvier 2019|Le huitième [[nombre harmonique]], 761/280, est proche de {{math|e}}, à 0,016 % près.}}
*{{Pertinence détail|date=janvier 2019|<math>\exp(-\psi(\sqrt3/4+1/2)) \approx 2 </math> à 0,000015 % près (un pour {{nombre|10|millions}}), où {{math|ψ}} est la [[fonction digamma]] et {{math|exp}} est la [[fonction exponentielle]].}}

=== Formules avec {{math|π}} et {{math|e}} ===
*{{Pertinence détail|<math>\mathrm e^6-\pi^4-\pi^5=0{,}00001767\dots</math><ref name=PersCom>Mentionné comme {{Citation|communication privée}} par {{Harvsp|Weisstein}}.</ref>}}
* <math>\mathrm e^\pi -\pi=19{,}99909998\dots\approx20</math> ({{Refinc|date=janvier 2019|Conway, Sloane, Plouffe, 1988}}) ; cela équivaut à <math>(\pi+20)^{\mathrm i}=-0,999 999 999 2\dots-\mathrm i\cdot0{,}000\,039\dots\approx-1=\mathrm e^{\mathrm i\pi}
</math><ref name="wolfram">{{MathWorld|nom_url=AlmostInteger|titre=Almost Integer}}.</ref>.
*{{Pertinence détail|<math>\frac{\pi^9}{\mathrm e^8}=9{,}9998\dots</math><ref name=PersCom/>.}}
*{{Pertinence détail|<math>\pi^e+e^\pi\approx45{,}59985</math>.}}

=== Formule avec {{math|π}}, {{math|e}} et le [[nombre d'or]] ===
{{Pertinence section|date=janvier 2019}}
<math>\frac{5\,\phi\,\mathrm e}{7\pi}=1{,}0000097\dots</math><ref name=PersCom/>.

=== Formules avec {{math|π}}, {{math|e}} et le nombre [[163 (nombre)|163]] ===
*{{refinc|date=janvier 2019|<math>{163}\left(\pi-\mathrm e\right)=68{,}999664\dots</math><ref name=PersCom/>.}}
*{{refinc|date=janvier 2019|<math>\frac{163}{\ln163}=31{,}9999987\dots</math><ref>Mentionné par {{Harvsp|Weisstein}} comme {{Citation|posté sur sci.math ; origine inconnue}}.</ref>.}}
*[[Constante de Ramanujan]] : <math>\mathrm e^{\pi\sqrt{163}}\approx</math> {{formatnum:262537412640768744}} à 10{{exp|–12}} près<ref>{{Ouvrage|langue=en|auteur1=Keith J. Devlin|titre=Mathematics|sous-titre=The New Golden Age|éditeur=[[Penguin Books]]|année=1999|pages totales=320|page=83|isbn=978-0-14-193605-5|lire en ligne={{Google Livres|hSKtrU2smE8C|page autre=PT83}}}}.</ref>.

Note : <math>\mathrm e^{\pi\sqrt n}</math> est proche d'un entier pour de nombreuses valeurs de {{mvar|n}}, en particulier pour {{math|1=''n'' = 163}}, ce qui est expliqué par la [[théorie algébrique des nombres]]. Voir « [[Nombre de Heegner]] » et « [[Nombre presque entier]] ».

=== Formule avec [[Logarithme naturel#Articles connexes|{{math|ln(2)}}]] ===
{{Pertinence section|date=janvier 2019}}
<math>\ln2=0{,}693147\dots\approx0{,}693144\dots=(2/5)^{(2/5)}</math>.

== Coïncidences sur les unités ==
*  <math>\pi</math> [[seconde (temps)|secondes]] est un nanosiècle (c'est-à-dire <math>10^{-7}</math> [[année (calendrier)|années]]) ; vrai à 0,5 % près.
* Un [[atto]][[parsec]] par microquinzaine est approximativement 1 [[Pouce (unité)|pouce]] par [[seconde (temps)|seconde]] (en réalité {{nombre|1.0043|pouces}} par seconde).
* Un [[furlong]] par quinzaine (14 jours) est approximativement égal à {{nombre|1|centimètre}} par minute.
* Un attoparsec cubique (un cube d'un attoparsec de côté) est à 1 % près égal à {{nombre|1|[[once liquide]]}} américaine.
* Un [[mille international]] (''mile'') est environ <math>\phi</math>&nbsp;kilomètres (vrai à 0,5 % près), où <math>\phi={1+\sqrt 5\over 2}</math> est le [[nombre d'or]]. Puisque <math>\phi</math> est la limite du ratio de deux termes consécutifs de la [[suite de Fibonacci]], cela donne une suite d'approximations de correspondances entre miles et kilomètres : <math>F_n</math> mi = <math>F_{n+1}</math>&nbsp;km, par exemple {{nombre|5|mi}} = {{nombre|8|km}}, {{nombre|8|mi}} = {{nombre|13|km}}.
* Une autre bonne approximation est : {{nombre|1|mile}} = {{nombre|''ln''(5)|km}}. En effet, {{nombre|1|mile}} = {{nombre|1.609344|km}} et ''ln''(5) = 1,6094379124341…
* ''N<sub>A</sub>'' ≈ 2<sup>79</sup>, où ''N<sub>A</sub>'' est le [[nombre d'Avogadro]] ; vrai à environ 0,4 % près. Cela signifie qu'{{nombre|1|yobi[[octet]]}} est approximativement un peu plus du double d'une [[mole (unité)|mole]] d'octets. Ceci signifie également qu'{{nombre|1|mole}} de matière (c'est-à-dire {{nombre|12|g}} de [[carbone]]), ou {{nombre|25|l}} de gaz à température et pression normales, ne peuvent pas être divisés en deux plus de {{nombre|79|fois}}.
* La [[vitesse de la lumière]] dans le vide est d'environ un [[Pied (unité)|pied]] par nano[[seconde (temps)|seconde]] (vrai à 2 % près), ou encore {{nombre|3|e=8|m/s}} (vrai à 0,07 % près), ou enfin {{nombre|1|milliard}} de km/h (vrai à 8 % près)

== Autres curiosités numériques ==
* <math>10! = 6! \cdot 7!</math> ou <math>1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7 = 7 \cdot 8 \cdot 9 \cdot 10</math>.
* <math>\sin(666^\circ) = \cos(6\cdot6\cdot6^\circ) = - \phi/2</math>, où <math>\phi</math> est le [[nombre d'or]] (une égalité étonnante avec un angle exprimé en degrés). Voir [[Nombre de la bête]].
*{{Refnec<!--pas pour la véracité, mais pour la notoriété-->|date=janvier 2019|<math>5^2=25</math> et <math>3^3=27</math> sont les seuls carrés et cubes séparés de {{nombre|2|unités}}.}}
* <math>4^2 = 2^4</math> est l'unique solution entière de <math>a^b = b^a, a\neq b</math> (voir [[fonction W de Lambert]] pour une preuve formelle).
*<math>3^2 + 4^2 = 5^2</math> et  <math>3^3+ 4^3+5^3=6^3,</math> mais cela ne se généralise pas à d’autres exposants.
* 31, 331, 3331{{etc.}} jusqu'à 33333331 sont tous des [[nombre premier|nombres premiers]], mais pas 333333331.
* Le [[nombre de Fibonacci]] ''F''<sub>296182</sub> est (probablement) un [[nombre semi-premier]], puisque ''F''<sub>296182</sub> = ''F''<sub>148091</sub> × ''L''<sub>148091</sub> où ''F''<sub>148091</sub> ({{nombre|30949|chiffres}}) et le [[nombre de Lucas]] ''L''<sub>148091</sub> ({{nombre|30950|chiffres}}) sont deux [[Nombre premier probable|nombres premiers probables]]<ref>{{en}} David Broadhurst, [http://primes.utm.edu/curios/page.php?number_id=3994 {{lang|en|''Prime Curios!: 10660...49391 (61899-digits)''}}] sur les {{lang|en|''[[Prime Pages]]''}}.</ref>.
* Dans le [[paradoxe des anniversaires]], le nombre <math>\lambda=\dfrac1{365}\binom{23}2</math> intervient ; il semble {{citation|amusant}} à certains auteurs<ref>{{en}} Richard Arratia, Larry Goldstein et Louis Gordon, « {{lang|en|Poisson approximation and the Chen-Stein method}} », ''{{lang|en|[[Statistical Science]]}}'', {{vol.|4}}, {{n°|4}}, 1990, {{p.|403-434}}.</ref> que ses quatre premiers chiffres soient ceux de <math>\ln2</math>.

== Coïncidences décimales ==
*{{Refnec<!--pas pour la véracité bien sûr, mais pour la notoriété-->|date=janvier 2019|1=2{{exp|3 + 2}} = 32.}}
* <math>2^5 \cdot 9^2 = 2592</math>.
* <math>1! + 4! + 5! = 145</math>.
* <math>\dfrac {16} {64} = \dfrac {1\!\!\!\not6} {\not6  4} = \dfrac14</math>, &nbsp;&nbsp;&nbsp;<math>\dfrac {26} {65} = \dfrac {2\!\!\!\not6} {\not6  5} = \dfrac25</math>, &nbsp;&nbsp;&nbsp;<math>\dfrac {19} {95} = \dfrac {1\!\!\!\not9} {\not9  5} = \dfrac15</math> 
* <math>(4 + 9 + 1 + 3)^3 = 4913</math>   et   <math>(1 + 9 + 6 + 8 + 3)^3=19683</math> et <math>(5+8+3+2)^3=5832</math>
* <math>1^3 + 5^3 + 3^3 = 153</math> ; <math>3^3 + 7^3 + 0^3 = 370</math> ; <math>3^3 + 7^3 +1^3 = 371</math> ; <math>4^3 + 0^3 +7^3 = 407</math>
* <math>3^2 + 7^2 - 3 \cdot 7 = (3^3 + 7^3)/(3 + 7) = 37</math>.
* <math>(3 + 4)^3 = 343 </math> (important dans le symbolisme numérique de la [[cathédrale Saint-Étienne de Vienne]])
* <math>3^3 + 4^4 + 3^3 + 5^5 = 3435</math>.
* <math>35 - 3^2 - 5^2 = 75 - 7^2 - 5^2</math>.
* <math>588^2+2353^2 = 5882353 </math> et <math>1/17 = 0,058823529411764...</math> qui, arrondi à huit chiffres, fait 0,05882353<ref>Mentionné par [[Gilbert Labelle]] en 1980.</ref>
* Un nombre (parmi d'autres : {{OEIS|id=A032799}}) qui égale la somme de ses chiffres aux puissances consécutives : <math>2\,646\,798 = 2^1+6^2+4^3+6^4+7^5+9^6+8^7.</math>

== Notes et références ==
{{Traduction/Référence|en|Mathematical coincidence|200342015|type=note}}
{{Références}}

==Voir aussi==
===Articles connexes===
* Pour des coïncidences en [[physique]], voir le [[principe anthropique]].
* [[Nombre presque entier]]
* [[Nombre narcissique]]
* [[Loi forte des petits nombres]]

===Liens externes===
* {{en}} [http://www.archimedes-lab.org/ {{lang|en|''Archimedes' Laboratory''}}]
* {{en}} [http://www.futilitycloset.com/category/science-math/ Des exemples de coïncidences mathématiques] dans la section ''Science & Maths'' du site futilitycloset.com
* {{en}} [http://xkcd.com/217/ {{lang|en|''e to the pi Minus pi''}}], Bande dessinée mathématique

{{portail|mathématiques}}

[[Catégorie:Mathématiques récréatives]]