Voir la source de Coniques de Mandart

{{ébauche|géométrie}}

En géométrie, les '''coniques de Mandart''' sont des [[Coniques circonscrites et inscrites à un triangle|coniques du triangle]], nommées d'après H. Mandart, qui les a étudiées dans deux articles publiés à la fin du {{s-|XIX}}<ref name="g04">{{article |lang=en |nom=Gibert|prénom=Bernard|titre=Generalized Mandart conics|journal=Forum Geometricorum|url=http://forumgeom.fau.edu/FG2004volume4/FG200421.pdf|année=2004|volume=4|pages=177–198}}.</ref>{{,}}<ref name="Mandart1">{{article |auteur=H. Mandart |titre=Sur l’hyperbole de Feuerbach |périodique=Mathesis|année=1893 |pages=81–89}}.</ref>{{,}}<ref name="Mandart2">
{{article |auteur=H. Mandart |titre=Sur une ellipse associée au triangle |périodique=Mathesis |année=1894 |pages=241–245|url=https://books.google.com/books?id=kqAKAAAAYAAJ&pg=PA241}}.</ref>.

== Ellipse de Mandart ==
[[File:Mandart inellipse - resized.svg|thumb|300px|
{{legend-line|solid #333333|Triangle quelconque}}
{{legend-line|solid red|son '''ellipse inscrite de Mandart''' (et son centre au [[mittenpunkt]] {{mvar|M}})}}
{{legend-line|solid blue|Droites joignant les centres des cercles exinscrits à chaque milieu de côté (concurrentes en {{mvar|M}})}}
{{legend-line|solid lime|[[Triangle de Nagel|séparatrices]] (concurrentes au [[point de Nagel]] {{mvar|N}})}}]]

L{{'}}'''ellipse inscrite de Mandart''' d'un [[triangle]] est l'[[ellipse (mathématiques)|ellipse]] située à l'intérieur du triangle, [[tangente (géométrie)|tangente]] aux points de contact des cercles exinscrits avec les côtés. C'est donc également l'ellipse circonscrite de Steiner du triangle de Nagel du triangle de référence<ref>{{article |lang=en |nom = Juhász | prénom = Imre | périodique = Annales Mathematicae et Informaticae | mr = 3005114 | pages = 37–46 | titre = Control point based representation of inellipses of triangles | url = http://ami.ektf.hu/uploads/papers/finalpdf/AMI_40_from37to46.pdf | volume = 40 | année = 2012}}.</ref>.

=== Propriétés ===
Le centre de l'ellipse de Mandart est le [[mittenpunkt]] du triangle. Son point de Brianchon (le point d'intersection des droites reliant les sommets du triangle aux points de tangence) est donc le point de Nagel du triangle<ref name="g04"/>.

Ses axes sont les droites parallèles aux asymptotes de l'[[hyperbole de Feuerbach]] passant par le mittenpunkt.

Comme conique inscrite, l'ellipse de Mandart est décrite par les paramètres en coordonnées homogènes
:<math>x:y:z=\frac{a}{b+c-a}:\frac{b}{a+c-b}:\frac{c}{a+b-c}</math>
pour un un triangle de côtés ''a'', ''b'', ''c''.

=== Cercle de Mandart ===
Le ''cercle de Mandart'' est le cercle circonscrit au [[triangle de Nagel]]. Le cercle et l'ellipse de Mandart se croisent donc aux trois sommets de ce triangle, mais aussi au [[point de Feuerbach]] du triangle.

C'est donc le [[cercle de Joachimsthal]] du [[point de Bevan]].

Son centre est le point de nombre de Kimberling ''X''{{ind|1158}} et son rayon est égal à :
:<math>R_{\text{Mandart}} = \frac{s}{abc} \sqrt{(4R^2-bc)(4R^2-ca)(4R^2-ab)}.</math>
où {{mvar|R}} est le rayon du cercle circonscrit au triangle de référence et {{mvar|s}} son demi-périmètre.

== Triangles de Mandart ==
On considère un triangle ''ABC'' et son triangle médian ''A{{'}}B{{'}}C{{'}}''. Pour un réel ''t'', on place sur la médiatrice de [''AB''] le point ''P{{ind|A}}'' tel que {{math|''C{{'}}P{{ind|A}}'' {{=}} ''t''}} et tel que si {{nobr|''t'' > 0}}, le point est à l'extérieur du triangle ; on définit de façon similaire les points ''P{{ind|B}}'' et ''P{{ind|C}}''. Alors le triangle ''P{{ind|A}}P{{ind|B}}P{{ind|C}}'' est appelé triangle de ''t''-Mandart.

=== Propriétés ===
* le locus des centres de gravité des triangles de ''t''-Mandart est la droite passant par le centre du cercle circonscrit du triangle de référence et le centre de son cercle inscrit.
* le locus des centres des cercles circonscrits des triangles de ''t''-Mandart est une hyperbole équilatère 

== Hyperbole de Mandart ==

Pour tout ''t'', le triangle de ''t''-Mandart est [[Triangles orthologiques|orthologique]] au triangle de Nagel<ref name="Mandart2"/>. Le locus des points de concurrence est une hyperbole équilatère, circonscrite au triangle de Nagel. Gibert est le premier à la nommer ''hyperbole de Mandart''.

Ses asymptotes sont parallèles à celles de l'[[hyperbole de Feuerbach]].

== Parabole de Mandart ==
Pour tout ''t'', le triangle de ''t''-Mandart et le triangle médian sont en [[Homologie (transformation géométrique)|homologie]]. On appelle ''parabole de Mandart'' l'enveloppe des axes de ces homologies quand ''t'' varie.

Le foyer de cette parabole est le centre de nombre de Kimberling ''X''{{ind|134}} et son axe est la droite passant par le centre du cercle circonscrit et le centre de Spieker du triangle de référence.

== Voir aussi ==
* [[Ellipse de Steiner]]
* [[Éléments remarquables d'un triangle]]

== Notes ==
{{Traduction/Référence|en|Mandart inellipse|1179605360}}
{{Références}}

== Liens externes ==
* {{mathworld|nom_url=MandartInellipse|titre=Mandart Inellipse}}
* {{mathworld|nom_url=MandartCircle|titre=Mandart Circle}}

{{Palette|Triangle}}
{{Portail|Géométrie|algèbre}}

[[Catégorie:Géométrie du triangle]]
[[Catégorie:Conique]]