Voir la source de Conduction thermique

La '''conduction thermique''' (ou '''diffusion thermique''') est un mode de [[transfert thermique]] provoqué par une différence de [[température]] entre deux régions d'un même milieu, ou entre deux milieux en contact, et se réalisant sans déplacement global de matière<ref>{{Ouvrage|auteur1=José-Philippe Pérez|auteur2=A. M. Romulus|titre=Thermodynamique. Fondements et applications|lieu=Paris|éditeur=[[Elsevier Masson|Masson]]|année=1993|passage=153|isbn=}}.</ref> (à l'échelle [[microscopique et macroscopique|macroscopique]]) par opposition à la [[convection]] qui est un autre mode de transfert thermique. Elle peut s'interpréter comme la transmission de proche en proche de l'[[agitation thermique]] : un [[atome]] (ou une [[molécule]]) cède une partie de son [[énergie cinétique]] à l'atome voisin.

La conduction thermique est un [[phénomène de transport|processus de transport]] de l'[[énergie interne]] lié à l'agitation moléculaire et dû à une hétérogénéité du milieu à l'échelle macroscopique<ref name="PérezP158">{{Harvsp|Pérez|Romulus|1993|p=158}}</ref>. C'est un phénomène [[Réversibilité thermodynamique|irréversible]] analogue au phénomène de [[Diffusion de la matière|diffusion]]<ref name="PérezP158"/>. Dans les [[fluide (matière)|fluides]] (liquides et gaz) ce transport d'énergie résulte au niveau microscopique de l'[[Distribution angulaire|anisotropie]] de la [[Loi de distribution des vitesses de Maxwell|fonction de distribution des vitesses]]. Dans les solides, la conduction thermique est assurée conjointement par les [[électron]]s de conduction et par les vibrations du [[réseau cristallin]] ([[phonon]]s)<ref>{{Harvsp|Pérez|Romulus|1993|p=160}}</ref>.

== Phénomènes physiques ==
[[Fichier:1D normal modes (280 kB).gif|vignette|Le mouvement de translation des particules dans les solides, qui se manifeste par leur température, prend la forme de ''[[phonon]]s''. On a représenté ici des phonons d'[[amplitude]] identique mais de [[longueur d'onde]] variant de 2 à {{nobr|12 molécules}}.]]

La conduction thermique est le déplacement de l'[[énergie thermique]] des parties chaudes d'un système<ref group=N>Le terme ''système'' désigne un corps ou un ensemble de corps où s'opèrent des échanges de chaleur.</ref> vers les parties froides. Lorsque l'énergie diffuse dans un système, les différences de température décroissent et l'[[entropie (thermodynamique)|entropie]] croît.

Dans le cas le plus simple des gaz, la diffusion de l'énergie thermique intervient quand, au cours de son mouvement de translation, une particule cède une partie de sa [[quantité de mouvement]] à d'autres particules lors de collisions.

Dans les solides, le mouvement de translation prend la forme de ''[[phonon]]s'' (voir la figure). Les phonons sont des quantités élémentaires (quantifiées) d'énergie de vibration se déplaçant dans un solide à la [[vitesse du son]] propre à la substance. La manière dont les phonons interagissent dans le solide détermine leurs propriétés, telles que la diffusion thermique. Les isolants électriques, par exemple, ont généralement une [[conductivité thermique]] faible<ref group="N">Le [[diamant]] est une exception notable : son réseau cristallin rigide possède de nombreux mode de vibration quantifiés. Il en résulte que le diamant présente à la fois une [[Capacité thermique|capacité calorifique]] très faible et une [[Diffusion thermique|conductivité thermique]] élevée.</ref> et ces solides sont considérés comme des isolateurs thermiques (comme le verre, les matières plastiques, le caoutchouc, les céramiques et la pierre). Ceci est dû au fait que dans les solides, les atomes et molécules ne sont pas libres de se déplacer.

Les [[métal|métaux]], toutefois, présentent une forte conductivité thermique. En effet, leur structure permet une diffusion de l'énergie cinétique par les [[Théorie des bandes|électrons de conduction]], légers et extrêmement mobiles. C'est pourquoi il existe, dans les métaux, une corrélation presque parfaite entre la [[conductivité électrique]] et la [[conductivité thermique]]<ref>Voir [[Loi de Wiedemann et Franz]].</ref>. La conductivité électronique prédomine dans les métaux parce que les électrons sont [[Bande de conduction|délocalisés]], c'est-à-dire qu'il ne sont pas liés à un atome et qu'ils se comportent comme un gaz quantique.

== Généralités sur la modélisation ==
=== Loi de Fourier ===
La conduction thermique est un [[transfert thermique]] spontané d'une région de [[température]] élevée vers une région de température plus basse, et est décrite par la loi dite de [[Joseph Fourier|Fourier]] établie mathématiquement par [[Jean-Baptiste Biot]] en 1804 puis expérimentalement par Fourier en 1822<ref>{{Fourier1822}}, {{Article|auteur=Édouard Leroy|titre=Sur l’intégration des équations de la chaleur|revue=[[Annales scientifiques de l'École normale supérieure|ASENS]]|série=3|tome=14|année=1897|p.=379-465|url=http://archive.numdam.org/ARCHIVE/ASENS/ASENS_1897_3_14_/ASENS_1897_3_14__379_0/ASENS_1897_3_14__379_0.pdf |format=pdf}} et liens externes {{infra|Liens externes}}.</ref> : la densité de [[flux thermique]] est proportionnelle au [[gradient]] de température :
:<math>\overrightarrow{\varphi} = - \lambda\  \overrightarrow {\mathrm {grad}}\ T</math>

La constante de proportionnalité {{mvar|λ}} est nommée [[conductivité thermique]] du matériau. Elle est toujours positive.

Dans le [[Système international d'unités]], la densité de flux thermique <math>\overrightarrow{\varphi}</math> s'exprime en [[watt par mètre carré|watts par mètre carré]] ({{unité|W/m2}}), la conductivité thermique {{mvar|λ}} en [[watt par mètre-kelvin|watts par mètre-kelvin]] ({{unité|W m-1 K-1}}) et la température ''T'' en [[kelvin]]s ({{unité|K}}).

La loi de Fourier est une loi macroscopique. Elle n'est valide que pour des solides de dimensions grandes devant le [[libre parcours moyen]] et la [[Longueur d'onde de de Broglie|longueur d'onde]] des [[phonon]]s impliqués dans les transferts thermiques<ref>Des flux de chaleur qui échappent à Fourier, [[Pour la Science]] {{n°|494}} décembre 2018 {{p.|63}}.</ref>.

La loi de Fourier est une loi phénoménologique analogue à la [[loi de Fick]] pour la diffusion de particule ou la [[loi d'Ohm]] pour la conduction électrique (Ohm s'est d'ailleurs servi d'une analogie entre thermique et électricité pour construire sa théorie). Ces trois lois peuvent s'interpréter de la même façon : l'inhomogénéité d'un paramètre [[Extensivité et intensivité (physique)#Intensivité|intensif]] (température, nombre de particules par unité de volume, [[potentiel électrique]]) provoque un phénomène de transport tendant à combler le déséquilibre (flux thermique, courant de diffusion, courant électrique).

{{boîte déroulante|align=left|titre=Complément|contenu=
[[Image:Conduction fourier.png|vignette|center]]

Nous pouvons exprimer le transfert thermique selon ''Ox'' pendant un temps ''dt''. On suppose que la quantité de chaleur traversant une surface d'aire dS{{ind|x}} est proportionnelle à ''dS{{ind|x}}'', au temps de transfert ''dt'' et au taux de variation de la température ''T'' :

::<math>dQ_x= - \lambda_x\ \frac{\delta T}{\delta x} dS_x dt</math>

La densité de flux thermique à travers la surface élémentaire dS{{ind|x}} est alors :

::<math> d\phi= \frac{dQ_x}{dt}= - \lambda_x \frac{\delta T}{\delta x} dS_x\,</math>

Nous pouvons en déduire la densité de flux dans la direction Ox :

::<math>\varphi_x = \frac{d \phi}{d S_x}\,</math>
::<math>\varphi_x = - \lambda \frac{\delta T}{\delta x}</math>

Le même raisonnement dans chacune des directions de l'espace donne la loi de Fourier.

{{article détaillé|contenu=Pour les définitions précises de ''flux'' et ''densité de flux'' voir l'article [[Transfert thermique]]}}
}}

=== Équation de la chaleur ===
{{Article détaillé|Équation de la chaleur}}
Un bilan d'énergie, et l'expression de la loi de Fourier conduit à l'équation générale de conduction de la chaleur dans un corps homogène, équation de transport de la température <math>T(\vec r)</math> :
::<math>\vec\nabla\cdot\left[\lambda(T)\,\vec\nabla T\right]+\mathcal{P}(\vec r)=\rho\,c_P(T)\,\frac{\partial T}{\partial t}</math>
où
:{|
|-
| <math>\lambda</math> || est la conductivité thermique du matériau en {{unité|W m-1 K-1}},
|-
| <math>\mathcal{P}</math> || est l'énergie produite au sein même du matériau en {{unité|W m-3}}<ref group="N" name="intensité">Elle est souvent nulle (cas des dépôts de chaleur en surface de murs, par exemple), mais apparaît dans l'étude du transfert thermique par conduction au sein du combustible nucléaire, ou dans l'absorption de la lumière ou des micro-ondes au sein des matériaux semi-transparents{{etc.}}</ref>,
|-
| <math>\rho</math> || est la [[masse volumique]] en {{unité|kg/m3}}
|-
| <math>c_P</math> || est la [[capacité thermique massique]] du matériau en {{unité|J kg-1 K-1}}.
|}

Sous forme unidimensionnelle et dans le cas où {{mvar|P}} est nulle et la conductivité constante, on obtient :
::<math>\lambda\, \nabla^2 T = \rho\,c_P\,\frac{\partial T}{\partial t} </math>

En régime stationnaire, lorsque la température n'évolue plus avec le temps et si {{mvar|P}} est nul, elle se réduit à : <math>\nabla^2 T = 0 </math> qui est une [[équation de Laplace]]. {{mvar|T}} est alors une [[fonction harmonique]].

Dans le cas d'un régime permanent et unidimensionnel, l'équation précédente se réduit à : <math>\frac{\mathrm{d}^2 T}{\mathrm{d} x^2} = 0 </math> dont la solution est {{math|''T'' {{=}}''Ax'' + ''b''}} où {{mvar|A}} et {{mvar|B}} sont des constantes à fixer selon les conditions aux limites.

=== Échelle microscopique : l'équation de Boltzmann-Peierls ===
[[Fichier:Conductivite apparente silicium.png|vignette|Conductivité apparente d'une lame de silicium en fonction de son épaisseur<ref>{{Ouvrage|langue=en|auteur1=Yuan Dong|titre=Dynamical Analysis of Non-Fourier Heat Conduction in Nanosystems|éditeur=[[Springer Science+Business Media|Springer]]|année=2016|isbn=|lire en ligne=https://books.google.fr/books?id=BZfDCgAAQBAJ&pg=PA39&dq=boltzmann+phonon+drift+velocity}}</ref>. Le libre parcours moyen dans le milieu est voisin de {{unité|300 nm}}.]]
Dans les problèmes à l'échelle nanométrique tels qu'on les rencontre par exemple en [[microélectronique]] le [[libre parcours moyen]] des phonons n'est pas petit devant la taille de l'objet étudié et l'équation de diffusion de la chaleur n'est plus valide<ref>{{article|auteur1=O. Bourgeois|auteur2=D. Tainoff|auteur3=N. Mingo|auteur4=B. Vermeersch|auteur5=J.-L. Barrat|titre=Des flux de chaleur qui échappent à Fourier|revue=[[Pour la Science]]|numéro=494|année=2008|pages=58-65}}.</ref>. Ce problème a été résolu par [[Rudolf Peierls]] en 1929<ref>{{article|langue=de|auteur=[[Rudolf Peierls|R. E. Peierls]]|titre= Zur kinetischen Theorie der Wärmeleitung in Kristallen|périodique= {{lang|de|[[Annalen der Physik]]}} |volume=3|pages=1055–1101|année=1929}}</ref> en donnant une description microscopique du phénomène par l'intermédiaire d'une [[équation de Boltzmann]] pour l'énergie {{math|d''E''{{ind|ν}}}} transférée par les phonons considérés comme un gaz, à l'instar du [[gaz de photons]]. Cette énergie est ramenée à l'unité d'aire traversée {{math|d''S''}}, à l'intervalle de fréquence considéré {{math|dν}}, à l'angle solide élémentaire considéré {{math|dΩ}} et à l'intervalle de temps {{math|d''t''}} pour donner une intensité {{math|''I''{{ind|ν}}}}

::<math>\mathrm{d}E_\nu=I_\nu \, \mathrm{d}S \, \mathrm{d}\nu \,\mathrm{d}\Omega\,\mathrm{d}t</math>
Cette quantité est l'analogue de la [[Luminance énergétique|luminance]] spectrale pour le rayonnement. Elle obéit à l'[[équation de Boltzmann]] que l'on donne ici en une dimension d'espace et dans le cas stationnaire<ref>{{Ouvrage|langue=en|auteur1=Ingo Müller|auteur2=Tommaso Ruggeri|titre=Rational Extended Thermodynamics|volume=37|éditeur=[[Springer Science+Business Media|Springer]]|collection=Springer Tracts in Natural Philosophy|année=1998|pages totales=396|isbn=978-1-4612-7460-5}}</ref>

::<math>\frac{\mathrm{d}I_\nu}{\mathrm{d}\tau}(x,\mu)=G_\nu(x)-I_\nu(x,\mu)</math>
Pour cela :
* on a introduit la quantité {{math|τ {{=}} κ ''x''}}; où {{math|κ}} est le coefficient d'absorption spectral du milieu supposé indépendant de {{math|ν}}. Cette quantité est l'inverse du [[libre parcours moyen]] {{math|''l'' {{=}} 1 / τ}}, typiquement quelques dizaines de nm à température ambiante;
* on a supposé que la dépendance angulaire était de révolution, caractérisée par {{math|''μ'' {{=}} cos θ}} ;
* on a négligé les termes de [[Diffusion des ondes|diffusion]] pouvant résulter de défauts cristallins ou de processus [[Diffusion Umklapp|''{{lang|de|Umklapp}}'']].
G{{ind|ν}} est le terme de création qui résulte de la création de phonons par agitation thermique.

Dans le cas où l'équilibre thermodynamique est atteint, ce terme est donné par la [[loi de Planck]] (les phonons sont des [[bosons]] tout comme les photons, ils obéissent donc à la [[statistique de Bose-Einstein]]) :

::<math>B_\nu=\frac{2h\nu^3}{c_m^2}\frac{1}{\exp\left(\frac{h\nu}{kT_m}\right)-1}\,,\qquad B_m=\int_0^\infty B_\nu \, \mathrm{d}\nu=\frac{\sigma \; T_m^4}{\pi}</math>
où
:{|
|-
| {{mvar|T{{ind|m}}}} || température de vibration unique pour tous les degrés de liberté du réseau cristallin (dilatation, torsion, flexion),
|-
| {{mvar|h}} || [[constante de Planck]],
|-
| {{mvar|k}} || [[constante de Boltzmann]],
|-
| {{math|σ}} || [[constante de Stefan-Boltzmann]],
|-
| {{mvar|c{{ind|m}}}} || vitesse de groupe pour la propagation (typiquement quelques milliers de m/s). C'est la moyenne des vitesses longitudinale et transversale, quelquefois nommée '''vitesse de Debye'''.
|}
Dans l'hypothèse de l'équilibre thermodynamique du milieu on peut écrire une équation pour l'intensité qui est identique à celle du [[transfert radiatif]]. On obtient une équation pour l'intensité intégrée en fréquence <math>I_m=\int_0^\infty I_\nu\,\mathrm{d}\nu</math> :
::<math>\frac{\mathrm{d}I_m(x,\mu)}{\mathrm{d}\tau}=B_m(T_m(x))-I_m(x,\mu)</math>

=== Lien avec l'échelle macroscopique ===
Introduisons les premiers moments de {{mvar|I{{ind|m}}}} :
:{|
|-
| - l'énergie || <math>E_m=2\pi\int_{-1}^1I_m \, \mathrm{d}\mu=\int \rho \, C_V \, \mathrm{d}T</math>
|-
| - la densité de flux de chaleur || <math>\varphi_m=2\pi\int_{-1}^1\mu \, I_m \, \mathrm{d}\mu</math>
|}
où {{math|ρ}} est la masse volumique et {{mvar|C{{ind|V}}}} la [[capacité thermique massique]].

Lorsque :
* le libre parcours moyen est petit devant la dimension du domaine ou tout autre quantité s caractérisant la solution soit <math>l \ll \frac{s}{\left|\frac{\partial s}{\partial x}\right|}</math> ;
* le temps caractéristique <math>t_m=\frac{1}{\kappa \, c_m}</math> est petit devant toute variation temporelle dans le domaine <math>t_m \ll \frac{s}{\left|\frac{\partial s}{\partial t}\right|}</math> ;
[[Transfert radiatif#Approximations|diverses méthodes]]<ref name="Modest">{{Ouvrage|langue=en|nom1=Michael M. Modest|titre=Radiative Heat Transfer|éditeur=[[Academic Press]]|année=2003|pages totales=822|isbn=0-12-503163-7|lire en ligne=https://books.google.com/books?id=lLT-aKLTxkQC&printsec=frontcover}}</ref> permettent d'obtenir une équation de diffusion reliant ces quantités sous la forme :
::<math>\varphi_m=-\frac{c_m}{3}\frac{\partial E_m}{\partial x}=-\frac{c_m}{3\kappa}\frac{\mathrm{d}E_m}{\mathrm{d}T}\frac{\partial T}{\partial x}=-\frac{c_m\rho \,C_V}{3\kappa}\frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}x}</math>
On reconnait la [[loi de Fourier]] avec une conductivité thermique valant
::<math>\lambda=\frac{c_m\rho \,C_V}{3\kappa}</math>

{{Démonstration|

Comme en [[Transfert radiatif#Approximations|transfert radiatif]], on peut réduire l'équation de Boltzmann au système suivant :
::<math>
 \begin{array}{rcl}
 \frac{\partial E_m}{\partial t} + \frac{\partial \mathbf \varphi_m}{\partial x} & = & \kappa \left(4\pi B_m- c_mE_m\right) \\[0.6em]
 \frac{\partial \mathbf \varphi_m}{\partial t} + c_m^2\frac{\partial \mathbf (E_m \mathsf{D}_m)}{\partial x} & = & -c_m\kappa \mathbf \varphi_m
 \end{array}
</math>
On suppose le tenseur <math>\textstyle\mathsf{D}_m </math> isotrope : <math>\textstyle\mathsf{D}_\nu =\frac{1}{3}\mathsf{I}</math> : c'est la méthode d'[[Arthur Eddington|Eddington]] ou [[Méthode PN|méthode P{{ind|1}}]].

On obtient alors
::<math>c_m^2\frac{\partial \mathbf (E_m \mathsf{D}_m)}{\partial x}=\frac{c_m^2}{3}\frac{\partial E_m }{\partial x}</math>
Dans l'hypothèse d'une densité de flux stationnaire, la seconde équation du système ci-dessus s'écrit
::<math>\varphi_m=-\frac{c_m}{3\kappa}\frac{\partial E_m }{\partial x}</math>
}}
La conductivité thermique est proportionnelle à la vitesse de propagation, à la capacité thermique massique et au libre parcours moyen dans le milieu.

Par suite le coefficient de diffusion thermique <math>D=\frac{\lambda}{\rho C_V}=\frac{c_m}{3\kappa}</math> est proportionnel à la vitesse de propagation et au libre parcours moyen.

L'équation de la chaleur obtenue avec cette approximation diffusive est une [[Équation aux dérivées partielles parabolique|équation parabolique]] pour laquelle la vitesse de propagation de l'information est infinie.

=== Échelles de temps courts : équation de Cattaneo-Vernotte ===
Dans certains cas l'hypothèse de quasi-stationnarité du flux n'est plus valide, par exemple si on utilise une source de chaleur ultra-brève comme une impulsion laser pour chauffer un échantillon.

Si on conserve le terme temporel sur le flux (voir encadré précédent), on obtient :
::<math>\varphi_m+t_m\frac{\partial \varphi_m}{\partial t}=-\frac{c_m}{3\kappa}\frac{\partial E_m}{\partial x}=-\lambda\frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}x}\,,\qquad t_m=\frac{1}{\kappa c_m}</math>

Cette expression du flux comportant un terme de relaxation de l'oscillation des phonons est appelée '''équation de Cattaneo-Vernotte''' d'après [[Carlo Cattaneo (mathématicien)|Carlo Cattaneo]]<ref>{{article |langue=it |auteur=[[Carlo Cattaneo (mathématicien)|Carlo Cattaneo]] |titre=Sulla conduzione del calore |périodique=
{{lang|it|Atti del Seminario Matematico e Fisico dell' Universita di Modena e Reggio Emilia}} |volume= 3 |pages=83–101 |année=1948}}.</ref> et Pierre Vernotte<ref>{{article |auteur=P. Vernotte |titre=Les paradoxes de la théorie continue de l'équation de la chaleur |périodique=[[Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences|Comptes-rendus de l'Académie des sciences]]| volume=246|pages= 3154-3155|année=1958 1958}}.</ref>. Le système auquel elle conduit est du type [[équations des télégraphistes]]. Dans ce système d'[[équation aux dérivées partielles hyperbolique]], la vitesse de propagation de l'information est {{math|''c{{ind|m}}''/{{racine|3}}}} et non {{mvar|c{{ind|m}}}}.

=== Échelle nanoscopique : le quantum de chaleur ===
On considère un [[guide d'ondes]] virtuel de taille nanoscopique. [[Rolf Landauer]] a montré<ref>{{Ouvrage |langue=en |auteur1=Yoseph Imry |titre=Introduction to Mesoscopic Physics |lieu=Oxford/New York |éditeur=[[Oxford University Press]] |année=2002 |pages totales=236 |isbn=0-19-850738-0 |lire en ligne=https://books.google.fr/books?id=ZyjW37iGhaQC&pg=PA221&dq=landauer+r}}.</ref> que le flux de chaleur pour le mode de propagation α entre un milieu 1 et un milieu 2 à l'équilibre thermodynamique est
::<math>\varphi_\alpha=\int_0^\infty \hbar \omega_\alpha(k)c_m(k)(n_2-n_1)\mathcal{T}_\alpha\frac{\mathrm{d}k}{2\pi}</math>
où
:{|
|-
| <math>k</math> || [[nombre d'onde]] ;
|-
| <math>\omega_\alpha(k)</math> || [[Phonon#Comportement et propriétés des phonons|relation de dispersion]] ;
|-
| <math>n=\left(e^{\frac{\hbar \omega}{kT}}-1\right)^{-1}</math> || [[Fonction de partition|nombre d'occupation]] de la [[statistique de Bose-Einstein]] ;
|-
| <math>\mathcal{T}_\alpha</math> || facteur de transmission.
|}
Le guide est limité par deux surfaces permettant un échange parfait : <math>\mathcal{T}_\alpha=1</math>. À ses extrémités on applique deux milieux avec une différence de température <math>\Delta T=T_2-T_1</math> et on considère la limite <math>\Delta T \to 0</math>. On suppose que ces températures sont suffisamment faibles pour avoir le droit de ne prendre en compte que le nombre d'onde k = 0 pour chaque mode.

Avec ces hypothèses on montre que le '''quantum de conductance''' par mode est<ref>{{article|langue=en|auteur=[[John Pendry|J. B. Pendry]]|titre=Quantum Limits to the Flow of Information and Entropy|périodique=Journal of Physics A: Mathematical and General|volume=16|numéro=10|année=1983|pages=2161-2171|url=http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download?doi=10.1.1.485.9140&rep=rep1&type=pdf |format=pdf }}.</ref>
::<math>q_\alpha=\frac{\varphi_\alpha}{\Delta T}=\frac{\pi k^2}{3h}\frac{T_1+T_2}{2}</math>

Cette valeur a été mesurée expérimentalement<ref>{{article|langue=en|auteur1=K. Schwab|auteur2=E. A. Enriksen|auteur3=J. M. Worlock|auteur4=M. L. Roukes|titre=Measurement of the Quantum of Thermal Conductance|périodique=[[Nature (revue)|Letters to Nature]]|volume=404|année=2000|pages=974-977|url=https://www.its.caltech.edu/~nano/publications/papers/Nature404-974.pdf |format=pdf}}.</ref>.

== Conduction en régime stationnaire ==
Un régime stationnaire est défini par l'indépendance par rapport au temps de toute quantité, notamment la température.

Remarque : on confond parfois le régime stationnaire avec le [[régime permanent]], alors qu'un régime permanent peut dépendre du temps (exemple : un régime périodique).

=== Surface plane simple ===
Le matériau est un milieu limité par deux plans parallèles (cas d'un mur). Chaque plan a une température {{mvar|T}} homogène sur toute sa surface. On considère que les plans ont des dimensions infinies pour s'affranchir des effets de bords. En conséquence le milieu est unidimensionnel et la densité de flux est la même en tout point. On suppose de plus que la conductivité est constante.

[[Fichier:Mur gradient.png|vignette|Profil de température dans un mur.]]
Notons {{math|''T''{{ind|1}}}} la température du plan situé à l'abscisse {{math|''x''{{ind|1}}}}, et {{math|''T''{{ind|2}}}} la température du plan situé à l'abscisse {{math|''x''{{ind|2}}}}. Notons {{math|''e'' {{=}} ''x''{{ind|2}} – ''x''{{ind|1}}}} l'épaisseur du mur. En régime stationnaire, {{math|''T''}} est une [[fonction affine]] de {{math|''x''}}, d'où :
::<math>T = T_1 + \frac{x-x_1}{e}(T_2 - T_1)</math>

La densité de flux thermique surfacique s'écrit :
::<math>\varphi= -\lambda \frac{dT}{dx} = \frac{\lambda}{e} (T_1-T_2)</math>

Le flux thermique à travers une surface S vaut :
::<math>\Phi = \frac{\lambda S}{e} (T_1-T_2)=\frac{T_1-T_2}{\frac{e}{\lambda S}}</math>

[[Fichier:Mur analogie elec.png|vignette|Analogie.]]
'''Analogie électrique'''

Par analogie avec l'[[électricité]] ([[loi d'Ohm]]), nous pouvons mettre en parallèle les deux expressions :

::<math>U_1-U_2= RI</math>
::<math>T_1-T_2= \frac{e}{\lambda S} \Phi</math>

Nous pouvons mettre en parallèle d'une part la tension et la température, d'autre part l'intensité et le flux thermique :
::<math>U \leftrightarrow T\,,\qquad I \leftrightarrow \Phi</math>

On peut définir alors une [[résistance thermique]], jouant dans le transfert de chaleur un rôle comparable à la résistance électrique.
::<math> R \leftrightarrow R_{thc}= \frac{e}{\lambda S}</math>
où {{mvar|S}} est la surface du matériau et {{mvar|e}} son épaisseur. La résistance thermique {{mvar|R{{ind|thc}}}} est homogène à des {{unité|K W-1}}

=== Surfaces planes en série ===
[[Fichier:Mur serie generalite.png|vignette|]]
On considère des matériaux ''A'', ''B'' et ''C'' d'épaisseurs respectives {{mvar|e{{ind|A}}}}, {{mvar|e{{ind|B}}}} et {{mvar|e{{ind|C}}}} et de conductivités respectives {{math|λ{{ind|''A''}}}}, {{math|λ{{ind|''B''}}}} et {{math|λ{{ind|''C''}}}}.

Les hypothèses sont identiques à celles d'une surface plane simple. On considère que le contact entre chaque couche est parfait ce qui signifie que la température à l'interface entre 2 matériaux est identique dans chaque matériau (pas de [[saut de température]] au passage d'une interface).

Les résistances thermiques s'additionnent :
::<math>T_1- T_4= \left(\frac{e_A}{\lambda_A S}+ \frac{e_B}{\lambda_B S}+ \frac{e_C}{\lambda_C S}\right) \Phi\ = (R_{thA}+ R_{thB}+ R_{thC}) \Phi</math>

{{Démonstration|
Globalement, nous avons

::<math>T_1- T_4= \frac{e}{\lambda S} \Phi</math>

Si l'on décompose

:Pour la couche ''A'' : <math>T_1- T_2= \frac{e_A}{\lambda_A S} \Phi</math>
:pour la couche ''B'' : <math>T_2- T_3= \frac{e_B}{\lambda_B S} \Phi</math>
:pour la couche ''C'' : <math>T_3- T_4= \frac{e_C}{\lambda_C S} \Phi</math>

Nota : Par hypothèse le flux (ou la densité de flux) est constant.

Avec :
::<math>T_1- T_4= (T_1-T_2)+(T_2-T_3)+(T_3-T_4)\,</math>
Donc
::<math>T_1- T_4= \left(\frac{e_A}{\lambda_A S}+ \frac{e_B}{\lambda_B S}+ \frac{e_C}{\lambda_C S} \right) \Phi\,</math>
::<math>T_1- T_4= (R_{thA}+ R_{thB}+ R_{thC}) \Phi\,</math>
}}

'''Profil des températures'''
Pour chaque matériau la variation de température suit une loi du type :

::<math>T= T_1- \frac{e_X}{\lambda_X S}\Phi\,</math>

La variation de température est donc linéaire dans l'épaisseur du matériau considéré. La pente dépend de λ ([[conductivité thermique]]) caractéristique de chaque matériau. Plus la conductivité thermique sera faible (donc plus le matériau sera isolant) plus la pente sera forte.
[[Fichier:Mur serie gradient.png|vignette|center]]

'''Analogie électrique'''
De la même manière que les résistances électriques en série s'additionnent, les résistances thermiques en série s'additionnent.
[[Fichier:Mur serie analogie elec.png|vignette|center]]

=== Surfaces planes en parallèle ===
[[Fichier:Mur parrallele.png|vignette|]]
On considère des matériaux plans juxtaposés. Chaque matériau est homogène et limité par deux plans parallèles. C'est par exemple le cas d'un mur avec une fenêtre.

Les hypothèses sont identiques à celles d'une surface plane simple. En supplément, on considère que la température est uniforme en surface de chaque élément (T{{ind|1}} et T{{ind|2}}).

Soit S{{ind|A}}, S{{ind|B}} et S{{ind|C}} les surfaces respectives des éléments A, B et C.

Par la suite, on fait l'hypothèse que le flux est toujours perpendiculaire à la paroi composée ; ceci n'est pas réaliste puisque la température de surface de chaque élément qui la composent est différente et qu'il existe par conséquent un gradient de température latéral (à l'origine des [[Pont thermique|ponts thermiques]]). Aussi, il est nécessaire de corriger le flux de chaleur calculé dans la paroi composée à l'aide de coefficients de déperdition linéiques, spécifiques à chaque jonction de paroi (et pouvant être négligeables, cf. règlementation thermique TH 2000)

Les conductances thermiques s'additionnent :
::<math>C_{th}= \frac{1}{R_{th}} = \frac{1}{\frac{e_A}{\lambda_A S_A}}+\frac{1}{\frac{e_B}{\lambda_B S_B}}+\frac{1}{\frac{e_C}{\lambda_C S_C}} = \frac{1}{R_{thA}} + \frac{1}{R_{thB}} + \frac{1}{R_{thC}}</math>

{{Démonstration|contenu=
Pour chaque élément, le flux s'exprime suivant la relation
::<math>T_1- T_2= \frac{e_X}{\lambda_X S} \Phi\,</math>
Avec en prenant l'analogie électrique
::<math>R_X= \frac{e_X}{\lambda_X S_X}\,</math>
où <math>X</math> est égale à <math>A</math>, <math>B</math> ou <math>C</math>
Nous avons donc
::<math>\Phi_A= \frac{T_1- T_2}{R_A}\,</math>
::<math>\Phi_B= \frac{T_1- T_2}{R_B}\,</math>
::<math>\Phi_C= \frac{T_1- T_2}{R_C}\,</math>

Le flux total est égal à la somme des flux dans chaque élément
::<math>\Phi= \Phi_A+ \Phi_B+ \Phi_C\,</math>
::<math>\Phi= (T_1- T_2) \left(\frac{1}{R_A}+ \frac{1}{R_B}+ \frac{1}{R_C}\right)\,</math>

Soit S la surface totale
::<math>S= S_A+ S_B+ S_C\,</math>

Le flux surfacique s'écrit alors
::<math>\varphi=\frac{\Phi}{S}\,</math>

Toujours par analogie avec les lois électriques, l'inverse de la résistance thermique est parfois appelé conductance thermique.

::<math>C_{th}= \frac{1}{R_{th}} = \frac{1}{\frac{e_A}{\lambda_A S_A}}+\frac{1}{\frac{e_B}{\lambda_B S_B}}+\frac{1}{\frac{e_C}{\lambda_C S_C}} = \frac{1}{R_{thA}} + \frac{1}{R_{thB}} + \frac{1}{R_{thC}}</math>
}}

'''Analogie électrique'''

Il est donc également possible de faire une analogie entre un [[montage électrique]] de résistances en parallèle.

{| class="center" style="width=60%; text-align:center; border:0px solid black;"
|-----
| [[Fichier:Mur parrallele analogie elec.png|vignette|center]]
| [[Fichier:Mur parrallele analogie elec 2.png|vignette|center]]
|-----
|<math>I = \left(\frac{1}{R_1}+ \frac{1}{R_2}+ \frac{1}{R_3}\right) \Delta U\,</math>
|<math>\Phi = \left(\frac{1}{R_{th1}}+ \frac{1}{R_{th2}}+ \frac{1}{R_{th3}}\right) \Delta T\,</math>
|}

=== Surface cylindrique simple ===
[[Fichier:Tube simple.png|vignette|]]
Le tube simple est constitué d'un seul matériau homogène. La température est homogène sur chaque surface du tube. On considère que le tube a une longueur infinie afin de s'affranchir des effets de bord.

La variation de température s'écrit :

::<math>\ T_1-T_2= \frac{\Phi}{2 \pi \, \lambda \, L } \ln \left(\frac{R_2}{R_1}\right)</math>

{{Démonstration|Si l'on considère une variation dR à l'intérieur du matériau constituant le tube, la loi de Fourier s'exprime alors :

::<math>\Phi= - \lambda \, S \, \frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}R}</math>
(l'hypothèse de régime permanent assure en effet que le flux thermique <math>\Phi</math> est constant dans le cylindre et est donc indépendant de l'endroit choisi)

'''Variation de la température dans l'épaisseur du tube'''
[[Image:Tube simple temperature.png|vignette|Évolution de la température dans l'épaisseur d'un tube simple avec T{{ind|intérieure}} > T{{ind|extérieure}}.]]

Soit S la surface d'un cylindre :

::<math> S= 2 \pi R L\,</math>

Nous pouvons écrire la loi de Fourier sous la forme :

::<math> \Phi= - \lambda 2 \pi R L \frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}R}\,</math>

::<math>\frac{\mathrm{d}R}{R}= - \frac{2 \pi \lambda L \mathrm{d}T}{\Phi}\,</math>

::<math>\int_{R_1}^{R} \frac{\mathrm{d}R}{R}= - \frac{2 \pi \lambda L }{\Phi} \int_{T_1}^{T} \mathrm{d}T\,</math>

::<math>\ln \frac{R}{R_1}= \frac{2 \pi \lambda L }{\Phi} (T_1-T)\,</math>

La variation de température dans le matériau est donc

::<math>\ T= T_1 - \frac{\Phi}{2 \pi \lambda L } \ln \frac{R}{R_1}\,</math>

Sur la totalité de l'épaisseur du tube, la variation est

::<math>\ T_1-T_2= \frac{\Phi}{2 \pi \lambda L } \ln \frac{R_2}{R_1}\,</math>
}}

{{clr}}
=== Surfaces cylindriques concentriques ===
[[Fichier:Tube concentrique.png|vignette|Schéma d'un tube concentrique.]]

Le tube concentrique est constitué de tubes disposés en couches concentriques. On considère que le contact est parfait entre les tubes. La température est homogène sur chaque surface du tube. On considère que le tube à une longueur L infinie afin de s'affranchir des effets de bord.

La résistance totale du tube s'exprime suivant une loi de type « série » comme le mur composé série :
::<math>\ R_{thT}= R_{thA} + R_{thB}</math>

{{Démonstration|
Évolution de la température dans la première couche :

::<math>\ T_1-T_2= \frac{\Phi}{2 \pi \lambda_A L } \ln \frac{R_2}{R_1}\,</math>

Évolution de la température dans la deuxième couche :

::<math>\ T_2-T_3= \frac{\Phi}{2 \pi \lambda_B L } \ln \frac{R_3}{R_2}\,</math>

Sur la totalité de l'épaisseur du tube :

::<math>\ T_1-T_3= \frac{\Phi}{2 \pi L } \left ( \frac {\ln \frac {R_2}{R_1} }{\lambda_A} + \frac {\ln \frac {R_3}{R_2} }{\lambda_B}\right )\,</math>

La résistance thermique de la couche A

::<math>\ R_{thA}= \frac {\ln \frac {R_2}{R_1} }{\lambda_A{2 \pi L }}\,</math>

La résistance thermique de la couche B

::<math>\ R_{thB}= \frac {\ln \frac {R_3}{R_2} }{\lambda_B{2 \pi L }}\,</math>

La résistance totale du tube s'exprime suivant une loi de type « série » comme le mur composé série :

::<math>\ R_{thT}= R_{thA} + R_{thB}\,</math>
}}

== Conduction en régime dynamique ==
{{Article connexe|Noyau de la chaleur}}
La résolution de l'équation de la chaleur en régime dynamique est beaucoup plus délicate. Elle fait appel aux notions de [[transformée de Fourier|transformées de Fourier]], de [[produit de convolution]] et de [[Distribution (mathématiques)|distributions]]. Nous donnons quelques exemples de résolution.

=== Cas d'un domaine illimité ===
==== Principe général ====
On écrit l'équation de la chaleur sous la forme :
::<math>\frac{\partial T}{\partial t} - D \nabla^2 T = P</math>
où ''D'' est le coefficient de [[diffusivité thermique]] et ''P'' représente ici l'échauffement (en K/s) provenant de sources de chaleur. Cette valeur peut être une fonction du temps et de la position de la source de chaleur, mais aussi une [[Distribution (mathématiques)|distribution]]. Par exemple, l'injection instantanée et ponctuelle d'une quantité de chaleur peut se représenter par le produit <math>\delta(t)\delta(x)</math> d'une [[distribution de Dirac]] à l'instant {{nobr|''t'' {{=}} 0}} par une distribution de Dirac en {{nobr|''x'' {{=}} 0}}, ''x'' étant l'abscisse dans le cas d'un problème unidimensionnel ou le [[vecteur position]] dans le cas général.

On se donne également l'état initial du domaine <math>T_0 = T(0,x)</math>, qui peut être également une fonction de ''x'' ou une distribution.

La méthode de résolution consiste à<ref>{{Landau|tome 6}}.</ref>{{,}}<ref>[[Laurent Schwartz (mathématicien)|Laurent Schwartz]], ''Méthodes mathématiques pour les sciences physiques'', [[Hermann (éditions)|Hermann]], 1965.</ref> :
* appliquer une transformée de Fourier relative à la variable ''x'', à tous les termes de l'équation différentielle. Cela transforme la dérivation par rapport à ''x'' par un produit. Si l'on prend <math>F(T)(p, t) = \int T(x, t) \exp(-2{\rm i}\pi px) {\rm d}x</math>, alors l'équation devient :
::<math>\frac{\partial F(T)}{\partial t} + D 4\pi^2p^2F(T) = F(P)</math>
: ou plutôt, au sens des distributions, pour tenir compte de la [[condition initiale]] :
::<math>\frac{\partial F(T)}{\partial t} + D 4\pi^2p^2F(T) = F(P) + F(T_0)\delta(t)</math>
* reconnaître dans cette équation un [[produit de convolution]] :
::<math>\left(\frac{\partial \delta(t)}{\partial t} + 4\pi^2Dp^2 \delta(t)\right) * F(T) = F(P) + F(T_0)\delta(t)</math>
:L'opérateur qu'on applique à F est un produit de convolution relatif à la variable ''t'' ;
* appliquer la réciproque de l'opérateur dont on montre qu'il vaut <math>H(t) \exp(- 4\pi^2Dp^2t)</math>, où H est la [[fonction de Heaviside]], pour aboutir à :
::<math>F(T) = F(P) * H(t)\exp(- 4\pi^2Dp^2t) + F(T_0)H(t)\exp(- 4\pi^2Dp^2t).</math>
Si ''F''(''P'') est une fonction et non une distribution, cette relation devient, pour ''t'' > 0 :
::<math>F(T) = \int_0^t F(P)(\tau)\exp(- 4\pi^2Dp^2(t-\tau)) {\rm d}\tau + F(T_0)\exp(- 4\pi^2Dp^2t)</math>
*prendre la transformée de Fourier inverse pour en déduire ''T''.

==== Cas particulier ====
[[Fichier:Conduction thermique.gif|vignette|Propagation par conduction dans le plan à partir d'un point chaud. La hauteur en un point donné indique la valeur de la température en ce point.]]
Si l'on prend <math>T_0 = 0</math> et <math>P = \delta(t)\delta(x)</math> (injection instantanée de chaleur en un point donné), la méthode décrite ci-dessus conduit à :
::<math>F(P) = \delta(t)</math>
donc, pour t > 0 :
::<math>F(T) = \exp(- 4\pi^2Dp^2t)</math>
dont la transformée de Fourier inverse est, pour t > 0 :
::<math> T = \frac{\exp\left(- \frac{x^2}{4Dt}\right)}{2\sqrt{\pi tD}}</math> dans le cas unidimensionnel ;
::<math> T = \frac{\exp\left(- \frac{r^2}{4Dt}\right)}{8\sqrt{\pi tD}^3}</math> dans le cas tridimensionnel.

==== Domaine illimité sans source de chaleur ====
Si l'on se donne seulement la température initiale <math>T_0</math> du milieu sans source de chaleur (''P'' = 0), alors on trouve que :
::<math>T = \frac{1}{2\sqrt{\pi tD}} \int_{-\infty}^{+\infty} \exp\left(- \frac{(x - u)^2}{4tD}\right) T_0(u)\,{\rm d}u</math> dans le cas unidimensionnel.
::<math>T = \frac{1}{8(\pi tD)^{3/2}} \int_{\mathbb R^3} \exp\left(- \frac{(r - s)^2}{4tD}\right) T_0(s)\, {\rm d}x_s {\rm d}y_s {\rm d}z_s</math> dans le cas tridimensionnel.

=== Cas de domaines limités, sans source de chaleur ===
==== Cas d'un domaine limité par un plan. Problème de Kelvin ====
[[Fichier:Conduction thermique KelvinPlan.gif|vignette|Problème de Kelvin. L'axe des ''x'' est orienté vers la droite. Le [[milieu semi-infini]] ''x''>0, dont la température initiale est ''T''{{ind|0}}, possède une frontière ''x'' = 0 dont la température est constamment nulle. La hauteur en un point donné indique la valeur de la température en ce point.]]
On suppose le domaine limité par le plan ''x'' = 0. Si l'on se donne pour condition aux limites supplémentaire ''T''(0,''t'') = 0 pour tout ''t'', alors, il suffit de prolonger la répartition initiale de température <math>T_0</math> par une fonction impaire en ''x'' et d'appliquer le résultat précédent.

Le cas le plus célèbre est celui du problème de [[William Thomson (Lord Kelvin)|Kelvin]]. Ce dernier a considéré dans les années 1860 que la Terre était initialement à une température constante <math>T_0</math> de l'ordre de {{tmp|3000|°C}} et qu'elle s'est refroidie par simple conduction. Utilisant la valeur actuelle du [[gradient]] de température en fonction de la profondeur, il en a déduit une estimation de l'[[âge de la Terre]]. On peut appliquer la méthode de résolution précédente en considérant la Terre comme plate et infiniment profonde, limitée par le plan de sa surface. Le calcul conduit à :
::<math>T= \frac{T_0}{\sqrt{\pi t D}} \int_0^x \exp\left(- \frac{u^2}{4tD}\right)\, {\rm d}u = T_0 \,{\rm erf}\left(\frac{x}{2\sqrt{Dt}}\right)</math>
où erf est dite [[fonction d'erreur|fonction d'erreur de Gauss]].

Le gradient de température à la surface est :
::<math>\frac{\partial T}{\partial x}= \frac{T_0}{\sqrt{\pi t D}}</math> :
Connaissant <math>\frac{\partial T}{\partial x}</math> de l'ordre de {{tmp|3|°C}} pour {{unité|100|mètres}} de profondeur et D estimé à {{unité|e−6 m2 s−1}}, on trouve que <math>t</math> vaut 100 millions d'années. Ce résultat est largement sous-estimé car Kelvin ignorait les phénomènes de [[convection]] au sein du [[manteau terrestre]]<ref group=N>La convection apportant des matériaux chauds à proximité de la surface, le gradient de température au voisinage de celle-ci au bout d'un temps donné est plus élevé dans le cas de la convection que dans celui de la conduction. Par conséquent, la durée de refroidissement conduisant à un gradient donné sera estimée plus courte dans le cas de la conduction que dans celui de la convection. Voir England P, Molnar P, Richter F, ''Kelvin, Perry et l'âge de la terre'', [[Pour la Science]], février 2008, {{p.|32-37}}, traduit d'un [http://courses.washington.edu/ess408/KelvinPerry2007.pdf article d'American Scientist]. Une deuxième source d'erreur, plus marginale, provient du fait que Kelvin néglige également le terme de source d'énergie dû à la radioactivité.</ref>{{,}}<ref>Jean-Louis Le Mouël, ''Le refroidissement de la Terre'', {{196e|conférence}} de l’Université de tous les savoirs, 14 juillet 2000, [http://telechargeu.cines.fr/3517/load/documents/utls/download/pdf/140700.pdf] ou [http://www.canalu.tv/index.php/canalu/producteurs/universite_de_tous_les_savoirs/dossier_programmes/les_conferences_de_l_annee_2000/la_terre_les_oceans_le_climat/le_refroidissement_de_la_terre_depuis_son_origine_le_champ_geomagnetique]</ref>{{,}}<ref>{{article |lang=en |auteur=John Perry |titre=On the age of earth |volume=51 |périodique=[[Nature (revue)|Nature]] |date=7 février 1895 |pages=341-342 }}.</ref>.

==== Cas d'un domaine limité par deux plans parallèles ====
[[Fichier:Conduction thermique Biplan.gif|vignette|Propagation de la chaleur par conduction dans un domaine limité 0 < ''x'' < ''L''. Les deux frontières du domaine sont maintenues à température constante. La hauteur en un point donné indique la valeur de la température en ce point.]]
On considère un domaine limité par les deux plans ''x''=0 et ''x=L''. On suppose qu'on se donne comme conditions aux limites {{nobr|1=''T''(0,''t'') = ''T''(''L'',''t'') = 0}}. On utilise une méthode de résolution basée sur les [[série de Fourier|séries de Fourier]], en cherchant T sous la forme :
::<math>T = \sum_{n=1}^\infty b_n \sin\left(n\pi \frac{x}{L}\right) \exp\left(- \frac{Dn^2\pi^2t}{L^2}\right)</math>
Cette expression vérifie à la fois l'équation de la chaleur et les conditions aux limites. Si l'on se donne la répartition de température initiale <math>T_0</math>, il suffit de développer celle-ci en série de Fourier pour déterminer les <math>b_n</math>.

Par exemple, si l'on prend <math>T_0</math> constant, on obtient :
::<math>T = \frac{4T_0}{\pi} \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{2n+1} \sin\left(\frac{(2n+1)\pi x}{L}\right) \exp\left(- \frac{D(2n+1)^2\pi^2t}{L^2}\right)</math>
En faisant tendre ''L'' vers l'infini, on retrouve la solution de Kelvin du [[#Cas d'un domaine limité par un plan. Le problème de Kelvin|paragraphe précédent]], la somme précédente étant considérée comme une [[somme de Riemann]] convergeant vers l'intégrale.

==== Cas d'un domaine à géométrie sphérique ====
[[Fichier:Conduction thermique KelvinCirculaire.gif|vignette|Propagation de la chaleur par conduction dans un domaine circulaire. Problème de Kelvin : la température initiale est uniforme, la température sur le cercle frontière est maintenue nulle. La hauteur en un point donné indique la valeur de la température en ce point.]]
Dans le cas où la propagation se fait dans un domaine sphérique, et où la température ne dépend que de la distance ''r'' au centre, l'équation de la chaleur devient, compte tenu de l'expression du [[Opérateur laplacien#Coordonnées sphériques (dimension 3)|laplacien en sphérique]] :
::<math>\frac{\partial T}{\partial t} = D\left(\frac{2}{r} \frac{\partial T}{\partial r} + \frac{\partial^2 T}{\partial r^2}\right)</math>
Si l'on pose <math>F = rT</math>, l'équation devient :
::<math>\frac{\partial F}{\partial t} = D \frac{\partial^2 F}{\partial r^2}</math>
On peut alors appliquer les méthodes précédentes pour déterminer ''F'', puis en déduire ''T'' en divisant par ''r''.

Ainsi, la résolution du problème de Kelvin dans le cas d'une boule de rayon ''R'' (température initiale uniformément égale à <math>T_0</math>, la surface étant maintenue à une température nulle) conduit à l'expression suivante de ''T'' :
::<math>T(r,t) = 2T_0 \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n+1} \, {\rm sinc}\left(n\pi \frac{r}{R}\right) \exp\left(- \frac{Dn^2\pi^2t}{R^2}\right)</math>
où sinc est la fonction [[sinus cardinal]].

=== Cas de domaines limités, avec source de chaleur ===
On considère l'équation :
::<math>\frac{\partial T}{\partial t} - D \nabla^2 T = P</math>
avec ''P'' non nul. On cherche en général une solution particulière à cette équation, de façon que, une fois retranchée à ''T'', on puisse se ramener à une équation sans second membre. Voici quelques exemples, dans le cas où ''P'' représente une densité de source de chaleur constante, indépendante de la position et du temps.

==== Domaine limité par deux plans parallèles ====
[[Fichier:Conduction thermique Biplan AvecSourceDeChaleur.gif|vignette|Propagation de la chaleur par conduction dans un domaine limité 0 < ''x'' < ''L''. Le domaine est chauffé uniformément, alors que la température initiale est nulle, et que les deux bords restent à cette température nulle. La hauteur en un point donné indique la valeur de la température en ce point.]]
Considérons un domaine limité par les deux plans ''x''=0 et ''x''=L. On suppose qu'à l'instant initial, la température du domaine est égale à une température de référence nulle, et que les bords du domaine resteront en permanence à cette température nulle. T vérifie donc :
::<math>\frac{\partial T}{\partial t} - D \frac{\partial^2 T}{\partial x^2} = P</math>
::T(0,''t'') = T(L,''t'') = 0 pour tout ''t'' positif.
::T(''x'',0) = 0 pour tout ''x'' entre 0 et L.

La fonction <math>\frac{Px(L-x)}{2D}</math> indépendante de ''t'' vérifie les deux premières relations, de sorte que, si l'on pose <math>G = T - \frac{Px(L-x)}{2D}</math>, alors G vérifie :
::<math>\frac{\partial G}{\partial t} - D \frac{\partial^2 G}{\partial x^2} = 0</math>
::<math>G(0, t) = G(L, t) = 0</math>
::<math>G(x, 0) = - \frac{Px(L-x)}{2D}</math>

On peut appliquer la méthode [[#Cas d'un domaine limité par deux plans parallèles|vue plus haut]] en cherchant ''G'' sous la forme d'une série :
::<math>G = \sum_{n=1}^\infty b_n \sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right) \exp\left(- \frac{n^2\pi^2Dt}{L^2}\right)</math>
qui vérifie les deux premières relations. Comme, pour des raisons de symétrie, on s'attend à ce que <math>G(x) = G(L-x)</math>, on peut supposer que les coefficients <math>b_n</math> sont nuls lorsque ''n'' est pair, de sorte que :
::<math>G = \sum_{n=0}^\infty b_{2n+1} \sin\left(\frac{(2n+1)\pi x}{L}\right) \exp\left(- \frac{(2n+1)^2\pi^2Dt}{L^2}\right)</math>:
Pour ''t'' = 0, on a :
::<math>- \frac{Px(L-x)}{2D} = \sum_{n=0}^\infty b_{2n+1} \sin\left(\frac{(2n+1)\pi x}{L}\right)</math>:
On trouve les <math>b_{2n+1}</math> en développant <math>- \frac{Px(L-x)}{2D}</math> en [[série de Fourier]]. On trouve :
::<math>b_{2n+1} = - \frac{4PL^2}{(2n+1)^3\pi^3D}</math>
D'où G, puis finalement :
::<math>T = \frac{Px(L-x)}{2D} - \frac{4PL^2}{D\pi^3} \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{(2n+1)^3} \sin\left(\frac{(2n+1)\pi x}{L}\right) \exp\left(- \frac{(2n+1)^2\pi^2Dt}{L^2}\right)</math>
Lorsque ''t'' tend vers l'infini, la température du domaine tend vers <math>\frac{Px(L-x)}{2D}</math>, l'échauffement thermique dans le milieu étant alors en équilibre avec l'évacuation de la chaleur par les deux bords.

==== Domaine limité par un plan ====
[[Fichier:Conduction thermique Plan AvecSourceDeChaleur.gif|vignette|Propagation de la chaleur par conduction dans un domaine ''x'' > 0 limité par un bord. Le domaine est chauffé uniformément, alors que la température initiale est nulle, et que le bord reste à cette température nulle. La hauteur en un point donné indique la valeur de la température en ce point.]]
La résolution du même problème dans le cas où ''x'' > 0 consiste à déterminer ''T'' tel que :
::<math>\frac{\partial T}{\partial t} - D \frac{\partial^2 T}{\partial x^2} = P</math>
::<math>T(0,t) = 0 \quad \textrm{  pour}\ \textrm{tout  }\ t>0.</math>
::<math>T(x,0) = 0 \quad \textrm{  pour}\ \textrm{tout  }\ x>0.</math>

On peut obtenir la solution en faisant tendre ''L'' vers l'infini dans l'expression donnée dans le [[#Domaine limité par deux plans parallèles|paragraphe précédent]], en assimilant la série à une [[somme de Riemann]]. On obtient alors l'expression suivante :

::<math>T = - \frac{Px^2}{2D} + \frac{Px^2}{2D} \,{\rm erf}\left(\frac{x}{2\sqrt{Dt}}\right) + \frac{Px\sqrt{t}}{\sqrt{D\pi}} \exp\left(- \frac{x^2}{4Dt}\right) + Pt \, {\rm erf}\left(\frac{x}{2\sqrt{Dt}}\right)</math>

où {{math|erf}} désigne la [[fonction d'erreur de Gauss]]. On peut également trouver cette expression en appliquant la méthode découlant du [[#Principe général|principe général]] relatif à un domaine illimité, après avoir étendu à l'espace entier les fonctions ''T'' et ''P'' en des fonctions impaires en ''x'', de façon que ''T'' s'annule en ''x'' = 0.

Quand ''t'' tend vers l'infini, ''T'' vaut environ ''Pt'', analogue à celle d'un domaine infini. Le bord unique n'est pas suffisant pour évacuer la chaleur.

==== Domaine à géométrie sphérique ====
[[Fichier:Conduction thermique Circulaire AvecSourceDeChaleur.gif|vignette|Propagation de la chaleur par conduction dans un domaine à bord circulaire. Le domaine est chauffé uniformément, alors que la température initiale est nulle, et que le bord reste à cette température nulle. La hauteur en un point donné indique la valeur de la température en ce point.]]
Dans le cas d'un domaine dont le bord est une sphère de rayon ''R'', on utilise l'expression du laplacien en sphérique et l'on est amené à résoudre :
::<math>\frac{\partial T}{\partial t} = D\left(\frac{2}{r} \frac{\partial T}{\partial r} + \frac{\partial^2 T}{\partial r^2}\right) + P</math>
::Pour tout ''t'', T(R,''t'') = 0
::Pour tout ''r'', T(''r'',0) = 0

En posant <math>G = rT + \frac{r^3P - rR^2P}{6D}</math>, G vérifie le système :
::<math>\frac{\partial G}{\partial t} = D\frac{\partial^2 G}{\partial r^2}</math>
::Pour tout ''t'', G(R,''t'') = 0
::Pour tout ''r'', <math>G(r,0) = \frac{r^3P - rR^2P}{6D}</math>
La méthode des séries de Fourier suggère de chercher G sous la forme d'une série <math>\sum_{n=1}^\infty b_n \sin\left(\frac{n\pi r}{R}\right) \exp\left(- \frac{n^2\pi^2 Dt}{R^2}\right)</math>, où les <math>b_n</math> sont trouvés en développant <math>\frac{r^3P - rR^2P}{6D}</math> en série de Fourier. On obtient :
::<math>G = \frac{2P R^3}{D\pi^3} \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n^3} \sin\left(\frac{n\pi r}{R}\right) \exp\left(- \frac{n^2\pi^2 Dt}{R^2}\right)</math>:
et donc :
::<math>T = \frac{R^2P - r^2P}{6D} + \frac{2P R^2}{D\pi^2} \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n^2} {\rm sinc}\left(\frac{n\pi r}{R}\right) \exp\left(- \frac{n^2\pi^2 Dt}{R^2}\right)</math>
où sinc est la fonction [[sinus cardinal]].

Quand ''t'' tend vers l'infini, la température ''T'' tend vers la répartition limite <math>\frac{R^2P - r^2P}{6D}</math>.

== Notes et références ==
=== Notes ===
{{Références|groupe=N}}

=== Références ===
{{références}}

== Voir aussi ==
{{Autres projets| commons=Category:Heat conduction| wikiversity=Conduction thermique}}

=== Bibliographie ===
* {{Article| langue=en| titre=Heat equations beyond Fourier: From heat waves to thermal metamaterials| auteur1=R. Kovács| périodique=[[Physics Reports]]| volume=1048| date=15 janvier 2024| pages=1-75| doi=10.1016/j.physrep.2023.11.001| accès doi=libre| consulté le=30 décembre 2023}}

=== Articles connexes ===
* [[Diffusivité thermique]]
* [[Diffusion de la matière]]
* [[Conductivité thermique]]
* [[Transfert thermique]]
* [[Conductance électrique]]
* [[Homogénéisation]]
* [[Thermodynamique hors équilibre]]
* [[Fluctuations thermodynamiques]]

=== Liens externes ===
* [http://www.ryounes.net/cours/conduction.pdf Cours (bases essentielles)]
* [http://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/claude_saintblanquet/index.htm Cours (bases complètes)]
* http://www.lmm.jussieu.fr/~lagree/COURS/MECAVENIR

{{Portail|physique|énergie}}

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