Voir la source de Conjecture de Goldbach

[[Image:Goldbach partitions of the even integers from 4 to 50 rev2.svg|thumb|upright=1.6|Illustration graphique de la conjecture de Goldbach sur les nombres pairs de 4 à 50.]]

La '''[[conjecture]] de Goldbach''' est l'assertion mathématique qui s’énonce comme suit :

{{énoncé|Conjecture de Goldbach, version originale|Tout [[Entier naturel|nombre entier]] [[Parité (arithmétique)|pair]] supérieur à 3 peut s’écrire comme une [[Somme (arithmétique)|somme]] de deux [[nombre premier|nombres premiers]].}}

Formulée en 1742 par [[Christian Goldbach]], c’est l’un des plus vieux problèmes non résolus de la [[théorie des nombres]] et des [[mathématiques]]. Il partage avec l'[[hypothèse de Riemann]] et la conjecture des [[nombres premiers jumeaux]] le numéro 8 des [[problèmes de Hilbert]], énoncés par [[David Hilbert|celui-ci]] en 1900.

La figure ci-contre montre les solutions de l’équation 2N = p + q représentées par des ronds, où 2N est un nombre pair entre 4 et 50, et p et q sont deux nombres premiers : les nombres 2N sont représentés par les lignes horizontales et les nombres premiers p et q sont représentés par les lignes inclinées rouges et bleues. La conjecture de Goldbach correspond au fait qu’aussi loin qu’on prolonge la figure vers le bas, toute ligne horizontale grise contiendra au moins un rond :
<center>
{|
|-
| align="right" | 4  || = ||2 + 2 || || || ||  (1 solution)
|-
| align="right" | 6  || = ||3 + 3 || || || || (1 solution)
|-
| align="right" | 8  || =  || 3 + 5  || || || || (1 solution)
|-
| align="right" | 10  || =  || 3 + 7     || = 5 + 5 || || || (2 solutions)
|-
| align="right" | 12   || =  ||  5 + 7 || || || || (1 solution)
|-
| align="right" | 14 ||  =  ||  3 + 11 || = 7 + 7 || || || (2 solutions)
|-
|               |    || <math>\vdots</math> || ||
|-
| align="right" | 50 ||  = || 19 + 31 || = 13 + 37 || = 7 + 43 || = 3 + 47 || {{nobr|(4 solutions)}}
|}
</center>

La conjecture de Goldbach est un cas particulier d’une conjecture liée à l’[[hypothèse H de Schinzel]].

== Origine ==
[[Image:Letter Goldbach-Euler.jpg|thumb|right|Lettre de 1742 à Euler dans laquelle Goldbach introduit sa conjecture, à la fin de l’ajout en marge : « Es scheinet wenigstens, daß eine jede Zahl, die größer ist als 2, ein aggregatum trium numerorum primorum sey ».]]
Le {{date|7 juin 1742}}, le [[mathématicien]] [[Prusse|prussien]] [[Christian Goldbach]] écrit au mathématicien [[suisse]] [[Leonhard Euler]] une lettre à la fin de laquelle il propose la conjecture suivante :

{{énoncé|Conjecture de Goldbach, version originale|Tout nombre strictement supérieur à 2 peut être écrit comme une somme de trois nombres premiers.}}
(Goldbach admettait 1 comme nombre premier ; la conjecture moderne exclut 1, et remplace donc<ref name=1paspremier>Mais avec ce remplacement, la conjecture moderne est un peu plus forte que l’originale.</ref> 2 par 5.)

Dans sa réponse datée du {{date-|30 juin 1742}}, Euler rappelle à Goldbach que cet énoncé découle d'un énoncé antérieur<ref>En fait, les deux conjectures sont équivalentes : si tout nombre pair supérieur à 2 peut s'écrire comme somme de trois premiers, l'un d'entre eux est nécessairement 2, et alors tout nombre pair supérieur à 0 peut s'écrire comme somme de deux premiers. Notons qu'Euler présente à Goldbach sa version comme étant celle reçue de lui : {{Citation|…so Ew. vormals mit mir communicirt haben, dass nehmlich ein jeder numerus par eine summa duorum numerorum primorum sey…}}, [http://www.math.dartmouth.edu/~euler/correspondence/letters/OO0766.pdf Lettre XLIV].</ref> que Goldbach lui avait déjà communiqué :

{{énoncé|Conjecture de Goldbach|Tout nombre pair peut être écrit comme somme de deux nombres premiers.}}
(Comme précédemment, « nombre » est à prendre au sens « entier strictement supérieur à 0 » et la conjecture moderne remplace<ref name=1paspremier/> 0 par 2.)

Selon une [[conjecture faible de Goldbach|version plus faible de la conjecture]], tout nombre impair supérieur ou égal à 9 est somme de trois nombres premiers impairs.

== Justification heuristique ==
La majorité des [[mathématicien]]s pense que la conjecture de Goldbach est vraie, en se basant surtout sur des considérations [[statistique]]s axées sur la [[théorème des nombres premiers|répartition des nombres premiers]] : plus le nombre est grand, plus il y a de manières disponibles pour le représenter sous forme de somme de deux ou trois autres nombres, et la plus « compatible » devient celle pour laquelle au moins une de ces représentations est constituée entièrement de nombres premiers.

Une version très grossière de l'argument probabiliste [[heuristique (mathématiques)|heuristique]] (pour la forme forte de la conjecture de Goldbach) est la suivante. Le [[théorème des nombres premiers]] affirme qu'un entier {{math|''m''}} sélectionné aléatoirement d'une manière brute possède <math>\tfrac1{\ln m}</math> chance d'être premier. Ainsi, si {{math|''n''}} est un grand entier [[Parité (arithmétique)|pair]] et {{math|''m''}}, un nombre compris entre 3 et {{math|''n''/2}}, alors on peut s'attendre à ce que la probabilité que {{math|''m''}} et {{math|''n – m''}} soient tous deux premiers soit égale à <math>\tfrac1{\ln m \ln (n-m)}</math>. Cet argument heuristique n'est pas rigoureux pour de nombreuses raisons ; par exemple, on suppose que les [[Événement (probabilités)|événements]] que {{math|''m''}} et {{math|''n – m''}} soient premiers sont [[Indépendance (probabilités)|statistiquement indépendants]] l'un de l'autre. Si l'on poursuit quand même ce raisonnement heuristique, on peut estimer que le nombre total de manières d'écrire un grand nombre entier pair {{math|''n''}} comme la somme de deux nombres premiers impairs vaut environ
:<math> \sum_{m=3}^{n/2} \frac1{\ln m} \frac1{\ln (n-m)} \approx \frac n{2 \ln^2 n}.</math>
Puisque cette quantité tend vers l'infini lorsque {{math|''n''}} augmente, on peut s'attendre à ce que tout entier pair suffisamment grand non seulement possède au moins une représentation sous forme de somme de deux nombres premiers, mais en fait en possède beaucoup.

L'argument heuristique ci-dessus est en fait quelque peu imprécis, car il ignore certaines [[Corrélation (statistiques)|corrélations]] entre les probabilités que {{math|''m''}} et {{math|''n – m''}} soient premiers. Par exemple, si {{math|''m''}} est impair alors {{math|''n – m''}} aussi, et si {{math|''m''}} est pair alors {{math|''n – m''}} aussi, or les nombres premiers sont tous impairs à part 2. De même, si {{math|''n''}} est divisible par 3 et si {{math|''m''}} est déjà un nombre premier distinct de 3, alors {{math|''n – m''}} est aussi [[premiers entre eux|premier avec]] 3 donc sa probabilité d'être premier est légèrement supérieure à celle d'un entier quelconque. En poursuivant ce type d'analyse avec plus de soin, [[Godfrey Harold Hardy|Hardy]] et [[John Edensor Littlewood|Littlewood]] conjecturèrent en 1923 (c'est une partie de la célèbre ''conjecture des {{math|n}}-uplets premiers de Hardy-Littlewood'') que pour tout {{math|''c''&nbsp;≥&nbsp;2}}, le nombre de représentations d'un grand entier {{math|''n''}} sous la forme de somme de {{math|''c''}} premiers <math>n=p_1+ \cdots +p_c</math> avec <math>p_1 \leq \ldots \leq p_c</math> devrait être [[équivalent]] à
{{Retrait|<math>\left(\prod_p\frac{p \gamma_{c,p}(n)}{(p-1)^c}\right)\int\limits_{2\le x_1\le\ldots\le x_c\atop x_1+\ldots+x_c=n}\frac{\mathrm dx_1\ldots\mathrm dx_{c-1}}{\ln x_1\ldots\ln x_c}</math>}}
où le produit porte sur tous les nombres premiers {{math|''p''}}, et <math>\gamma_{c,p}(n)</math> est le nombre de solutions de l’équation <math>n\equiv q_1 + \cdots + q_c \mod p</math> en [[Congruence sur les entiers|arithmétique modulaire]], soumise aux [[Contrainte (mathématiques)|contraintes]] <math>q_1,\ldots,q_c\not\equiv 0 \mod p</math>. Cette formule [[Développement asymptotique|asymptotique]] a été démontrée pour {{math|''c''&nbsp;≥&nbsp;3}} à partir du travail de [[Ivan Matveevich Vinogradov|Vinogradov]], mais est encore à l'état de conjecture pour {{math|1=''c'' = 2}}. Dans ce dernier cas, l'expression ci-dessus est nulle lorsque {{math|''n''}} est impair, et lorsque {{math|''n''}} est pair elle se simplifie en
{{Retrait|<math>2\Pi_2\left(\prod\limits_{p|n\atop p\ge3}\frac{p-1}{p-2}\right)\int_2^n\frac{\mathrm dx}{\ln^2x}\approx2\Pi_2\left(\prod\limits_{p|n\atop p\ge3}\frac{p-1}{p-2}\right)\frac n{\ln^2n},</math>}}
où <math>\Pi_2</math> est la [[Nombres premiers jumeaux#La conjecture de Hardy-Littlewood|constante des nombres premiers jumeaux]]
{{Retrait|<math>\Pi_2=\prod_{p\ge3}\left(1-\frac1{(p-1)^2}\right)=0{,}660~161~815~8\ldots.</math>}}
Cette formule asymptotique est quelquefois appelée ''conjecture étendue de Goldbach''. La conjecture forte de Goldbach est en fait très similaire à celle des [[nombres premiers jumeaux]], et les deux conjectures sont présumées de difficultés comparables.

== État des recherches ==

=== Théorèmes apparentés ===
Dans le cadre de recherches en vue de démontrer la conjecture de Goldbach, plusieurs théoriciens des nombres ont abouti à des théorèmes plus faibles que la conjecture. Le tableau suivant présente quelques étapes significatives de ces recherches. La mention '''f''' indique les théorèmes en rapport avec la [[conjecture faible de Goldbach]], « tout nombre impair supérieur ou égal à 9 est somme de trois nombres premiers impairs. » :

{|class="wikitable"
|-
! Année !! Auteurs !!  colspan=2 | Théorème !! Détails 
|-
| align="center" |1920 || align="center" | [[Viggo Brun]] ||   || Tout entier pair assez grand est somme de deux entiers composés chacun de 9 facteurs premiers au plus. ||  
|-
| align="center" |1923 || align="center" | [[Godfrey Harold Hardy|Hardy]] et [[John Edensor Littlewood|Littlewood]] ||  '''f'''   || En supposant vraie une certaine généralisation de l'[[hypothèse de Riemann]], tout nombre impair assez grand est somme de trois nombres premiers<ref>Autrement dit : sous l'hypothèse indiquée, la [[conjecture faible de Goldbach]] est valable pour tout nombre impair assez grand.</ref>. ||  
|-
| align="center" |1924 || align="center" | [[Hans Rademacher]] ||      || Tout entier pair assez grand est somme de deux entiers composés chacun de 7 facteurs premiers au plus. ||  
|-
| align="center" |1931 || align="center" | [[Lev Schnirelmann]] ||    ||  Tout entier > 1 est somme de 20 nombres premiers au plus. ||   
|-
| align="center" |1937 || align="center" | [[Ivan Matveevich Vinogradov|Ivan Vinogradov]]  ||   '''f'''   || Tout entier impair assez grand est somme de trois nombres premiers. <br /><small>Corollaire :</small> Tout entier pair assez grand est somme de quatre nombres premiers. || align="center" |<small>{{loupe|Théorème de Vinogradov}}</small>
|-

| align="center" |1937 || align="center" |{{Lien|langue=en|fr=Nikolai Chudakov}}<ref>{{article|nom1=Chudakov |prénom=Nikolai G. |année=1937 |titre=On the Goldbach problem |lien périodique=Doklady Akademii Nauk|revue=Doklady Akademii Nauk SSSR|vol=17|p.=335-338}}.</ref> ||   rowspan=3 |   || rowspan=3 | Presque tout entier pair est somme de deux nombres premiers<ref>D’après le travail de Vinogradov, et dans le sens que la proportion des nombres pairs qui peuvent s’écrire sous cette forme tend vers 1.</ref>. ||  rowspan=3 |
|-

| align="center" |1938 || align="center" | {{nobr|[[Johannes van der Corput]]}}<ref>{{article |langue=en|nom1=Van der Corput |prénom=J. G. |titre=Sur l’hypothèse de Goldbach |journal=Proc. Akad. Wet. Amsterdam |volume=41 |année=1938 |pages=76-80 }}.</ref>  
|-

| align="center" |1938 || align="center" |[[Theodor Estermann]]<ref>{{article |langue=en|nom1=Estermann |prénom=T. |titre=On Goldbach’s problem: proof that almost all even positive integers are sums of two primes |journal=Proc. London Math. Soc. |série=2 |volume=44 |année=1938 |pages=307-314 |doi=10.1112/plms/s2-44.4.307}}.</ref>   
|-

| align="center" |1947 || align="center" | [[Alfréd Rényi]] ||     || Il existe une constante K telle que tout entier pair est somme d’un nombre premier et d’un nombre ayant au plus K facteurs premiers. ||  
|-

| align="center" |1951 || align="center" |[[Yuri Linnik]]||     || Il existe une constante K telle que tout entier pair assez grand est somme de deux nombres premiers et d’au plus K puissances de 2. ||  
|-

| align="center" |1966 || align="center" | [[Chen Jingrun]] ||      || Tout entier pair assez grand est somme d’un nombre premier et d’un nombre ayant au plus deux facteurs premiers.|| <small>{{loupe|Théorème de Chen}}</small> 
|-

| align="center" |1975 || align="center" |[[Hugh Montgomery]]<br />et<br />[[Robert Charles Vaughan]]||      || La plupart des entiers pairs sont la somme de deux nombres premiers<ref>Plus précisément, il existe deux constantes positives ''c'' et ''C'' telles que, pour tout nombre ''N'' assez grand, tout entier pair inférieur à ''N'' est somme de deux nombres premiers, avec au plus <math>C N^{1-c}</math> exceptions. En particulier, l’ensemble des entiers pairs qui ne sont pas la somme de deux nombres premiers a pour densité zéro.</ref>.||
|-

| align="center" |1995 || align="center" |[[Olivier Ramaré]]||      || Tout entier pair est somme de six nombres premiers au plus.<br /><small>Corollaire :</small> Tout entier impair est somme de sept nombres premiers au plus. || align="center" |  <small>{{lire en ligne|url=http://www.numdam.org/item?id=ASNSP_1995_4_22_4_645_0}}</small><ref>{{article|lang=en|prénom=O.|nom=Ramaré|titre=On Šnirel'man's constant|lien périodique=École normale supérieure de Pise|revue=Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa Cl. Sci.|vol=22|année=1995|numéro=4|p.=645-706|url=http://www.numdam.org/item?id=ASNSP_1995_4_22_4_645_0}}.</ref>
|-

| align="center" |1997 || align="center" |[[Jean-Marc Deshouillers]], [[Gove Effinger]], [[Herman te Riele]] et [[Dimitri Zinoviev]] ||   '''f'''   || L'[[hypothèse de Riemann généralisée]] implique la conjecture faible de Goldbach. || align="center" |  <small>{{lire en ligne|url=http://www.ams.org/era/1997-03-15/S1079-6762-97-00031-0/S1079-6762-97-00031-0.pdf}}{{pdf}}</small><ref>{{en}} Deshouillers, Effinger, te Riele et Zinoviev, « A complete Vinogradov 3-primes theorem under the Riemann hypothesis », ''Electronic Research Announcements of the American Mathematical Society, '' vol. 3, 1997, p. 99-104.</ref>
|-

| align="center" |2002 || align="center" |[[Roger Heath-Brown]]<br />et {{nobr|Jan-Christoph Schlage-Puchta}} ||      || Le résultat de Linnik (1951) vaut avec K = 13. ||  
|-

| align="center" |2012 || align="center" | [[Terence Tao]] ||  '''f'''   || Tout entier impair > 1 est somme de cinq nombres premiers au plus. <br /><small>Corollaire :</small> résultat d’Olivier Ramaré, 1995.  || align="center" | <small>[https://arxiv.org/pdf/1201.6656.pdf Article détaillé (preuve en cours de vérification)]</small> 
|-

| align="center" |2013 || align="center" | [[Harald Helfgott]] ||   '''f'''  || Tout entier impair > 5 est somme de trois nombres premiers. <br /><small>Corollaire :</small> résultat de Terence Tao, 2012.  || align="center" | <small>Exposé au [[Congrès international des mathématiciens|CIM 2014]]<ref>{{chapitre|langue=en|auteur=Harald Andrés Helfgott|titre=The ternary Goldbach problem|auteurs ouvrage= Sun Young Jang, Young Rock Kim, Dae-Woong Lee and Ikkwon Yie (eds.)| titre ouvrage=Proceedings of the International Congress of Mathematicians, Seoul, 2014|date=|volume=2|éditeur= Kyung Moon| passage=391-418|lire en ligne=}}</ref>.</small> 
|-
|}

=== Vérifications numériques ===
[[Fichier:Goldbach-1000000.png|thumb|upright=1.6|La [[comète de Goldbach]] est le graphe du nombre de façons d’écrire un entier ''n'' pair comme somme de deux nombres premiers (ici, 4 ≤ ''n'' ≤ 1 000 000).]]
En 2014, les vérifications numériques publiées conduisent aux conclusions suivantes :
* la conjecture de Goldbach est vérifiée pour tous les entiers pairs jusqu’à 4×10{{exp|18}} (Tomás Oliveira e Silva, Siegfried Herzog et Silvio Pardi<ref>{{Article|lang=en|auteur=Tomás Oliveira e Silva|auteur2=Siegfried Herzog|auteur3=Silvio Pardi|titre=Empirical verification of the even Goldbach conjecture and computation of [[écart entre nombres premiers|prime gaps]] up to 4.10{{18}}|revue=[[Liste des journaux scientifiques en mathématiques#M|Math. Comp.]]|vol=83|année=2014|p.=2033-2060|doi=10.1090/S0025-5718-2013-02787-1|url=http://www.ams.org/editflow/editorial/uploads/mcom/accepted/120521-Silva/120521-Silva-v2.pdf}}.</ref>) ;
* la conjecture faible de Goldbach est vérifiée pour tous les entiers impairs jusqu’à 8,875×10{{exp|30}} (H. A. Helfgott et David J. Platt<ref>{{Article|lang=en|auteur=H. A. Helfgott|auteur2=David J. Platt|titre=Numerical Verification of the Ternary Goldbach Conjecture up to 8.875.10{{exp|30}}|arxiv=1305.3062|revue=[[Experimental Mathematics|Exper. Math.]]|vol=22|numéro=4|année=2013|p.=406-409|doi=10.1080/10586458.2013.831742}}.</ref>).

== Dans la culture ==
* En [[2007 au cinéma|2007]], [[Luis Piedrahita]] et Rodrigo Sopeña produisent le film espagnol ''[[La Cellule de Fermat]]'' (''{{Lang|es|La Habitación de Fermat}}'') mettant en scène un jeune mathématicien qui affirme faussement avoir démontré la conjecture et un vieux mathématicien qui, lui, l'aurait démontrée.
* Le roman ''[[Oncle Petros et la Conjecture de Goldbach]]'' {{détail des éditions|Référence:Oncle Petros et la conjecture de Goldbach}}, d'[[Apóstolos Doxiádis]], raconte l'histoire fictive d'un mathématicien ayant consacré sa vie professionnelle à la seule conjecture de Goldbach, gaspillant ainsi ses ressources intellectuelles et se mettant lui-même à l'écart de la vie scientifique et de sa famille. Le roman en profite surtout pour fournir un éclairage culturel sur quelques mathématiciens et logiciens du début du siècle ([[Kurt Gödel]], [[Alan Turing]], [[Srinivasa Ramanujan]], [[Godfrey Harold Hardy]]…) et les rapports entre leurs différents travaux.
* Afin de faire de la publicité pour le livre de Doxiádis, l'éditeur britannique Tony Faber offrit en 2000 un prix d'un million de dollars américains pour une preuve de la conjecture. Le prix ne pouvait être attribué qu'à condition que la preuve soit soumise à publication avant {{date-|avril 2002}}. Il n'a jamais été réclamé.
* Le roman ''[[Le Théorème du Perroquet]]'', de [[Denis Guedj]], met en scène un mathématicien qui, au fond de l'Amazonie, réussit à démontrer la conjecture de Goldbach. Refusant de la livrer à l'humanité, il se suicide en brûlant ses recherches. Mais avant, il la fait apprendre par son perroquet. Des mafieux veulent s'approprier l’oiseau mais ce dernier reste muet. Excédés, ils l'abattent. Le roman se termine dans la forêt où le perroquet, blessé, récite la démonstration aux autres animaux. Elle demeure ainsi inconnue des humains.
* Le film ''[[Le Théorème de Marguerite]]'' ([[2023 au cinéma|2023]]) d'[[Anna Novion]] présente une [[Normalien|normalienne]], Marguerite, qui travaille sur la résolution d'un pan de la conjecture de Goldbach<ref>{{Lien web |auteur=Odile Morain |titre=''Le Théorème de Marguerite'' : Jean-Pierre Darroussin et Ella Rumpf dans la folie créatrice des maths |url=https://www.francetvinfo.fr/culture/cinema/sorties-de-films/le-theoreme-de-marguerite-jean-pierre-darroussin-et-ella-rumpf-dans-la-folie-creatrice-des-maths_6147984.html |site=Franceinfo |date=2023-10-29 |consulté le=2023-11-04}}</ref>.

== Notes et références ==
{{Traduction/Référence|en|Goldbach's conjecture|7581026|type=note}}
{{Références}}

== Voir aussi ==
=== Articles connexes ===
* [[Conjecture de Polignac]]
* [[Constante de Schnirelmann]]
* {{Lien|langue=en|trad=Waring–Goldbach problem|fr=Problème de Waring-Goldbach}}

=== Liens externes ===
{{Liens}} 
* [http://ntassara.free.fr/sr/ Projet de calcul distribué des nombres de Goldbach]
* {{en}} Chris Caldwell, ''[http://www.utm.edu/research/primes/glossary/GoldbachConjecture.html Goldbach’s conjecture]'', sur le site ''[[Pages de nombres premiers|Prime Pages]]''
<!--lien mort le 26/4/2011 *{{en}} Anjana Ahuja, [http://www.times-archive.co.uk/news/pages/tim/2000/03/16/timfeafea02004.html A million-dollar maths question], ''[[The Times]]'', 16 mars 2000-->
* {{lien web<!--|consulté le=12/1/15-->|lang=en|url=http://sweet.ua.pt/tos/goldbach.html|titre=Goldbach conjecture verification|auteur=Tomás Oliveira e Silva}}

{{Palette|Classes de nombres premiers}}
{{portail|théorie des nombres}}

[[Catégorie:Arithmétique]]
[[Catégorie:Conjecture non résolue|Goldbach]]
[[Catégorie:Nombre premier]]