Voir la source de Complément d'un sous-groupe

{{Homon|Complément}}
En [[mathématiques]], et plus particulièrement en [[théorie des groupes]], on dit<ref>Voir par exemple {{en}} W. R. Scott, ''Group Theory'', réimpr. Dover 1987, p. 137.</ref> qu'un '''complément d'un [[sous-groupe]]''' ''H'' dans un [[Groupe (mathématiques)|groupe]] ''G'' est un autre sous-groupe ''K'' de ''G'' tel que les deux conditions suivantes sont satisfaites :
:<math>1)\qquad HK = G</math> ;
:<math>2)\qquad H\cap K=1</math>
(où {{math|1}} désigne le sous-groupe de ''G'' réduit à l'élément neutre).

==Propriétés==
Par exemple en passant aux inverses, on vérifie facilement que la condition 1) équivaut à ''KH = G ''; d'autre part, il est clair que la condition 2) équivaut à ''K ''∩ ''H ''= {{math|1}}. Dès lors, dire que ''H'' est un complément de ''K'' revient à dire que ''K'' est un complément de ''H''. Cela revient encore à dire que tout élément de ''G'' peut se mettre d'une et une seule façon sous la forme ''hk'', avec ''h'' dans ''H'' et ''k'' dans ''K''.

Si ''H ''et ''K ''sont compléments l'un de l'autre dans G, la [[formule du produit (théorie des groupes)|formule du produit]] donne
<center><math>\ \vert G \vert = \vert H\vert \cdot \vert K \vert .</math></center>

== Exemples et contre-exemples ==

* Soient ''G'' un [[groupe fini]], ''H'' et ''K'' deux sous-groupes de ''G'' dont les [[Ordre d'un groupe|ordres]] |''H''| et |''K''| sont [[Nombres premiers entre eux|premiers entre eux]] et tels que |''H''|∙|''K''| = |''G''| ; alors ''H'' et ''K'' sont compléments l'un de l'autre dans ''G''. En effet, ''H ''∩ ''K ''est sous-groupe de ''H'' et de ''K'', donc son ordre |''H ''∩ ''K''| divise les ordres de ''H'' et de ''K ''; puisque ces deux derniers ordres sont premiers entre eux, |''H ''∩ ''K''| est donc égal à 1, donc la condition 2) de la définition est satisfaite. D'autre part, d'après la formule du produit, l'ensemble ''HK'' a pour cardinal<center><math>\frac{\vert H\vert \cdot \vert K \vert}{\vert H \cap K \vert} = \vert G \vert,</math></center>donc la condition 1) de la définition est elle aussi satisfaite.
* Si un groupe ''G'' est [[produit semi-direct]] d'un sous-groupe ''H'' par un sous-groupe ''K'', ''H'' et ''K'' sont des compléments l'un de l'autre dans ''G''. C'est le cas en particulier si ''G'' est [[Produit direct (groupes)|produit direct]] de ''H'' et de ''K''.
* Si ''p'' désigne un [[nombre premier]] et ''n'' un nombre naturel, l'ensemble des sous-groupes du [[groupe cyclique]] '''Z'''/''p<sup>n</sup>'''''Z''' est totalement ordonné par inclusion. Il en résulte qu'aucun sous-groupe propre et non nul de '''Z'''/''p<sup>n</sup>'''''Z''' n'a de complément dans '''Z'''/''p<sup>n</sup>'''''Z'''.
* Plus généralement, si ''G ''est un [[groupe cyclique]] (nous prendrons ici cette expression au sens de [[groupe monogène]] fini), un sous-groupe ''H ''de ''G ''admet un complément dans ''G ''si et seulement si c'est un [[sous-groupe de Hall]] de ''G ''(c'est-à-dire si |''H''| et |''G''/''H''| sont premiers entre eux).

{{Démonstration/début}}
Prouvons d'abord que si un sous-groupe ''H ''du groupe cyclique ''G ''n'est pas un sous-groupe de Hall de ''G'', ''H ''n'a pas de complément dans ''G''. Supposons que, par absurde, ''H ''ait un complément ''K ''dans ''G''. D'après une remarque faite plus haut, |''G''| = |''H''|∙|''K''|, donc |''K''| = |''G''|/|''H''| = |''G''/''H''|. Puisque ''H ''est supposé ne pas être un sous-groupe  de Hall de ''G'', il existe donc un nombre premier ''p'' qui divise à la fois |''H''| et |''K''|. Par exemple d'après le [[Théorème de Cauchy (groupes)|théorème de  Cauchy]] (ou encore parce que ''H ''et ''K ''sont cycliques et que, pour tout diviseur ''d'' de l'ordre d'un groupe cyclique, ce groupe admet un sous-groupe d'ordre ''d''), ''H ''admet un sous-groupe ''P<sub>H</sub> ''d'ordre ''p'' et ''K ''admet un sous-groupe ''P<sub>K</sub> ''d'ordre ''p''. Le groupe ''G'', étant cyclique, admet au plus un sous-groupe d'un ordre donné, donc ''P<sub>H</sub> ''et ''P<sub>K</sub> ''sont égaux, donc ''P<sub>H</sub> ''⊂ ''H ''∩ ''K'' donc ''H ''et ''K ''ne sont pas complémentaires, 

Prouvons maintenant que si ''H ''est un sous-groupe de Hall du groupe cyclique ''G'', ''H ''admet un complément dans ''G ''(ce qui est d'ailleurs un cas particulier d'un [[Sous-groupe de Hall|théorème de Philip Hall]]). Puisque ''G ''est cyclique, il admet un sous-groupe d'ordre ''d'' pour tout diviseur ''d'' de son ordre, donc il admet un sous-groupe ''K ''d'ordre |''G''|/|''H''|. Puisque ''H ''est supposé être un sous-groupe de Hall de ''G'', les ordres de ''H ''et de ''K ''sont premiers entre eux. D'autre part, ces ordres ont pour produit l'ordre de ''G'', donc, d'après le premier exemple, ''H ''et ''K ''sont compléments l'un de l'autre dans ''G''. 
{{Démonstration/fin}}

Puisqu'un groupe cyclique admet au plus un sous-groupe d'un ordre donné, le complément de ''H ''est unique dans ce cas.

* Un sous-groupe propre et non nul du groupe additif (ℚ, +) des [[Nombre rationnel|nombres rationnels]] n'a pas de complément dans (ℚ, +). (En effet, deux sous-groupes non nuls de (ℚ, +) ont toujours un élément non nul en commun, car si ''a''/''b ''est un élément du premier et ''c''/''d ''un élément du second, avec ''a'', ''b'', ''c'' et ''d'' entiers rationnels non nuls, ''ac'' appartient aux deux sous-groupes.)

== Notes et références ==
<references/>

== Articles connexes ==
* [[Théorème de Schur-Zassenhaus]]
* [[Théorème du complément normal de Burnside]]

{{Portail|algèbre}}
[[Catégorie:Théorie des groupes]]