Voir la source de Conjecture d'Erdős sur les progressions arithmétiques


{{Confusion||texte=Ne doit pas être confondu avec la [[conjecture d'Erdős-Turán sur les bases additives]] ni avec la [[Théorème de Szemerédi|conjecture d'Erdős-Turán démontrée par Szemerédi]].}}
En [[mathématiques]], plus précisément en [[combinatoire|combinatoire arithmétique]], la '''[[conjecture]] d’[[Paul Erdős|Erdős]] sur les progressions arithmétiques''' peut s’énoncer de la manière suivante. 

{{Énoncé|Soit <math>(x_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> une suite d’entiers strictement positifs ; si la série <math>\sum_{n\geq 0} \frac{1}{x_n}</math> diverge, alors pour tout entier positif <math>N</math>, on peut extraire de <math>(x_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> une [[suite arithmétique]] de longueur <math>N</math>.}}

Elle généralise la conjecture d'Erdős-Turán qui, elle, a été résolue (et s'appelle désormais le [[théorème de Szemerédi]]).

Erdős a proposé un prix de {{unité|3000|[[Dollar américain|USD]]}} à qui prouvera cette conjecture<ref>{{article|langue=en|nom=Bollobás|prénom=Béla|lien auteur=Béla Bollobás|année=1988|mois=3|titre=''To Prove and Conjecture: Paul Erdős and His Mathematics''|lien périodique=American Mathematical Monthly|revue=Amer. Math. Month.|vol=105|numéro=3|p.=233}}.</ref>.

Le [[théorème de Green-Tao]] sur les [[suite arithmétique|suites arithmétiques]] de [[nombres premiers]] est un cas particulier de cette conjecture.
==Historique==

En 1936, [[Paul Erdős|Erdős]] et [[Pál Turán|Turán]] énoncèrent la conjecture plus faible selon laquelle tout ensemble d'entiers avec une [[densité asymptotique]] positive contient un nombre infini de progressions arithmétiques à 3 termes<ref name="erdos turan">{{article|lien auteur1=Paul Erdős|prénom1=Paul|nom1=Erdős|lien auteur2=Pál Turán|prénom2=Paul|nom2=Turán|titre=On some sequences of integers|journal=[[Journal of the London Mathematical Society]]|volume=11|numéro=4|année=1936|pages=261–264|url=http://www.renyi.hu/~p_erdos/1936-05.pdf|doi=10.1112/jlms/s1-11.4.261}}.</ref>. Elle fut démontrée par [[Klaus Roth]] en 1952, et généralisée à des progressions de longueur arbitraire par [[Endre Szemerédi|Szemerédi]] en 1975, résultat désormais connu sous le nom de [[théorème de Szemerédi]]. 

Dans une conférence de 1976 intitulée « En mémoire de mon ami et collaborateur d'une vie, Pál Turán », Paul Erdős offrit un prix de 3000 $ pour une preuve de cette conjecture<ref>''Problems in number theory and Combinatorics'', in Proceedings of the Sixth Manitoba Conference on Numerical Mathematics (Univ. Manitoba, Winnipeg, Man., 1976), ''Congress. Numer.'' XVIII, 35–58, Utilitas Math., Winnipeg, Man., 1977</ref> ; prix porté par la suite à 5000 $<ref>p. 354, Soifer, Alexander (2008); ''[[The Mathematical Coloring Book|The Mathematical Coloring Book: Mathematics of Coloring and the Colorful Life of its Creators]]''; New York: Springer. {{isbn|978-0-387-74640-1}}</ref>.

==Progrès et résultats liés ==
La conjecture d'Erdős était une tentative de généraliser la conjecture correspondante sur les suites de nombres premiers en progression arithmétique (la [[série des inverses des nombres premiers]] étant divergente).  Cette conjecture plus faible est devenu en 2008 le [[théorème de Green-Tao]]<ref name = "delahaye">{{Article|langue = français|titre = À la recherche de l'ordre caché|auteur = [[Jean-Paul Delahaye]]|périodique = [[Pour la Science]]|numéro = 553|mois = novembre|année = 2023}}.</ref>.

La conjecture plus faible selon laquelle  la suite <math>(x_n)</math> doit contenir une infinité de progressions arithmétiques de longueur 3<ref>Une seule progression suffit, car on réapplique alors le résultat à la suite tronquée à partir de cette progression</ref> est désormais démontrée : c'est une conséquence d'une amélioration d'une des bornes du théorème de Roth, obtenue en 2020 par Bloom et Sisask<ref name = "delahaye"/>{{,}}<ref>{{article|langue= |auteur1= |prénom1=Thomas F. |nom1=Bloom |prénom2=Olof |nom2=Sisask |titre=Breaking the logarithmic barrier in Roth's theorem on arithmetic progressions |périodique=arXiv |année=2020 |date=juillet 2020 |issn= |arxiv=2007.03528 |lire en ligne= |pages= }}</ref> (Bloom avait déjà obtenu une amélioration de cette borne en 2016, mais encore insuffisante pour prouver la conjecture<ref>{{article| nom=Bloom | prénom=Thomas F. | titre=A quantitative improvement for Roth's theorem on arithmetic progressions | arxiv=1405.5800 | année=2016 | numéro=3 | volume=93 | pages=643–663 | journal=Journal of the London Mathematical Society |collection=Second Series | mr=3509957 | doi=10.1112/jlms/jdw010}}</ref>).

== Bibliographie ==
* {{article|prénom=P.|nom=Erdős|titre=Résultats et problèmes en théorie de nombres|revue=Séminaire Delange-Pisot-Poitou (Théorie des nombres)|année=14{{e}} année : 1972/1973|numéro=2., Exp. N° 24 (7 p.)|url=http://www.renyi.hu/~p_erdos/1973-24.pdf}}
* {{chapitre|langue=en|prénom=P.|nom1=Erdős|titre=Problems in number theory and combinatorics|titre ouvrage=Proc. Sixth Manitoba Conf. on Num. Math.|collection=Congress Numer.|numéro dans collection=18|année=1977|passage=35-58}}
* {{article|langue=en|prénom=P.|nom=Erdős|titre=On the combinatorial problems which I would most like to see solved|lien périodique=Combinatorica|revue=Combinatorica|vol=1|année=1981|p.=25-42|doi=10.1007/BF02579174}}

== Notes et références ==
<references/>
{{Traduction/Référence|en|Erdős conjecture on arithmetic progressions|976858740|type=note}}

{{Portail|théorie des nombres}} 

{{DEFAULTSORT:Conjecture d'Erdos sur les progressions arithmetiques}}

[[Catégorie:Combinatoire]]
[[Catégorie:Conjecture non résolue|Erdos]]