Voir la source de Conjugué

{{Voir homonymes|Conjugaison (homonymie)}}
[[Fichier:Complex conjugate picture.svg|vignette|Représentation géométrique (diagramme d'Argand) de ''z'' et de son conjugué ''z̅'' dans le plan complexe. Le conjugué est obtenu par symétrie par l'axe des réels.]]
En [[mathématiques]], le '''conjugué''' d'un [[nombre complexe]] {{math|''z''}} est le nombre complexe formé de la même [[partie réelle]] que {{math|''z''}} mais de [[partie imaginaire]] opposée.

== Définition ==
Le conjugué <math>a - b{\rm i}</math> d'un nombre complexe <math>z = a + b{\rm i}</math>, où {{math|''a''}} et {{math|''b''}} sont [[nombres réels]], est noté<ref>Norme [[ISO/CEI 80000]]-2 : {{surligner|''z''}} principalement en mathématiques, ''z''* principalement en physique et sciences de l'ingénieur.</ref>{{,}}<ref>{{surligner|''z''}} se lit « z barre ».</ref> <math>\bar z</math> ou <math>z^*</math>. Dans le [[plan complexe|plan]], le point d'[[Plan complexe|affixe]] <math>\bar z</math> est le [[Symétrie axiale|symétrique]] du point d'affixe <math>z\,</math> par rapport à l'[[axe des abscisses]]. Le [[module d'un nombre complexe|module]] du conjugué reste inchangé.

On peut définir une [[application (mathématiques)|application]], appelée conjugaison, par
:<math>\begin{array}{ccc}\Complex& \longrightarrow &\Complex\\ z & \longmapsto & \overline{z} \end{array}</math>
Cette application est ℝ-[[Application linéaire|linéaire]] et [[Continuité (mathématiques)|continue]]. C'est de plus un [[Morphisme d'anneaux|automorphisme du corps]] ℂ.

== Propriétés ==
On prend <math>(z,w)\in \Complex^2</math>.
* <math>\overline{z+w} = \bar z + \bar w</math>
*<math display="inline">\overline{zw} = \bar z \times \bar w</math>
* <math>\overline{\left(\frac{z}{w}\right)} = \frac{\bar z}{\bar w}</math> si {{math|''w''}} est non nul 
* <math>\operatorname{Im}\left(z\right) = 0</math> si et seulement si <math>\bar z = z</math>
* <math>\left|\bar z\right| = \left|z\right|</math>
* <math>z \overline{z} = \left|z\right|^2</math>
* <math>z^{-1} = {\overline{z} \over {\left|z\right|^2}}</math> pour {{math|''z''}} non nul.

== [[Quaternion]]s ==

Le conjugué du quaternion <math>q = a + bi + cj + dk</math> est <math>q^* = a - bi - cj - dk</math>.

=== Propriété ===
* <math>q\cdot q^* = a^2+b^2+c^2+d^2\,</math>
* <math>\frac{1}{q} = \frac{1}{a^2+b^2+c^2+d^2}\cdot q^*\,</math>
* On peut calculer aisément l'inverse d'un quaternion en utilisant les propriétés du quaternion conjugué.

== Algèbre linéaire ==

L'opération de conjugaison peut s'étendre aux [[espace vectoriel complexe|espaces vectoriels complexes]] et à leurs éléments. Elle permet de former des [[espace vectoriel conjugué|espaces vectoriels conjugués]].

==Notes et références==
{{Références}}

{{Portail|théorie des nombres|mathématiques}}

[[Catégorie:Nombre complexe]]