Voir la source de Comatrice

En [[algèbre linéaire]], la '''comatrice''' d'une [[matrice carrée]] {{mvar|A}} est une matrice carrée de même [[Matrice (mathématiques)#Définitions|taille]], dont les coefficients, appelés les '''cofacteurs''' de {{mvar|A}}, interviennent dans le développement du [[déterminant (mathématiques)|déterminant]] de {{mvar|A}} suivant une ligne ou une colonne. Si {{mvar|A}} est une [[matrice inversible]], sa comatrice intervient également dans une expression de son inverse.

Dans cette page, {{mvar|A}} désigne une matrice carrée d'ordre {{mvar|n}} à coefficients dans un [[anneau commutatif]] {{mvar|K}}.

== Définitions ==
Le cofacteur d'indice {{math|''i'', ''j''}} de {{mvar|A}} est :
:<math>\left(\operatorname{com}A\right)_{i,j}\overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{=}\det\left(A'_{i,j}\right)=(-1)^{i+j}\det\left(A_{i,j}\right)</math>, où
*{{math|''A{{'}}''{{ind|''i'',''j''}}}} est la matrice carrée de taille {{mvar|n}} déduite de {{mvar|A}} en remplaçant la {{mvar|j}}-ème colonne par une colonne constituée uniquement de zéros, sauf un {{math|1}} sur la {{mvar|i}}-ème ligne ;
*{{math|''A''{{ind|''i'',''j''}}}} est la sous-matrice carrée de taille {{math|''n'' – 1}} déduite de {{mvar|A}} en supprimant la {{mvar|i}}-ème ligne et la {{mvar|j}}-ème colonne (son déterminant fait donc partie des [[Mineur (algèbre linéaire)|mineurs]] de {{mvar|A}}).

La comatrice de {{mvar|A}} est la matrice de ses cofacteurs.

== Formules de Laplace ==
[[Image:Les merveilles de l'industrie, 1873 "Pierre-Simon Laplace" (4840056407).jpg|right|thumb|[[Pierre-Simon de Laplace]] ([[1749 en science|1749]]-[[1827 en science|1827]]).]]
On peut calculer le déterminant de {{mvar|A}} en fonction des coefficients d'une seule colonne et des cofacteurs correspondants. Cette formule, dite formule de Laplace, permet ainsi de ramener le calcul d'un déterminant d'ordre {{mvar|n}} à celui de {{mvar|n}} déterminants d'ordre {{math|''n'' – 1}}.

Formules de développement d'un déterminant d'ordre {{mvar|n}}<ref name=Wikiversité/> :
*par rapport à la colonne {{mvar|j}} :
*:<math>\det A=\sum_{i=1}^na_{i;j}(\operatorname{com}A)_{i,j}</math> ;
*par rapport à la ligne {{mvar|i}} :
*:<math>\det A=\sum_{j=1}^na_{i;j}(\operatorname{com}A)_{i,j}</math>.

== Généralisation ==
La formule suivante<ref name=Wikiversité>Ces formules incontournables sont démontrées dans tous les cours d'algèbre linéaire, comme :
*{{Ouvrage|titre=Mathématiques L1|sous-titre=cours complet avec 1000 tests et exercices corrigés|auteur=J.-P. Marco|auteur2=L. Lazzarini|éditeur=[[Pearson (maison d'édition)|Pearson]]|année=2012|page=541 et 546|url={{Google Livres|x9Ml5YRIeEgC|page=541}}|chap=Déterminants|numéro chapitre=20}} ;
*{{Ouvrage|titre=Algèbre linéaire et bilinéaire|auteur=F. Cottet-Emard|éditeur=[[De Boeck Supérieur]]|année=2005|page=36 et 42|url={{Google Livres|IGNzrIkcfPYC|page=36}}|chap=Déterminants|numéro chapitre=2}} ;
*{{Note autre projet|Wikiversité|Matrice/Déterminant#Conséquences|le chapitre « Déterminant »|début=}}</ref> se déduit des formules de Laplace et les inclut :
:<math>A\;{}^{\operatorname t}\!{\operatorname{com}A}=\left({}^{\operatorname t}\!{\operatorname{com}A}\right)\;A =\left(\det A\right)\;\mathrm I_n</math>,
où {{math|I{{ind|''n''}}}} désigne la [[matrice identité]] de même taille {{mvar|n}} que {{mvar|A}}.

La [[matrice transposée]] de la comatrice est appelée '''matrice complémentaire'''<ref>Dans la littérature en langue anglaise, la matrice complémentaire (transposée de la comatrice) est parfois appelée  « matrice adjointe », ce qui crée un risque de confusion avec un autre sens de [[matrice adjointe]], désignant la transposée de la matrice conjuguée.</ref> de {{mvar|A}}. Notamment si {{math|det ''A''}} est inversible dans {{mvar|K}}, alors {{mvar|A}} est inversible dans {{math|M{{ind|''n''}}(''K'')}} et son inverse est un multiple de la matrice complémentaire, ce qui veut dire qu'on a obtenu une formule pour l'inverse, ne nécessitant « que » des calculs de déterminants :
:<math>A^{-1}=\frac1{\det A} \,{}^{\operatorname t}\!{\operatorname{com}A}</math>.

Cette formule n'a guère qu'un intérêt théorique car en pratique, elle est trop lourde pour calculer explicitement {{math|''A''{{-1}}}} dès que {{math|''n'' ≥ 4}} et la méthode plus élémentaire à base d'opérations élémentaires sur les lignes (inversion par [[pivot de Gauss]]) est plus efficace, aussi bien pour l'humain que pour la machine.

== Propriétés de la comatrice ==
*Compatibilité avec la [[Matrice transposée|transposition]] : {{math|com({{exp|t}}''A'') {{=}} {{exp|t}}(com ''A'')}}.
*Compatibilité avec le [[Produit matriciel#Produit matriciel ordinaire|produit]]<ref name="LQ">{{Ouvrage|auteur=Henri Lombardi|auteur2=Claude Quitté|titre=Algèbre commutative — Méthodes constructives — Modules projectifs de type fini|page=96-97|éditeur=Calvage & Mounet|année=2016|année première édition=2011|arxiv=1611.02942|présentation en ligne=https://webusers.imj-prg.fr/~rached.mneimne/CM/fiches-representants/Lombardi-Quitte-2010-03-press.pdf}}<!--http://hlombardi.free.fr/publis/ComplementsPTF-CM.pdf ; {{Ouvrage|lang=en|titre=Commutative algebra: Constructive methods. Finite projective modules|auteur=Henri Lombardi|auteur2=Claude Quitté|arxiv=1605.04832|page=?|year=2016|année première édition=2011}}-->.</ref> : {{math|com I{{ind|''n''}} {{=}} I{{ind|''n''}}}} et pour toutes matrices carrées {{mvar|A}} et {{mvar|B}} d'ordre {{mvar|n}}, {{math|com(''AB'') {{=}} (com ''A'')(com ''B'')}}.
*[[Rang (mathématiques)|Rang]] (si {{mvar|K}} est un [[corps commutatif]]) :
**si {{mvar|A}} est de rang {{mvar|n}} ({{c.-à-d.}} {{mvar|A}} inversible), {{math|com(''A'')}} aussi (jointe à la précédente, cette propriété assure que l'application « comatrice » se restreint en un [[Morphisme de groupes#Automorphismes de groupe|automorphisme]] du [[groupe linéaire]] {{math|GL{{ind|''n''}}(''K'')}}) ;
**si {{mvar|A}} est de rang {{math|''n'' – 1}}, avec {{math|''n'' ≥ 2}}, {{math|com(''A'')}} est de rang 1 ;
**si {{mvar|A}} est de rang inférieur ou égal à {{math|''n'' – 2}}, {{math|com(''A'') {{=}} 0}}.
*Déterminant : si {{math|''n'' ≥ 2}}, {{math|det(com ''A'') {{=}} (det ''A''){{exp|''n''–1}}}}.
*Comatrice de la comatrice<ref name=LQ/> : si {{math|''n'' ≥ 2}}, {{math|com(com ''A'') {{=}} (det ''A''){{exp|''n'' – 2}}&nbsp;''A''}}<!--avec, pour n=2 et det A=0, la convention 0^0=1-->.
*Si {{math|''P''(''X'') {{=}} det(''A'' – ''X'' I{{ind|''n''}})}} est le  [[polynôme caractéristique]] de {{mvar|A}} et si {{mvar|Q}} est le polynôme défini par {{math|''Q''(''X'') {{=}} (''P''(0) – ''P''(''X''))/''X''}}, alors<ref name=LQ/> : {{math|{{exp|t}}(com ''A'') {{=}} ''Q''(''A'')}}.

{{Démonstration|titre=Démonstrations|contenu=
*Les égalités {{math|com({{exp|t}}''A'') {{=}} {{exp|t}}(com ''A'')}} et {{math|com(I{{ind|''n''}}) {{=}} I{{ind|''n''}}}} sont immédiates.
*Produit : si {{mvar|A}} et {{mvar|B}} sont inversibles, la formule résulte des propriétés multiplicatives de la transposition, de l'inversion (chacune des deux inversant l'ordre) et du déterminant. Or l'équation {{math|com(''AB'') {{=}} (com ''A'')(com ''B'')}} est [[équation polynomiale|polynomiale]], à coefficients [[entier relatif|entiers]], en les éléments des deux matrices {{mvar|A}} et {{mvar|B}}. En considérant ces {{math|2''n''{{2}}}} éléments comme les indéterminées d'un anneau de polynômes à coefficients dans ℤ, et en appliquant ce qui précède au [[corps des fractions]] ([[Fraction rationnelle|rationnelles]] à coefficients dans [[Nombre rationnel|ℚ]]) associé (dans lequel {{mvar|A}} et {{mvar|B}} sont inversibles), on obtient donc une égalité « absolue ». Lorsqu'on remplace ensuite ces indéterminées par les éléments d'un anneau commutatif quelconque, l'égalité est maintenue.
*Rang :
**Si {{mvar|A}} est inversible alors {{math|com(''A'') {{=}} (det ''A'')&nbsp;{{exp|t}}''A''{{-1}}}} a pour inverse {{math|(det ''A''){{-1}}&nbsp;{{exp|t}}''A''}}.
**Si {{mvar|A}} est de rang {{math|''n'' – 1}} et en supposant, par exemple, que ses {{math|''n'' – 1}} premières colonnes sont [[Indépendance linéaire|linéairement indépendantes]] et que la dernière en est une [[combinaison linéaire]], avec comme coefficients λ{{ind|1}}, … , λ{{ind|''n''–1}}, alors, dans {{math|com(''A'')}}, la dernière colonne est non nulle et la ''k''-ième, pour tout {{math|''k'' < ''n''}}, est le produit de la dernière par {{math|–λ{{ind|''k''}}}}.
**Si {{mvar|A}} est de rang inférieur à {{math|''n'' – 2}} alors, dans {{mvar|A}}, {{math|''n'' – 1}} colonnes quelconques sont liées donc tous les cofacteurs sont nuls.
*Déterminant : si {{math|''n'' ≥ 2}} et {{mvar|A}} est inversible alors {{math|det(com ''A'') {{=}} det[(det ''A'')&nbsp;{{exp|t}}''A''{{-1}}] {{=}} (det ''A''){{exp|''n''}}&nbsp;det({{exp|t}}''A''{{-1}}) {{=}} (det ''A''){{exp|''n''–1}}}}. Pour {{mvar|A}} non inversible, on peut faire le même « raisonnement générique » que pour le produit ou — si l'on se contente du cas où les matrices sont à coefficients dans un corps — remarquer plus simplement que les deux membres sont nuls d'après les propriétés du rang. Pour des matrices à coefficients réels ou complexes, on peut aussi raisonner par [[Partie dense|densité]].
*Comatrice de la comatrice : si {{math|''n'' ≥ 2}}, {{math|(det ''A'')&nbsp;com(com ''A'') {{=}} ''A''&nbsp;{{exp|t}}com ''A''&nbsp;com(com ''A'')&nbsp; {{=}} det(com ''A'')&nbsp;''A'' {{=}} (det ''A''){{exp|''n''–1}}&nbsp;''A''}} donc si {{mvar|A}} est inversible, {{math|com(com ''A'') {{=}} (det ''A''){{exp|''n''–2}}&nbsp;''A''}}. Le cas général se ramène au cas inversible comme ci-dessus.
*Polynôme caractéristique : d'après le [[théorème de Cayley-Hamilton]], {{math|''P''(''A'') {{=}} 0}} donc {{math|''A&nbsp;Q''(''A'') {{=}} ''P''(0)&nbsp;I{{ind|''n''}} {{=}} (det ''A'')&nbsp;I{{ind|''n''}} {{=}} ''A''&nbsp;{{exp|t}}(com ''A'')}}. Si {{mvar|A}} est inversible, on en déduit {{math|''Q''(''A'') {{=}} {{exp|t}}(com ''A'')}}. Le cas général se ramène au cas inversible comme ci-dessus.
}}

{{démonstration|titre=Quelques propriétés plus anecdotiques|contenu=<!--ajout d'IP du 10/5/06, mis en boîte le 2/2/12-->
Si {{math|''n'' ≥ 3}}, les matrices <math>A\in M_n(\R)</math> telles que {{math|''A'' {{=}} com ''A''}} sont la matrice nulle et les matrices spéciales orthogonales.
Si {{math|''n'' {{=}} 2}}, ce sont les matrices multiples des matrices spéciales orthogonales.}}

== Exemples ==

=== Matrices de taille (1,1) ===
La comatrice de toute matrice de taille (1,1) est la matrice identité {{math|I{{ind|1}} {{=}} (1)}}.

=== Matrices de taille (2,2) ===
:<math>\operatorname{com}\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} d & -c\\ -b & a \end{pmatrix}</math>.

{{Démonstration|
On calcule les cofacteurs:

<math>c_{1,1}=(-1)^{1+1}\begin{vmatrix} \begin {array}{|c|} \hline \color{Red}{\cancel a} \\ \hline \end{array}  & \color{Red}{\cancel b} \\ \color{Red}{\cancel c} & d\end{vmatrix} = d</math>

<math>c_{1,2}=(-1)^{1+2}\begin{vmatrix} \color{Red}{\cancel a}  &  \begin {array}{|c|} \hline \color{Red}{\cancel b} \\ \hline \end{array}  \\  c & \color{Red}{\cancel d}\end{vmatrix} = -c </math>

<math>c_{2,1}=(-1)^{2+1}\begin{vmatrix} \color{Red}{\cancel a}  & b \\ \begin {array}{|c|} \hline \color{Red}{\cancel c} \\ \hline \end{array}  & \color{Red}{\cancel d}\end{vmatrix} = -b </math>

<math>c_{2,2}=(-1)^{2+2}\begin{vmatrix}  a  & \color{Red}{\cancel b} \\ \color{Red}{\cancel c} & \begin {array}{|c|} \hline \color{Red}{\cancel d} \\ \hline \end{array} \end{vmatrix} = a </math>

Donc
: <math>\operatorname{com}\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} c_{1,1} & c_{1,2}\\ c_{2,1} & c_{2,2} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} d & -c\\ -b & a \end{pmatrix}</math>.

}}

=== Matrices de taille (3,3) ===
:<math>\operatorname{com}\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & & a_{13}\\
                    a_{21} & a_{22} & & a_{23}\\
                    a_{31} & a_{32} & & a_{33}\\
                    \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 
+\begin{vmatrix} a_{22} & a_{23} \\  a_{32} & a_{33}\end{vmatrix} & -\begin{vmatrix} a_{21} & a_{23} \\  a_{31} & a_{33}\end{vmatrix} & +\begin{vmatrix} a_{21} & a_{22} \\  a_{31} & a_{32}\end{vmatrix}\\
-\begin{vmatrix} a_{12} & a_{13} \\  a_{32} & a_{33}\end{vmatrix} & +\begin{vmatrix} a_{11} & a_{13} \\  a_{31} & a_{33}\end{vmatrix} & -\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\  a_{31} & a_{32}\end{vmatrix}\\
+\begin{vmatrix} a_{12} & a_{13} \\  a_{22} & a_{23}\end{vmatrix} & -\begin{vmatrix} a_{11} & a_{13} \\  a_{21} & a_{23}\end{vmatrix} & +\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\  a_{21} & a_{22}\end{vmatrix}
\end{pmatrix}</math>.

On rappelle que <math>\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} =ad-bc</math> (voir [[Déterminant (mathématiques)|déterminant]]).

== Variations de la fonction déterminant ==
On suppose ici que {{mvar|K}} est le corps des réels, et l'on s'intéresse à l'application déterminant, vue comme fonction des coefficients de la matrice :
:<math>\R^{n^2}\simeq\mathrm M_n(\R)\to\R,\;A\mapsto\det A</math>.
La [[Formule de Leibniz#Déterminant d'une matrice carrée|formule de Leibniz]] montre que c'est une [[fonction polynomiale]] ([[polynôme homogène|homogène]]) donc [[Classe de régularité|indéfiniment différentiable]].

On peut retrouver et préciser cette régularité grâce aux formules de Laplace {{supra|Formules de Laplace}} : en un point {{mvar|A}} quelconque de M{{ind|''n''}}(ℝ), la fonction {{math|det}} est [[Fonction affine|affine]] par rapport à la variable d'indice {{math|''i'', ''j''}}, et sa [[dérivée partielle]] est le cofacteur de {{mvar|A}} de même indice :

{{retrait|<math>\frac{\partial\det}{\partial A_{i, j}}(A)=(\operatorname{com}A)_{i, j}.</math>}}

On en déduit, toujours au point {{mvar|A}}, le [[gradient]] de {{math|det}} (si l'on munit M{{ind|''n''}}(ℝ) de [[Norme de Frobenius|son produit scalaire canonique]]) : 
{{retrait|<math>\nabla\det(A)=\operatorname{com}A</math>}}

ou encore, sa [[différentielle]] donc son [[développement limité]] à l'ordre 1 :
{{retrait|<math>\det(A+ H)=\det A +{\rm tr}\left(\left({}^t\!\operatorname{com}A\right)H\right)+o\left(\left\|H\right\|\right)</math>.}}

Notamment pour le cas où {{mvar|A}} est la matrice identité :
{{retrait|<math>\nabla \det (\mathrm I_n) =\mathrm I_n\text{ et }\det (\mathrm I_n+H)=1 + {\rm tr } (H)+o(\|H\|)</math>.}}

== Comatrice et produit vectoriel ==
Si {{mvar|A}} est une matrice réelle d'ordre 3, elle agit sur les vecteurs de l'espace euclidien orienté ℝ{{3}}. La comatrice de {{mvar|A}} décrit alors l'interaction de {{mvar|A}} avec le [[produit vectoriel]] :
:<math>Au\wedge Av=\operatorname{com}A\, (u \wedge v)</math>.
{{Démonstration|contenu=
Notons <math>\cdot</math> le produit scalaire. Pour tout vecteur <math>x</math>  de ℝ{{3}},
:<math>(\det A)u\wedge v\cdot x=\det A[u,v,x]=[Au,Av,Ax]=(Au\wedge Av)\cdot Ax={}^{\operatorname t}\!A(Au \wedge Av)\cdot x</math>.
Par conséquent,
:<math>{}^{\operatorname t}\!A(Au \wedge Av)=(\det A)u\wedge v={}^{\operatorname t}\!A\operatorname{com} A\,(u\wedge v)</math>.
On en déduit l'égalité annoncée si {{mvar|A}} est inversible.

Le résultat s'étend aux matrices non inversibles par densité.}}

== Notes et références ==
{{Références}}

{{Palette|Matrices}}

{{Portail|algèbre}}

[[Catégorie:Déterminant]]
[[Catégorie:Matrice]]