Voir la source de Conjecture de Poincaré

La '''conjecture de Poincaré''' est une [[conjecture]] [[mathématiques|mathématique]] du domaine de la [[topologie algébrique]] portant sur la [[Caractérisation (mathématiques)|caractérisation]] d'une [[Variété (géométrie)|variété]] particulière, la [[3-sphère|sphère de dimension trois]] ; elle fut démontrée en 2002 par le Russe [[Grigori Perelman]]. On peut ainsi également l'appeler '''théorème de Perelman'''.

Elle faisait jusqu'alors partie des [[problèmes de Smale]] et des sept « [[problèmes du prix du millénaire]] » recensés et mis à prix en 2000 par l'[[Institut de mathématiques Clay]]<ref>{{en}} [http://www.claymath.org/millennium-problems/poincar%C3%A9-conjecture Description de la conjecture de Poincaré par l'institut de mathématiques Clay].</ref>. En 2006, cette démonstration a été validée par l'attribution à [[Grigori Perelman]] d'une [[médaille Fields]], qu'il a d'ailleurs refusée ; de plus, en {{date-|mars 2010}}, l'institut Clay lui a officiellement décerné le [[Problèmes du prix du millénaire|prix du millénaire]], qu'il a également refusé, en raison du refus de décerner également le prix à [[Richard S. Hamilton]], dont le travail a servi de fondation au théorème de Perelman<ref>{{lien web|url=https://www.la-croix.com/Actualite/Monde/Le-mathematicien-Perelman-refuse-un-prix-d-un-million-de-dollars-_NG_-2010-07-02-553777 |auteur1=[[Agence France-Presse|AFP]]|titre=Le mathématicien Perelman refuse un prix d'un million de dollars |périodique=[[La Croix]]|date=2 juillet 2010}}.</ref>.

== Historique ==
=== Formulation ===
La question fut posée pour la première fois par [[Henri Poincaré]] dans son article de 1904, « Cinquième complément à l'''[[Analysis situs (article)|Analysis Situs]]'' », et peut s'énoncer aujourd'hui ainsi :
:Toute [[3-variété]] [[Compacité (mathématiques)|compacte]] sans bord et [[Connexité simple|simplement connexe]] est-elle [[homéomorphisme|homéomorphe]] à la [[3-sphère]] ?

Dans sa formulation originale de 1904 :
{{citation|Est-il possible que le groupe fondamental de V se réduise à la substitution identique, et que pourtant V ne soit pas simplement connexe ?}}{{sfn|Poincaré|1904}} (la terminologie signifiant aujourd'hui {{citation|ne soit pas une sphère}}<ref name="ghys2012">{{article|auteur1=[[Étienne Ghys]]|journal=Dossier [[Pour la science]]|numéro=74|date=janvier 2012|url=https://www.pourlascience.fr/sd/mathematiques/geometriser-l-espace-de-gauss-a-perelman-3455.php|titre=Géométriser l’espace : de Gauss à Perelman}}.</ref>)

Poincaré ajouta en conclusion, avec beaucoup de clairvoyance : {{cita|mais cette question nous entraînerait trop loin}}.

Plus vulgairement, il s'agit de déterminer si « un objet à [[trois dimensions]] » donné possédant les mêmes propriétés que celles d'une sphère 3D (dont notamment toutes les [[lacet (mathématiques)|boucles]] peuvent être « resserrées » en un [[Point (géométrie)|point]]) est bien seulement une [[homotopie|déformation]] d'une sphère tridimensionnelle (la [[sphère]] ordinaire — [[Surface (géométrie analytique)|surface]] dans l'[[espace euclidien|espace]] ordinaire — possède seulement deux dimensions).

Aucune 3-variété sans bord autre que <math>\R^3</math> (l'[[Espace euclidien|espace ordinaire]], non compact) ne peut être ''dessinée'' proprement comme objet dans l'espace ordinaire à trois dimensions. C'est l'une des raisons pour lesquelles il est difficile de visualiser mentalement le contenu de la conjecture.

=== Démonstration ===
Vers la fin de l'année 2002, des publications sur [[arXiv]]<ref>{{en}} G. Perelman, ''{{Lang|en|The entropy formula for the Ricci flow and its geometric applications}}'', 2002. {{arxiv|math.DG/0211159}}.</ref>{{,}}<ref>{{en}} G. Perelman, ''{{Lang|en|Ricci flow with surgery on three-manifolds}}'', 2003. {{arxiv|math.DG/0303109}}.</ref>{{,}}<ref>{{en}} G. Perelman, ''{{Lang|en|Finite extinction time for the solutions to the Ricci flow on certain three-manifolds}}'', 2003. {{arxiv|math.DG/0307245}}.</ref> de [[Grigori Perelman]], de l'[[Institut de mathématiques Steklov]] de [[Saint-Pétersbourg]], laissent penser qu'il pourrait avoir trouvé une preuve de la « [[Géométrisation des 3-variétés|conjecture de géométrisation]] » (voir [[#Éléments liés à la preuve de la conjecture|ci-dessous]]), mettant en œuvre [[Programme de Hamilton|un programme décrit plus tôt]] par [[Richard S. Hamilton]]. En 2003, il publia un deuxième rapport et donna une série de conférences aux [[États-Unis]]. En 2006, un consensus d'experts a conclu que le travail récent de Perelman en 2003 résolvait ce problème<ref>{{en}} [[Bruce Kleiner]] et {{Lien|John Lott}}, ''{{Lang|en|Notes on Perelman's papers}}'', 2006. {{arxiv|math.DG/0605667}}.</ref>{{,}}<ref>{{en}} [[John Morgan (mathématicien)|John Morgan]] et [[Gang Tian]], ''{{Lang|en|Ricci flow and the Poincare conjecture}}'', 2006. {{arxiv|math.DG/0607607}}.</ref>{{,}}<ref>{{Article|langue=en|url=https://projecteuclid.org/euclid.ajm/1154098947|titre=A Complete Proof of the Poincaré and Geometrization Conjectures - application of the Hamilton-Perelman theory of the Ricci flow|auteur=[[Huai-Dong Cao]]|auteur2={{Lien|Xi-Ping Zhu}}|revue=[[Asian Journal of Mathematics]]|volume=10|numéro=2|date=juin 2006|pages=165-492|zbl=1200.53057|math reviews=2233789}}.</ref>, près d'un siècle après son premier énoncé. Cette reconnaissance a été annoncée officiellement lors du [[congrès international des mathématiciens]] le 22 août 2006 à [[Madrid]] au cours duquel la [[médaille Fields]] lui a été décernée conjointement avec trois autres mathématiciens. Cependant Perelman a refusé la médaille, et laissé entendre qu'il refuserait également le [[Problèmes du prix du millénaire|prix Clay]]. Ce prix lui a été décerné le 18 mars 2010<ref>{{en}} [http://www.claymath.org/sites/default/files/millenniumprizefull.pdf Communiqué de presse] de l'[[Institut de mathématiques Clay]].</ref>{{,}}<ref>{{Lien web|url=https://www.rtl.be/art/info/monde/france/maths-un-russe-recompense-pour-la-conjecture-de-poincare-157843.aspx|titre=Maths: un Russe récompensé pour la conjecture de Poincaré|date=18/3/2010|éditeur=[[RTL Info (RTL-TVI)]]|auteur1=[[Agence France-Presse|AFP]]}}.</ref>, prix accompagné d'une récompense d'un million de dollars, et il l'a effectivement refusé. D'après [[Aleksandr Zabrovsky]], qui prétend avoir obtenu de lui une interview, il aurait déclaré au journal ''Komsomolskaïa Pravda'' le {{date-|29 avril 2011}} :
{{citation bloc|Pourquoi ai-je mis tant d'années pour résoudre la conjecture de Poincaré ? J'ai appris à détecter les vides. Avec mes collègues, nous étudions les mécanismes visant à combler les vides sociaux et économiques. Les vides sont partout. On peut les détecter et cela donne beaucoup de possibilités… Je sais comment diriger l'Univers. Dites-moi alors, à quoi bon courir après un million de dollars ?}}

Mais cette affirmation de Zabrovsky est controversée, plusieurs journalistes niant l'authenticité de cette interview<ref>{{lien web|url=http://www.snob.ru/selected/entry/34911|titre=6 странных ошибок в "интервью Перельмана"|auteur=Masha Gessen|website=Snob.ru|date=29 avril 2011|consulté le=8 mai 2012|archiveurl=//web.archive.org/web/20121017224115/http://www.snob.ru/selected/entry/34911|archivedate=17 octobre 2012|deadurl=no}}.</ref>{{,}}<ref>{{Lien web|consulté le=25 décembre 2012|date=5 mai 2011|url=http://www.versii.com/news/231050/|titre=Интервью Перельмана - подделка?|traduction titre=Interview with Perelman - fake?|site=Versii.com|archiveurl=//web.archive.org/web/20121226235256/http://www.versii.com/news/231050/|archivedate=26 décembre 2012|deadurl=no}}.</ref>{{,}}<ref>{{Lien web|url=http://english.pravda.ru/society/stories/06-05-2011/117816-grigori_perelman-0/|titre=Grigori Perelman's interview full of mismatches|éditeur=English Pravda.ru|date=5 juin 2011|consulté le=25 décembre 2012|archiveurl=//web.archive.org/web/20130122115715/http://english.pravda.ru/society/stories/06-05-2011/117816-grigori_perelman-0/|archivedate=22 janvier 2013|deadurl=no}}.</ref>.

== Éléments liés à la preuve de la conjecture ==

Si la conjecture a induit une longue liste de preuves incorrectes, certaines d'entre elles ont toutefois mené à une meilleure compréhension de la [[topologie]] en petites dimensions.

Sa résolution est liée au problème de classification des variétés de dimension 3. Une classification des variétés de dimension 3 est généralement considérée comme la production d'une liste de toutes les variétés de dimension 3 à un homéomorphisme près (sans répétition).

Une telle classification est équivalente à un algorithme de reconnaissance, qui pourrait vérifier si deux variétés de dimension 3 sont homéomorphes ou pas.

On peut ainsi considérer la conjecture de Poincaré comme un cas particulier de la [[Géométrisation des 3-variétés|conjecture de géométrisation]] de [[William Thurston|Thurston]].
Cette dernière conjecture, une fois prouvée (ce qu'a fait Perelman en 2003), achève la question de la classification des variétés de dimension 3.

Les seules parties de la conjecture de géométrisation qu'il restait à démontrer après sa formulation par Thurston vers 1980, étaient appelées la conjecture d'« hyperbolisation » et la conjecture d'« elliptisation ».

La conjecture d'« elliptisation » déclare que toute variété de dimension 3 fermée ayant un [[groupe fondamental]] fini a une géométrie sphérique, c'est-à-dire est couverte par la 3-sphère. La conjecture de Poincaré correspond au cas où le groupe fondamental est trivial.

== Problèmes mathématiques reliés ==

Des conjectures analogues à celles de Poincaré dans des dimensions autres que 3 peuvent également être formulées :
:''Toute variété compacte de dimension ''n'' qui est [[homotopie|homotopiquement]] équivalente à la sphère unité est [[homéomorphe]] à la sphère unité.''
La conjecture de Poincaré donnée précédemment apparaît comme le cas particulier ''n'' = 3.

La difficulté de la basse dimension en topologie est accentuée par le fait que tous les résultats analogues avaient été prouvés :
* en dimension ''n'' = 4, de loin la plus difficile<ref>{{harvsp|Milnor|2006|loc={{p.}}75 {{lire en ligne|url={{Google Livres|7wJIPJ80RdUC|page=75}}}}, ou {{p.|4}} du pdf {{lire en ligne|url=https://web.archive.org/web/20230316012205/http://www.claymath.org/sites/default/files/poincare.pdf}}}}.</ref>, par [[Michael Freedman]] en 1982 ;
* en dimension ''n'' = 5, par [[Erik Christopher Zeeman]] en 1961 ;
* en dimension ''n'' = 6, par [[John R. Stallings]] en 1962 ;
* pour ''n'' ≥ 7 par [[Stephen Smale]] en 1961 (il étendit par la suite sa démonstration à tout ''n'' ≥ 5),
alors que la version à trois dimensions originale de la conjecture de Poincaré demeurait sans solution.

== Notes et références ==
{{Références}}

== Voir aussi ==

{{Autres projets
| wikinews=Le Russe Grigori Perelman refuse la médaille Fields
}}

=== Article annexe ===

* ''[[Voyages au pays des maths]]''

=== Articles connexes ===

{{colonnes|nombre=2|
* {{Lien|langue=en|trad=Generalized Poincaré conjecture|fr=Conjecture de Poincaré généralisée}}
* {{Lien|langue=en|trad=Borel conjecture|fr=Conjecture de Borel}}
* [[Programme de Hamilton]]
* [[Groupe d'homotopie]]
* [[Liste de conjectures mathématiques]]
* [[Variété topologique]]
}}

=== Bibliographie ===
* {{Article |auteur1=[[Henri Poincaré]]|titre=Cinquième complément à l'Analysis Situs |périodique=[[Circolo Matematico di Palermo|Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo]] |volume=18 |année=1904 |doi=10.1007/bf03014091 |lire en ligne=https://zenodo.org/record/1428448 |pages=45-110}}.
* {{article|langue=en|url=https://www.ams.org/notices/200310/fea-milnor.pdf|auteur1=[[John Milnor]]|titre=Towards the Poincaré Conjecture and the Classification of 3-Manifolds|périodique=[[Notices of the American Mathematical Society]]|date=novembre 2003|volume=50|numéro=10|pages=1226-1233}}.
** {{Article|url=https://web.archive.org/web/20181001033938/http://smf4.emath.fr/Publications/Gazette/2004/99/smf_gazette_99_13-25.pdf|revue=[[Gazette des mathématiciens]]|année=janvier 2004|auteur1=John Milnor|traducteur=Louis Funar et Hervé Pajot|titre=Vers la conjecture de Poincaré et la classification des variétés de dimension 3|volume=99|pages=13-25}}.
* {{Chapitre|langue=en|auteur=[[John Milnor]]|titre=The Poincaré Conjecture|titre ouvrage=The Millennium Prize Problems|auteurs ouvrage=James Carlson ({{dir.}}), [[Arthur Jaffe]] ({{dir.}}) et [[Andrew Wiles]] ({{dir.}})|lieu=Cambridge ({{abrd|MA|Massachusetts}}) et Providence ({{abrd|RI|Rhode Island}})|éditeur=[[Institut de mathématiques Clay]] et [[American Mathematical Society]]|année=2006|pages totales=165 |isbn=0-8218-3679-X|page=71-86 {{lire en ligne|url={{Google Livres|7wJIPJ80RdUC|page=71}}|texte=lire en ligne (Google Livres)}} {{lire en ligne|url=https://web.archive.org/web/20230316012205/http://www.claymath.org/sites/default/files/poincare.pdf|texte=lire en ligne (pdf)}}}}.
* {{Article|auteur1=[[Gérard Besson]]|titre=Preuve de la conjecture de Poincaré en déformant la métrique par la courbure de Ricci|revue=Astérisque|éditeur=[[séminaire Bourbaki]]|nature article=exposé {{n°}}947|année=2006|numéro=307|titre numéro=2004/2005, exposés {{numéros}}938-951|pages=309-348|url=http://www.numdam.org/item/SB_2004-2005__47__309_0|math reviews=2296423|zbl=1181.53055|isbn=978-2-85629-224-2}}.

=== Liens externes ===
* {{Lien web|auteur=Patrick Massot|url=http://images.math.cnrs.fr/La-conjecture-de-Poincare.html|titre=La conjecture de Poincaré|site=[[Images des mathématiques]]|année=2012}}.
* {{Lien web|url=http://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~besson/groupe-travail/perelman|titre=Groupe de travail sur les travaux de Perelman|site=[[Université Joseph-Fourier|Institut Fourier]]}}.
* {{YouTube|id=czY7sp5c_Xs|titre=La conjecture de Poincaré|chaine=[[Arte|ARTE]]}}.

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{{Portail|géométrie}}

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[[Catégorie:Conjecture démontrée|Poincaré]]
[[Catégorie:Variété de dimension 3]]
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