Voir la source de Conjecture d'Erdős-Graham

En [[théorie combinatoire des nombres]], la '''[[conjecture]] d'Erdős-Graham''', aujourd'hui résolue, assure que dans toute [[Partition (mathématiques)|partition]] finie de l'ensemble des [[Entier naturel|entiers]] supérieurs ou égaux à 2, un [[sous-ensemble]] de l'une des parties peut servir à représenter 1 par un développement en [[fraction égyptienne|fractions égyptiennes]], c'est-à-dire que pour tout ''r ''> 0 et toute coloration des entiers 2, 3, 4, … par ''r ''couleurs,  il existe un [[ensemble fini]] monochrome ''S ''tel que
<center><math>\sum_{n\in S}\frac1n=1.</math></center>

Plus précisément, [[Paul Erdős]] et [[Ronald Graham]] avaient conjecturé, parmi les [[Fraction égyptienne#Théorie des nombres moderne|nombreux problèmes sur les fractions égyptiennes]], l'existence d'une constante ''b ''(nécessairement supérieure ou égale à [[e (nombre)|{{math|e}}]]) telle que pour tout ''r ''assez grand, le plus grand élément de ''S ''puisse être [[majoré]] par ''b{{exp|r}}''.

{{Lien|Ernest S. Croot III}} a démontré leur conjecture en 2000 dans sa thèse de [[Ph.D.]]<ref>{{Ouvrage|langue=en|prénom1=Ernest S., III|nom1=Croot|titre=Unit Fractions|sous-titre=Ph.D. thesis|lieu=Athènes|éditeur=[[Université de Géorgie|Univ. Georgia]]|année=2000|isbn=}}</ref> puis, en [[post-doc]] à l'[[UC Berkeley]], a publié sa preuve dans une [[Revue scientifique|revue]]<ref>{{article|lang=en|nom=Croot|prénom=Ernest S., III|année=2003|titre=On a coloring conjecture about unit fractions|lien périodique=Annals of Mathematics|revue=Ann. Math.|vol=157|numéro=2|p.=545-556}}, {{arxiv2|math.NT/0311421}}</ref>. La valeur qu'il donne pour ''b ''est [[Fonction exponentielle|{{math|e}}{{exp|167 000}}]]. Son résultat est un corollaire d'un théorème où il établit l'existence de représentations de 1 par des fractions égyptiennes pour des ensembles ''C ''de [[Nombre lisse|nombres lisses]] dans des intervalles de la forme [''X'', ''X''{{exp|1+δ}}], si ''C ''contient assez de nombres pour que la somme de leurs inverses soit au moins égale à 6. La conjecture d'Erdős-Graham s'en déduit en montrant qu'on peut trouver un intervalle de cette forme dans lequel la somme des inverses de tous les nombres lisses vaut au moins 6''r ''; par conséquent, si les entiers sont colorés par ''r ''couleurs, il doit exister une partie ''C ''monochrome satisfaisant les conditions de la conjecture.

== Notes et références ==
{{Traduction/Référence|en|Erdős–Graham problem|474643023|type=note}}
{{reflist}}

== Article connexe ==
{{Page h|Conjecture d'Erdős|Conjectures d'Erdős}}

{{Portail|théorie des nombres}}

{{DEFAULTSORT:Conjecture d'Erdos-Graham}}
[[Catégorie:Combinatoire]]
[[Catégorie:Conjecture démontrée|Erdos-Graham]]
[[Catégorie:Théorème de la théorie des nombres]]
[[Catégorie:Fraction]]