Voir la source de Conjecture d'Elliott-Halberstam

En [[théorie des nombres]], la '''[[conjecture]] d'Elliott-Halberstam''' concerne la distribution des [[nombre premier|nombres premiers]] dans les [[suite arithmétique|progressions arithmétiques]]. Elle a beaucoup d'applications en [[théorie des cribles]]. Elle a été énoncée par [[Peter D. T. A. Elliott]] et [[Heini Halberstam]] en 1968.

==Notations==
Énoncer la conjecture nécessite quelques notations. On désigne usuellement par {{math|π(''x'')}} le [[Fonction de compte des nombres premiers|nombre de nombres premiers inférieurs ou égaux à ''{{math|x}}'']]. Si ''{{math|q}} ''est un [[entier naturel|entier strictement positif]] et ''{{math|a}} ''est [[nombres premiers entre eux|premier avec]] ''{{math|q}}'', notons {{math|π(''x''; ''q'', ''a'')}} le nombre de nombres premiers inférieurs ou égaux à ''{{math|x}} ''qui sont [[Congruence sur les entiers|congrus à ''{{math|a}} ''modulo ''{{math|q}}'']]. D'après le [[théorème de la progression arithmétique]], lorsque ''{{math|a}} ''est premier avec ''{{math|q}}'', on a :
 
:<math> \pi(x;q,a) \sim  \frac{\pi(x)}{\varphi(q)}\ \ (x\rightarrow\infty).</math>

On définit alors la fonction d'erreur
:<math> E(x;q) = \max_{(a,q) = 1} \left|\pi(x;q,a) - \frac{\pi(x)}{\varphi(q)}\right|</math>

où le max est pris sur tous les ''{{math|a}} ''premiers avec ''{{math|q}}''.

==Énoncé==
La conjecture d'Elliott-Halberstam est l'assertion que pour tout 0 < θ < 1 et tout ''A ''> 0, il existe une constante ''C '', telle que pour tout {{math|''x''}}&nbsp;≥&nbsp;2 :
<center><math> \sum_{1 \leq q \leq x^\theta} E(x;q) \le \frac  {{Cx}} {(\ln x)^A}.</math></center>
La conjecture d'Elliott Haltberstam pour une valeur de θ est notée EH [ θ ]<ref>[https://link.springer.com/article/10.1186%2Fs40687-014-0012-7 Variants of the Selberg sieve, and bounded intervals containing many primes], Abstract.</ref>.

==Avancées==
Pour le cas limite θ = 1, on sait que cette assertion EH [ 1 ] est fausse.

Pour les θ < {{frac|1|2}}, la conjecture EH [ θ ] a été démontrée dans les années 1960 par [[Enrico Bombieri]]<ref>{{article|langue=en|prénom=Enrico |nom=Bombieri |titre=On the large sieve |journal=Mathematika |volume=12 |numéro= |année=1965 |pages=201–225 |doi= 10.1112/s0025579300005313 | mr=0197425}}</ref> et [[Askold Ivanovitch Vinogradov]] : c'est le [[théorème de Bombieri-Vinogradov]] ; ce résultat est déjà tout à fait utile, étant une forme moyennée de l'[[hypothèse de Riemann généralisée]].

== Conséquences de la conjecture ==

La conjecture d'Elliott-Halberstam aurait, si elle était démontrée pour θ < 1, plusieurs conséquences frappantes. L'une d'elles est le résultat de [[Daniel Goldston]], [[János Pintz]] et [[Cem Yıldırım]]<ref>{{en}} D. A. Goldston, J. Pintz et C. Y. Yıldırım, ''Primes in Tuples I'', août 2005. {{arxiv|math.NT/0508185}}</ref>{{,}}<ref>{{en}} D. A. Goldston, Y. Motohashi, J. Pintz et C. Y. Yıldırım, ''[http://projecteuclid.org/DPubS?verb=Display&version=1.0&service=UI&handle=euclid.pja/1146576181 Small gaps between primes exist]'', Proceedings of the Japan Academy Series A '''82''' (2006), 61-65. Version de mai 2005 disponible sur {{arxiv2|math.NT/0505300}} {{en}}</ref>{{,}}<ref>{{en}} D. A. Goldston, S. W. Graham, J. Pintz et C. Y. Yıldırım, ''Small gaps between primes or almost primes'', juin 2005. {{arxiv|math.NT/0506067}}</ref>, qui montre qu'il existerait alors une infinité de paires de nombres premiers qui diffèrent d'au plus 16. Maynard  a montré en {{date-|décembre 2013}} que sous la même hypothèse, il existerait alors une infinité de paires de nombres premiers qui diffèrent d'au plus 12. En 2014, le [[projet Polymath]] a montré qu'en supposant une version généralisée de  EH [ θ ], pour 0 < θ < 1, l'écart pourrait être ramené à 6.

==Notes et références==
===Notes===
{{Références}}
===Références===
{{Traduction/Référence|en|Elliott–Halberstam conjecture|24293033}}
*{{Article|lang=en|prénom=E.|nom=Bombieri|titre=On the large sieve|revue=Mathematika|vol=12|année=1965|p.=201-225}}
*{{Article|lang=en|prénom=P. D. T. A.|nom=Elliot|prénom2=H.|nom2=Halberstam|titre=A conjecture in prime number theory|revue=Symp. Math.|vol=4 (INDAM, Rome, 1968/69)|année=1970|p.=59-72}}
*{{mul|en|ru}} A. I. Vinogradov, « The density hypothesis for Dirichlet L-series », ''Izv. Akad. Nauk SSSR Ser. Mat.'', vol. 29, 1965, p.&nbsp;903-934

==Voir aussi==
*[[Conjecture des nombres premiers jumeaux]]
*{{Lien|trad=Barban–Davenport–Halberstam theorem|Théorème de Barban-Davenport-Halberstam}}
*[[Théorème de Barban-Montgomery]]

{{Palette Classes de nombres premiers}}
{{portail|théorie des nombres}}

[[Catégorie:Théorie analytique des nombres]]
[[Catégorie:Conjecture non résolue|Elliott-Halberstam]]