Voir la source de Commutateur (opérateur)

{{Voir homonymes|Commutateur}}
Un '''commutateur''' est un opérateur introduit en [[mathématiques]] et étendu à la [[mécanique quantique]].

== En mathématiques ==
En [[mathématiques]], le '''commutateur''' donne une idée de la façon dont une [[loi de composition|loi]] n'est pas [[commutativité|commutative]]. Il existe plusieurs définitions utilisées en [[théorie des groupes]] et en [[théorie des anneaux]].

=== En théorie des groupes ===
{{loupe|Commutateur (théorie des groupes)}}
Soit <math>(G, \star)</math> un [[groupe (mathématiques)|groupe]] et soient <math>g</math> et <math>h</math> deux éléments du groupe. On appelle commutateur de <math>g</math> et <math>h</math> l'élément du groupe défini par :
<center><math>[g,h]=g\star h \star g^{-1}\star h^{-1}</math>.</center>

''Remarque'' : Un commutateur représente en fait le défaut de « permutabilité » de deux éléments du groupe : <center><math>g\star h=[g,h]\star h\star g</math>.</center>

Le commutateur est égal à l'élément neutre du groupe si et seulement si <math>g</math> et <math>h</math> sont [[commutativité|permutables]] (c'est-à-dire si  <math>g\star h=h\star g</math>).

D'autre part, le [[sous-groupe]] engendré par l'ensemble des commutateurs est appelé le [[groupe dérivé]] noté <math>D(G)</math> ou le sous-groupe des commutateurs de <math>G</math>.

Si <math>D(G)</math> est réduit à l'élément neutre alors le groupe <math>G</math> est un [[groupe abélien]].

Remarquons que nous devons considérer le sous-groupe engendré par les commutateurs parce qu'en général l'ensemble des commutateurs n'est pas fermé pour cette loi. Les commutateurs sont utilisés pour définir les [[groupe nilpotent|groupes nilpotents]].

''Note :'' Certains auteurs préfèrent définir le commutateur de <math>g</math> et <math>h</math> par
<center><math>[g, h] = g^{-1} \star h^{-1}\star g\star h</math>.</center>

==== Identités ====

Dans la suite, la loi <math>\star</math> est notée multiplicativement et l'expression <math>a^x</math> désigne le conjugué (par <math>x</math>) de l'élément <math>a</math> c'est-à-dire <math>x a x^{-1}</math>.

* <math>[y,x] = [x,y]^{-1}</math> 
* <math>[[x,y^{-1}],z] ^{y} [[y,z^{-1}],x] ^{z} [[z,x^{-1}],y]^{x} = 1</math>
* <math>[xy,z] = [y,z]^{x} [x,z]</math>
* <math>[x,yz] = [x,y] [x,z]^{y}</math>

La deuxième identité est aussi connue sous le nom d{{'}}''identité de Hall-Witt''. Il s'agit d'une identité de la théorie des groupes analogue à l'[[identité de Jacobi]] de la théorie des commutateurs dans les anneaux (voir la section suivante).

=== En théorie des anneaux ===
Le '''commutateur''' de deux éléments <math>a</math> et <math>b</math> d'un [[anneau unitaire|anneau]] est défini par
<center><math>[a, b]=ab-ba</math>.</center>

Il est nul si et seulement si <math>a</math> et <math>b</math> sont permutables.

En utilisant le commutateur comme un [[crochet de Lie]], toute [[algèbre associative sur un corps]] peut être considérée comme une [[algèbre de Lie]]. Le commutateur de deux opérateurs sur un [[espace de Hilbert]] est un concept important en [[mécanique quantique]] puisqu'il mesure à quel point deux descriptions d'[[observable]]s par des opérateurs peuvent être mesurés simultanément. Le  [[principe d'incertitude]] est finalement un [[théorème]] sur les commutateurs.

De même, l''''anticommutateur''' est défini comme <math>ab+ba</math>, souvent écrit noté <math>\{a,b\}</math>. Ceci ne doit pas être confondu avec le [[crochet de Poisson]].

==== Identités ====
Un commutateur vérifie les propriétés suivantes :

''Relation d'algèbre de Lie :''
*<math>[a,b] = - [b,a]</math>
*<math>[a,b+c]=[a,b]+[a,c]</math>
*<math>[a,a] = 0 </math>
*<math>[a,[b,c]] + [b,[c,a]] + [c,[a,b]] = 0 </math>

''Relations supplémentaires :''
*<math>\left[ab,c\right] = abc -cab= (abc -acb) + (acb-cab) =a\left[b,c\right]+\left[a,c\right]b</math>{{Retrait|dont on déduit <math>[a^n,b]=\sum_{0\le k<n}a^k\left[a,b\right]a^{n-1-k}</math> (par récurrence)}}
*<math>[a,bc] = [ab,c] + [ca,b]</math>
*<math>[abc,d] = ab[c,d] + a[b,d]c + [a,d]bc</math>

Si <math>a</math> est un élément donné d'un anneau <math>A</math>, la première des trois relations supplémentaires peut aussi être interprétée comme la [[Règle du produit|règle de dérivation d'un produit]] d'une application <math>\operatorname{ad}(a):=[a,\cdot]:A\to A</math>. En d'autres termes, l'application <math>\operatorname{ad}(a)</math> définit une [[Dérivation (algèbre)|dérivation]] sur l'anneau <math>A</math>.

Si <math>a</math> est [[nilpotent]], cette dérivation <math>\operatorname{ad}(a)</math> l'est aussi. Plus précisément : si <math>a^n=0</math> alors <math>\operatorname{ad}(a)^n=0</math><ref>{{Ouvrage|titre=131 développements pour les oraux - [[Agrégation de mathématiques|Agrégation externe mathématiques/informatique]]|auteur=Pierre Montagnon|éditeur=[[Dunod]]|date=2020|url={{Google Livres|Z7fyDwAAQBAJ|page=213}}|page=212-213}}, Développement 39 ([[Théorème d'Engel]]), question a) (ii).</ref>.

==== Algèbres graduées ====
Dans une [[algèbre graduée]], on remplace le commutateur usuel par le « commutateur gradué », défini sur les composantes homogènes par{{Retrait|<math>[\omega,\eta]_{gr}:=\omega\eta-(-1)^{\deg\omega\deg\eta}\eta\omega.</math>}}

== En mécanique quantique ==
En [[mécanique quantique]], le commutateur de deux opérateurs <math>\hat{A}</math> et <math>\hat{B}</math> est : <math>[\hat{A},\hat{B}]=\hat{A}\hat{B}-\hat{B}\hat{A}</math>. Il est donc nul lorsque les opérateurs commutent.

Appliqué à deux [[Observable|observables]], un commutateur indique s'il est possible de mesurer les deux grandeurs simultanément.

Le commutateur intervient dans l'expression des [[inégalités de Heisenberg]] et du [[théorème d'Ehrenfest]].{{Exemple|
L'[[opérateur de position]] <math>\hat{X}</math> (position sur l'axe <math>Ox</math>) et l'[[impulsion (physique)|opérateur d'impulsion]] <math>\hat{P_{x}}</math> (suivant l'axe <math>Ox</math>) ont pour commutateur : <math>[\hat{X},\hat{P_{x}}]=i\hbar</math>. Ici <math>\hbar</math> est la [[constante de Planck#Constante de Planck réduite ou de Dirac|constante de Planck réduite]].

Le commutateur n'est pas nul, donc les deux opérateurs ne commutent pas. Alors selon le [[principe d'incertitude]] de Heisenberg, les deux grandeurs que sont la position et la vitesse  ne sont pas mesurables simultanément.

{{Démonstration|contenu=
On définit en [[représentation X]] les deux opérateurs :
*<math>\hat X=x</math>, opérateur de position ;
*<math>\hat{P_x}=-i\hbar \tfrac{\partial}{\partial x}</math>.

Alors le commutateur appliqué à une [[fonction d'onde]] <math>\Psi (x)</math> donne:

<center><math>[\hat X,\hat{P_x}]\psi(x) = \left[x,-i\hbar\frac{\partial}{\partial x}\right]\psi (x) = -i\hbar
x\left(\frac{\partial \psi (x)}{\partial x}\right)+i\hbar \frac{\partial}{\partial x}\bigl(x \psi (x)\bigr)</math><math> =
-i\hbar x \frac{\partial \psi (x)}{\partial x} + i\hbar\psi (x) + i\hbar x\frac{\partial \psi (x)}{\partial x} = i\hbar \psi (x)</math></center>

On a donc finalement <math>\left[x,-i\hbar \tfrac{\partial}{\partial x}\right]= i\hbar </math><ref>Donné sous la forme <math>\left[\frac{\hbar}i\tfrac{\partial}{\partial x},x\right]=\frac{\hbar}i</math> dans {{Ouvrage|langue=en|auteur1=Stephen Gasiorowicz|titre=Quantum Physics|éditeur=[[John Wiley & Sons|Wiley]]|année=2003|numéro d'édition=3|pages totales=336|passage=51|isbn=0-471-42945-7|lire en ligne=http://fmipa.umri.ac.id/wp-content/uploads/2016/03/S._Gasiorowicz_Quantum_PhysicsBookZZ.org_.pdf}}.</ref>.
}}
}}
=== Propriétés ===
Outre les [[#En théorie des anneaux|identités valables dans tout anneau]], ce commutateur vérifie<ref>{{Cohen}}, {{p.|167}}.</ref> :
* <math>[\hat A,\lambda \hat B]=[\lambda \hat A,\hat B]=\lambda [\hat A,\hat B], \lambda\in\mathbf{C}</math>
* <math>[\hat A,\hat B]^\dagger=[\hat B^\dagger,\hat A^\dagger]</math> où <math>\hat A^\dagger</math> désigne l'[[opérateur adjoint]] de <math>\hat A</math>.

== Références ==
{{Traduction/Référence|en|Commutator|42251333|type=note}}
{{Références}}

{{Portail|physique|algèbre}}

[[Catégorie:Vocabulaire des mathématiques]]