Voir la source de Conjecture d'Erdős-Turán sur les bases additives

{{Confusion||texte=Ne doit pas être confondu avec la [[conjecture d'Erdős sur les progressions arithmétiques]] ni avec la [[Théorème de Szemerédi|conjecture d'Erdős-Turán démontrée par Szemerédi]].}}
La '''conjecture d'Erdős-Turán''' est un [[Conjecture|problème non résolu]] en [[théorie additive des nombres]], posé en 1941 par [[Paul Erdős]] et [[Pál Turán]] dans un article sur le [[problème de Sidon]]<ref>{{article|lang=en|nom=Erdős|prénom=P.|nom2=Turán|prénom2=P.|année=1941|titre=On a problem of Sidon in additive number theory, and on some related problems|lien périodique=London Mathematical Society|revue=J. London Math. Soc.|vol=16|p.=212-216|url=http://193.224.79.10/~p_erdos/1941-01.pdf}}</ref>.

== Histoire ==

À la fin de leur article, Erdős et Turán énoncent deux conjectures sur la fonction ''f''(''n'') = nombre de représentations de ''n ''comme somme de deux termes (non nécessairement distincts) d'un ensemble donné ''B ''d'entiers naturels. La seconde est :

<center>{{Citation|1=Si ''f''(''n'') > 0 pour ''n'' > ''n''{{ind|0}}, alors [[Limite supérieure|{{surligner|lim}}]] ''f''(''n'') = ∞.}}</center>

L'hypothèse « ''f''(''n'') > 0 pour ''n ''assez grand » se reformule en disant<ref name=TaoVu>{{Ouvrage|langue=en|prénom1=Terence|nom1=Tao|lien auteur1=Terence Tao|prénom2=Van H.|nom2=Vu|titre=Additive Combinatorics|éditeur=[[Cambridge University Press|CUP]]|collection=Cambridge Studies in Advanced Mathematics|lieu=Cambridge (GB)|numéro dans collection=105|année=2006|pages totales=512|passage=13|isbn=978-0-521-85386-6|lire en ligne=https://books.google.fr/books?id=xpimQMtn5-IC&pg=PA13}}</ref> que ''B ''est une base additive (asymptotique) d'ordre 2.

Ce problème a retenu l'attention des spécialistes<ref name=TaoVu/>, mais n'est toujours pas résolu.

== État de l'art ==

Dans cette conjecture non résolue, il y a eu cependant des avancées significatives.

On peut d'abord étendre le problème de l'ordre 2 à l'ordre ''h '': on dit qu'un ensemble ''B ''d'entiers naturels est une base additive (asymptotique) d'ordre ''h ''si tout entier assez grand s'écrit comme somme de ''h ''éléments de ''B'', autrement dit si la fonction associée (qui pour ''h ''= 2 est la fonction ''f ''d'Erdős et Turán)

<center><math>r_{h,B}(n)=\text{card}\left(\{(a_1,\ldots,a_h)\in B^h~|~a_1+\ldots+a_h=n\}\right)</math></center>

vérifie, pour {{math|''n''}} assez grand :

<center><math>r_{h,B}(n)>0.</math></center>

Or un argument élémentaire montre que l'on a toujours

<center><math>\sum_{m=1}^nr_{h,B}(m)\le\left(\text{card}(B\cap[1,n])\right)^h\le\sum_{m=1}^{hn}r_{h,B}(m).</math></center>

Il en résulte<ref name=TaoVu/> que si ''B ''est une base d'ordre ''{{math|h}} ''alors {{math|card(''B''∩[1, ''n'']) {{=}} [[Comparaison asymptotique|Ω(''n''{{exp|1/''h''}})]]}}.

Erdős a réussi en 1956 à répondre positivement (bien que non explicitement) à une question posée par [[Simon Sidon|Sidon]] plus de vingt ans auparavant<ref>{{chapitre|lang=en|prénom=M. P.|nom1=Erdős|titre=Problems and results in additive number theory|titre ouvrage=Colloque sur la théorie des nombres|éditeur=CBRM|lieu=Bruxelles|année=1956|passage=127-137|url=http://bolyai.hu/~p_erdos/1956-17.pdf}}</ref> : existe-t-il une base additive ''B ''d'ordre 2 telle que, pour tout ε > 0, ''r''{{ind|2,''B''}}(''n'') = [[Comparaison asymptotique|o(''n''{{exp|ε}})]] ? Plus précisément, il a montré, par une utilisation répétée du [[théorème de Borel-Cantelli]], l'existence de deux constantes ''c''{{ind|3}} et ''c''{{ind|2}} > 0 telles que pour presque tout ensemble infini ''B ''d'entiers naturels on ait, pour ''n ''assez grand :
<center><math>c_2\log n<r_{2,B}(n)<c_3\log n,</math></center>
ce qui l'a amené à poser la question : existe-t-il un ensemble infini ''B ''d'entiers naturels tel que ''r''{{ind|2, ''B''}}(''n'')/log(''n'') possède une limite non nulle ?

En 1986, [[Eduard Wirsing]] a démontré que pour une large classe de bases additives ''B'', incluant celle des [[nombres premiers]], il existe une partie de ''B ''qui est encore une base additive mais qui est significativement plus « fine » que ''B'' (au sens de la [[comparaison asymptotique]] des fonctions ''r ''correspondantes)<ref>{{article|lang=en|nom=Wirsing|prénom=Eduard|année=1986|titre=Thin subbases|revue=Analysis|vol=6|p.=285-308 }}</ref>.

En 1990, Erdős et Tetali ont étendu le résultat de 1956 d'Erdős à des bases d'ordre arbitraire<ref>{{article|lang=en|nom=Erdős|prénom=Paul|nom2=Tetali|prénom2=Prasad|année=1990|titre=Representations of Integers as the Sum of ''k ''Terms|revue=Random Structures Algorithms|vol=1|numéro=3|p.=245-261|url=http://people.math.gatech.edu/~tetali/PUBLIS/et.pdf}}</ref>.

En 2000, [[Van H. Vu]] a démontré que les bases [[Problème de Waring|de Waring]] possèdent des sous-bases « fines », à l'aide de la [[méthode du cercle de Hardy-Littlewood]] et de ses résultats de concentration polynomiale<!--kézaco?sais même pas si "ses" se rapporte à Vu ou à la méthode--><ref>{{article|lang=en|nom=Vu|prénom=Van. H.|année=2000|titre=On a refinement of Waring's problem|lien périodique=Liste des journaux scientifiques en mathématiques#D|revue=Duke Math. J.|vol=105|numéro=1|p.=107-134|url=http://www.math.rutgers.edu/~vanvu/papers/numbertheory/thinwaring.pdf}}</ref>.

En 2006, [[Peter Borwein|Borwein]], Choi et Chu ont démontré que pour toute base ''B ''d'ordre 2, sup(''r''{{ind|2,''B''}}(''n'')) ≥ 8<ref>{{article|lang=en|nom=Borwein|prénom=Peter|nom2=Choi|prénom2=Stephen|nom3=Chu|prénom3=Frank|année=2006|titre=An old conjecture of Erdős-Turán on additive bases|lien périodique=Liste des journaux scientifiques en mathématiques#M|revue=Math. Comp.|vol=75|numéro=253|p.=475-484|url=http://www.ams.org/journals/mcom/2006-75-253/S0025-5718-05-01777-1/}}</ref>{{,}}<ref>{{Ouvrage|langue=en|prénom1=Yao|nom1=Xiao|titre=On the Erdős-Turán Conjecture and Related Results|sous-titre=Master of Mathematics Thesis inPure Mathematics|éditeur=[[Université de Waterloo|Univ. Waterloo]]|année=2011|lire en ligne=http://hdl.handle.net/10012/6150}}</ref>.

== Notes et références ==
{{Traduction/Référence|en|Erdős–Turán conjecture on additive bases|490594589|type=note}}
{{Reflist}}

{{Portail|théorie des nombres}}

{{DEFAULTSORT:Conjecture d'Erdos-Turan sur les bases additives}}
[[Catégorie:Théorie analytique des nombres]]
[[Catégorie:Conjecture non résolue|Erdos-Turan]]