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[[File:Conchoïde d'une ellipse.gif|thumb|Conchoïde d'une ellipse]]

{{Confusion|cassure conchoïdale}}

Une '''conchoïde''' {{API|[kɔ̃kɔid]}} (du latin ''concha'', coquille) est une courbe obtenue à partir d'un [[point fixe]] O, d'une autre courbe, et d'une distance ''d''. O est alors le pôle de la conchoïde et ''d'' son module. Pour chaque droite passant par O qui coupe la courbe donnée en un point P, on trace les points N et Q de la droite situés à une distance ''d'' de P. La conchoïde est le [[lieu géométrique]] des points N et Q lorsque P parcourt la courbe donnée.

En coordonnées polaires de pôle O, si la courbe donnée a pour équation polaire <math>r = \alpha(\theta)</math> alors la conchoïde aura pour équation <math>r = \alpha(\theta) \pm d</math>.


==Conchoïde de Nicomède==

La conchoïde la plus simple est la conchoïde de droite, inventée par [[Nicomède (mathématicien)|Nicomède]], mathématicien grec du {{-s-|II|e}} . Il fut le premier à réaliser une construction mécanique d'une [[courbe plane]] (autre que le cercle).

C'est la courbe d'[[équation polaire]] <math>\rho = \frac a {\cos \theta } + d</math>, où ''a'' est la distance du pôle à la directrice (''a'' = OH). 

===Trisection d'un angle===
[[Image:Concoide.png|thumb|Grâce à la conchoïde de Nicomède, on obtient la trisection de l'angle <math>\widehat{OIH}</math>]]
Les conchoïdes de Nicomède sont des trisectrices, c'est-à-dire qu'elles permettent de diviser en trois angles égaux un angle. À chaque angle φ à trisecter, correspond une conchoïde différente.

Afin de réaliser une trisection, construire un [[triangle]] OHI rectangle en H, tel que l'angle φ à trisecter soit <math>\widehat{OIH}</math>. Ensuite, construire la conchoïde de la droite (IH) de pôle O et de module OI.

On a alors, avec <math>\widehat{IOH} = \phi</math> : ''a'' = ''OH'' et <math>d = OI =  \frac a {\cos \phi } </math>. La conchoïde a donc pour équation <math>\rho = \frac a {\cos \theta } + \frac a {\cos \phi }</math>.

L'intersection de la courbe avec le cercle de centre I passant par O permet de déterminer deux points M et N, et grâce aux propriétés fondamentales de la conchoïde, on démontre que l'angle <math>\widehat{NIP}</math> trisecte l'angle <math>\widehat{OIH}</math> ou encore que l'angle <math>\widehat{NIP}</math> est le tiers de l'angle <math>\widehat{OIH}</math>.

{{démonstration| déroulante=non | contenu= Dans cette démonstration, on notera α la mesure de l'angle <math> \widehat{NIP}</math>. On sait, d'après les propriétés de la conchoïde, que IN = NP =  ''d''. Le triangle INP est donc isocèle avec <math>\widehat{OPH} = \widehat{NIP} = \alpha</math> .

De plus, en considérant le cercle de centre N passant par P, on utilise le [[théorème de l'angle inscrit et de l'angle au centre]] afin de montrer que <math>\widehat{ONI} = 2\widehat{OPH} = 2\alpha</math> . Le triangle NOI est isocèle, ce qui nous indique que <math>\widehat{ION} = \widehat{ONI} = 2\alpha</math>. Les angles <math>\widehat{yOP}</math> et <math>\widehat{OPH}</math> étant alternes-internes, on en déduit que <math> \widehat{yOP} = \alpha</math>.

Or, <math>\widehat{yOI} = \widehat{yOP} + \widehat{ION} =  3\alpha</math>. Par conséquent, les angles <math>\widehat{yOI}</math> et <math>\widehat{OIH}</math> étant alternes-internes, <math>\widehat{OIH} = 3\alpha</math> .}}

===Duplication d'un cube===
Les conchoïdes de Nicomède sont également des duplicatrices<ref>{{ouvrage|auteur=Gomes Texeira|titre=Traité des courbes spéciales remarquables plane et gauches|tome=I|éditeur=Gauthier-Villars|année=1980|page=267|lire en ligne=https://digitalis-dsp.uc.pt/jspui/bitstream/10316.2/3258/6/Obras%20sobre%20mathematica%20do%20Dr.%20F.%20Gomes%20Teixeira%20Vol.4%20%281908%29.pdf}}</ref>.

=== Construction de la tangente et de la normale ===
[[Image:Normale de conchoïde.png|thumb|Normale d'une conchoïde de Nicomède]]

Dans son livre [[s:Page:Œuvres de Descartes, éd. Cousin, tome V.djvu/363|La Géométrie]], [[Théories scientifiques de Descartes#La géométrie|René Descartes]] explique une méthode permettant de tracer la normale, et donc par extension la tangente à la conchoïde de Nicomède.

La voici exposée brièvement : 

On veut tracer la normale d'une conchoïde de Nicomède de pôle A et de module b en un point C. La droite directrice de cette conchoïde sera appelée (BH), où B est de telle sorte que (AB) et (CH) soient perpendiculaires à (BH). 
*Tracer le segment [CE] de manière qu'E soit l'intersection entre les droites (BH) et (CA). 
*Placer le point F tel que F appartienne à [CE] et CF = CH.
*Placer le point G sur la droite perpendiculaire à (BH) et passant par F de façon que FG = EA.
*La droite (CG) est alors la normale à la courbe en C.

==Conchoïde de cercle==
Les conchoïdes de cercle peuvent être utiles pour obtenir la trisection d'un angle. On pourrait également les utiliser pour étudier le mouvement d'une [[Bielle (mécanique)|bielle]] dans le cas où elle serait astreinte à coulisser en passant par un point fixe et où l'un de ses points parcourrait un cercle.

Dans un repère dont l'origine O est le pôle de la conchoïde, l'équation polaire de la conchoïde d'un cercle de centre C(a, 0) et de rayon r = ka (a représente la distance OC) et de module d = la est : <math> \rho = a(\cos\theta \pm \sqrt{k^{2} - \sin^{2}\theta} \pm l)</math> .

{{démonstration| déroulante=non | contenu= 
[[File:Conchoïde d'un cercle (pôle interne).gif|thumb|left|Conchoïde d'un cercle (pôle interne au cercle)]]
On calcule tout d'abord l'équation du cercle de centre C. L'équation cartésienne d'un cercle étant <math> (x-c)^{2}+(y-d)^{2} = R^{2}</math>, on a, avec <math>x = \rho \cos\theta</math>, <math>y = \rho \sin\theta</math>, <math>c = \cos(0)\times a = a</math>, <math>d = \sin(0)\times a = 0</math>  et <math> R = r = ka</math> : 

:<math>
\begin{align}
y^{2}+x^{2}-2xa+a^{2}-r^{2} = 0 &\Longleftrightarrow & \rho^{2}(\cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta) - 2a\rho\times \cos\theta+a^{2}-(ka)^{2} = 0  \\
&\Longleftrightarrow& \rho^{2} - 2a\rho\times \cos\theta +a^{2}(1-k^{2}) = 0.
\end{align}</math>

On résout cette [[équation du second degré]] :
 
:<math>\rho = \frac{2a\cos\theta \pm \sqrt{4a^{2}\cos^{2}\theta-4a^{2}(1-k^{2})}}{2} = a\left(\cos\theta \pm \sqrt{k^{2} -(1 - \cos^{2}\theta)}\right) = a(\cos\theta \pm \sqrt{k^{2} - \sin^{2}\theta})</math>

On peut en conclure que la conchoïde du cercle de centre ''C''(''a'', 0) a pour équation polaire <math>\rho = a(\cos\theta \pm \sqrt{k^{2} - \sin^{2}\theta} \pm l) </math> puisque ''al = d''.}}
[[File:Conchoïde d'un cercle (pôle externe).gif|thumb|right|Conchoïde d'un cercle (pôle externe au cercle)]]

On trouve quelques cas particuliers intéressants : 
*lorsque le pôle est confondu avec le centre du cercle, la conchoïde correspondante est constituée de deux cercles concentriques dont les rayons sont {{nobr|''r'' {{=}} R + ''d''}} et {{nobr|''r{{'}}'' {{=}} R – ''d''}}.
*lorsque le pôle se situe sur le cercle, on obtient alors un [[limaçon de Pascal]].

===Limaçon de Pascal===
{{Article détaillé|Limaçon de Pascal}}
Les limaçons de Pascal doivent leur nom à Étienne Pascal, père de [[Blaise Pascal]]. 

Un limaçon de Pascal correspond à la conchoïde d'un cercle lorsque le pôle de la conchoïde se situe sur le cercle. Ils ont pour équation en coordonnées polaires :
:<math>\rho = a+b\cos\theta~</math>
On peut noter que lorsque ''b'' = 2''a'', on obtient le limaçon trisecteur qui possède, à l'instar de la conchoïde de Nicomède, la particularité de permettre d'exécuter la [[trisection de l'angle]].

==Notes et références==
<references/>

{{Autres projets|commons=Category:Conchoid}}

{{Palette Courbes}}
{{Portail|géométrie}}

[[Catégorie:Courbe algébrique]]
[[Catégorie:Courbe]]