Voir la source de Connexion affine

[[Image:Parallel transport sphere.svg|droite|vignette|Une connexion affine sur la sphère fait rouler le plan affine tangent d'un point à un autre. Dans ce déplacement, le point de contact trace une courbe du plan : le ''développement''.]]
En [[mathématiques]], et plus précisément en [[géométrie différentielle]], une '''connexion affine''' est un objet géométrique défini sur une [[variété différentielle]], qui ''connecte'' des [[espace tangent|espaces tangents]] voisins, et permet ainsi à des [[champ de vecteurs|champs de vecteurs tangents]] d'être [[dérivée|dérivés]] comme si c'étaient des fonctions définies sur la variété et prenant leurs valeurs dans un unique espace vectoriel. La notion de connexion affine prend ses racines dans la géométrie du {{s-|XIX}} et dans le [[calcul tensoriel]], mais ne fut pleinement développée qu'au début des années 1920, par [[Élie Cartan]] (comme cas particulier de {{Lien|langue=en|trad=Cartan connection|fr=Connexion de Cartan|texte=ses connexions}}) et par [[Hermann Weyl]] (qui l'utilisa en partie pour fonder sa description de la [[relativité générale]]). La terminologie est due à Cartan et trouve son origine dans l'identification des espaces tangents dans l'[[espace euclidien]] '''R'''<sup>''n''</sup> par des translations : l'idée est qu'un choix de connexion affine fait ressembler (localement) une variété à un espace euclidien, non seulement de façon différentiable en un point, mais en tant qu'[[espace affine]].

Sur toute variété, on peut définir une infinité de connexions affines. Si la variété est munie d'une [[métrique riemannienne]], il existe un choix naturel de connexion affine, appelée la [[connexion de Levi-Civita]]. Le choix d'une connexion affine est équivalent à définir une façon de dériver les champs de vecteurs qui satisfait plusieurs propriétés raisonnables (la [[linéarité]], ainsi que la [[règle du produit|règle de Leibniz]]). Ceci permet de définir une connexion affine comme une [[dérivée covariante]] ou encore comme une [[connexion de Koszul|connexion]] (linéaire) sur le [[fibré tangent]]. Un choix de connexion affine est aussi équivalent à une notion de [[#Transport parallèle pour les connexions affines|transport parallèle]], c'est-à-dire à un moyen de transporter les vecteurs le long de courbes de la variété. <!-- Passage non nécessaire dans l'intro
; cela définit également un transport parallèle sur le  [[frame bundle]]. Infinitesimal parallel transport in the frame bundle yields another description of an affine connection, either as a [[Cartan connection]] for the [[affine group]] or as a [[connection (principal bundle)|principal connection]] on the frame bundle.-->

Les principaux invariants d'une connexion affine sont sa [[courbure]] et sa [[Tenseur de torsion|torsion]]. La torsion mesure l'erreur commise en remplaçant, dans le [[crochet de Lie]] de deux champs de vecteurs, la [[dérivée de Lie]] par la connexion affine. Les connexions affines peuvent également servir à définir des [[géodésique]]s (affines) sur une variété, généralisant les lignes droites de l'espace euclidien, bien que leur géométrie puisse être très différente de la géométrie usuelle, en raison de la courbure de la connexion.

== Motivations et historique ==

Une [[Variété différentielle|variété de classe C<sup>∞</sup>]] (appelée parfois variété « lisse » ) est un objet mathématique ressemblant localement à une déformation lisse de l'espace euclidien '''R'''<sup>''n''</sup> ; par exemple, une courbe ou une surface lisse ressemble localement à une droite ou à un plan (courbé). Comme dans l'espace euclidien, on peut définir, sur les variétés, la [[classe de régularité]] des fonctions et des [[champs de vecteurs]], et on peut dériver les [[Champ scalaire|fonctions scalaires]] de manière naturelle.

En revanche, si la différentiation des champs de vecteurs se définit de façon naturelle dans un espace euclidien, c'est parce que l'ensemble des vecteurs en un point ''p'' (l'espace tangent en ''p'') peut être identifié naturellement (par translation) avec l'espace tangent en un point voisin ''q''. L'opération de différentiation des champs de vecteurs n'a pas un sens immédiat sur une variété générale faute de disposer d'une telle identification entre espaces tangents proches, et de pouvoir comparer des vecteurs tangents en des points différents (même proches) de façon unique. La notion de connexion affine fut introduite pour résoudre ce problème en privilégiant une façon particulière de ''connecter'' des espaces tangents voisins. Cette idée provient de deux sources principales : la [[géométrie différentielle des surfaces|théorie des surfaces]] et le [[calcul tensoriel]].

=== Motivations venant de la théorie des surfaces ===
{{article détaillé|contenu=Voir aussi : {{Lien|langue=en|trad=Cartan connection|fr=Connexion de Cartan}}}}
Pour une surface régulière ''S'' de l'espace euclidien à 3 dimensions, il existe une façon naturelle de relier les vecteurs tangents en des points voisins. Au voisinage de chaque point, ''S'' peut être approchée par son [[plan tangent]] en ce point, lequel est un [[Espace affine#Sous-espaces affines|sous-espace affine]] de l'espace euclidien. Au {{s-|XIX}}, les géomètres s'intéressaient à la notion de {{Lien|langue=en|trad=Development (differential geometry)|fr=Développement (géométrie différentielle)|texte=développement}}, c'est-à-dire au mouvement d'une surface roulant sur une autre sans pivotement ni glissement. En particulier, le plan tangent en un point de ''S'' peut rouler sur ''S''. Au cours de ce mouvement, le point de contact parcourt une courbe de ''S''. Réciproquement, étant donné une courbe de ''S'', on peut faire rouler le plan tangent le long de cette courbe. Ceci permet d'identifier les plans tangents en différents points de la surface. En particulier, un vecteur tangent à la surface, donc appartenant au plan tangent en un point donné de la courbe, s'identifie à un unique vecteur tangent en n'importe quel autre point de la courbe. Ces identifications définissent toujours une [[transformation affine]] d'un plan tangent vers un autre.

Cette notion de transport parallèle des vecteurs tangents le long d'une courbe, par des transformations affines, a un aspect caractéristique : le point de contact du plan tangent avec la surface, lorsqu'il suit la courbe, ''se déplace dans le plan'' par transport parallèle ; cette condition générique caractérise les {{Lien|langue=en|trad=Cartan connection|fr=Connexion de Cartan|texte=connexions de Cartan}}. Dans une approche plus moderne, le point de contact est pris comme ''origine'' du plan tangent (qui s'identifie alors à un espace vectoriel), autrement dit le mouvement de ce point est corrigé par une translation, ce qui rend le transport parallèle linéaire plutôt qu'affine.

Du point de vue des connexions de Cartan, en revanche, les sous-espaces affines de l'espace euclidien sont des surfaces ''modèles'' : ce sont les surfaces les plus simples de l'espace euclidien (à 3 dimensions), homogènes sous l'action du [[groupe affine]] du plan ; chaque surface lisse a en chaque point une unique surface modèle tangente. Ces surfaces modèles sont des ''géométries de [[Felix Klein|Klein]]'', au sens du [[programme d'Erlangen]]. Plus généralement, un espace affine de dimension ''n'' est une géométrie de Klein pour le groupe affine Aff(''n''), le stabilisateur d'un point étant le [[groupe linéaire]] GL(''n''). Une variété affine de dimension ''n'' est donc une variété qui ressemble, sous un grossissement infini, à un espace affine de dimension ''n''.

=== Motivations venant du calcul tensoriel ===

{{article connexe|Dérivée covariante}}

L'autre motivation des connexions affines vient de la notion de [[dérivée covariante]] des champs de vecteurs. Avant l'apparition de méthodes de calcul n'utilisant pas les coordonnées, il était nécessaire, pour manipuler des champs de vecteurs, d'utiliser leurs [[Composantes d'un vecteur|composantes]] dans des [[carte locale|cartes locales]]. Ces composantes peuvent être dérivées, mais la transformation de ces dérivées dans un changement de coordonnées ne s'exprime pas simplement. Des termes correctifs furent introduits par [[Elwin Bruno Christoffel]] (en s'inspirant d'idées de [[Bernhard Riemann]]) dans les années 1870, de telle sorte que la dérivée (corrigée) d'un champ de vecteurs le long d'un autre se transforme de façon [[Covariant et contravariant|covariante]] par changement de coordonnées — ces termes correctifs devaient par la suite être appelés des [[symbole de Christoffel|symboles de Christoffel]]. Cette idée devait conduire à la théorie du ''calcul différentiel absolu'' (devenu le [[calcul tensoriel]]) développée par [[Gregorio Ricci-Curbastro]] et son élève [[Tullio Levi-Civita]] entre 1880 et le début du {{s-|XX|e}}.

Le calcul tensoriel ne devait cependant prendre son essor qu'avec le développement par [[Albert Einstein]] de sa théorie de la [[relativité générale]] en 1915. Quelques années plus tard, [[Tullio Levi-Civita|Levi-Civita]] formalisa l'unique connexion associée à une métrique riemannienne, connue désormais sous le nom de [[connexion de Levi-Civita]]. Des connexions affines plus générales furent étudiées vers 1919 par [[Hermann Weyl]]<ref>{{Harvsp|id=Weyl|texte=Weyl}}.</ref>, qui développa les fondements mathématiques détaillés de la relativité générale, et par [[Élie Cartan]]<ref name="Cartan-affine">{{Harvsp|Cartan|1923}}.</ref>, qui fit le lien avec les idées géométriques venues de la théorie des surfaces.

=== Approches ===

Cette histoire complexe a conduit au développement d'approches extrêmement variées du concept de connexion affine et de ses généralisations.

La plus populaire est sans doute la définition motivée par les dérivées covariantes. D'une part, les idées de Weyl furent développées par les physiciens sous la forme des [[théorie de jauge|théories de jauge]] et des {{Lien|langue=en|trad=gauge covariant derivative|fr=Dérivée covariante de jauge|texte=dérivées covariantes de jauge}}. D'autre part, [[Jean-Louis Koszul]] donna un cadre abstrait à la notion de dérivation covariante, en définissant des [[connexion de Koszul|connexions]] (linéaires ou de Koszul) sur des [[fibré vectoriel|fibrés vectoriels]]. Dans ce langage, une connexion affine est simplement une [[dérivée covariante]] ou une [[connexion de Koszul|connexion]] (linéaire) sur le [[fibré tangent]].
 
Cependant, cette approche n'explique pas l'aspect géométrique des connexions affines, ni d'ailleurs leur nom<ref>En conséquence, de nombreux mathématiciens utilisent l'expression ''connexion linéaire'' pour les connexions du fibré tangent, puisque le transport parallèle est linéaire et non affine. Cependant, la même propriété est vraie des [[connexion de Koszul|connexions sur un fibré vectoriel]] (qu'il soit de Koszul or d'Ehresmann). Au départ, le terme ''connexion affine'' est une abréviation de ''{{Lien|trad=Cartan connection|connexion de Cartan}} affine'', ce qui suppose que la connexion est définie sur le fibré tangent, plutôt que sur un fibré vectoriel arbitraire. La notion de connexion de Cartan linéaire n'a guère de sens, parce que les représentations linéaires ne sont pas transitives.</ref>. Ce dernier a pour véritable origine l'identification par translation d'espaces tangents dans l'espace euclidien usuel : cette propriété signifie que l'espace euclidien à ''n'' dimensions est un [[espace affine]] (on peut aussi voir l'espace euclidien comme un {{Lien|langue=en|trad=Principal homogeneous space|fr=espace principal homogène}} sous l'action du groupe des translations, lequel est un sous-groupe du groupe affine). Comme on l'a dit dans l'introduction, il y a plusieurs façons de rendre cela précis : on part de ce qu'une connexion affine définit une notion de [[Connexion (mathématiques)|transport parallèle]] de champs de vecteurs le long d'une courbe. Cela définit également un transport parallèle sur le [[fibré des repères]]. Le transport parallèle infinitésimal dans le fibré des repères donne une autre description de la connexion affine, soit comme connexion de Cartan pour le groupe affine Aff(''n''), soit comme GL(''n'')-connexion principale sur le fibré des repères.

== Définition rigoureuse comme opérateur différentiel ==

{{article connexe|Dérivée covariante|Connexion de Koszul}}

Soient ''M'' une [[variété différentielle]] et C<sup>∞</sup>(''M'',''TM'') l'espace des [[champs de vecteurs]] sur ''M'', c'est-à-dire l'espace des [[Section d'un fibré|sections lisses]] du [[fibré tangent]] ''TM''. Une '''connexion affine''' sur ''M'' est une [[application multilinéaire|application bilinéaire]] [[nabla|∇]] :
: <math>\begin{matrix}
C^\infty(M,TM)\times C^\infty(M,TM) & \rightarrow & C^\infty(M,TM)\\
(X,Y) & \mapsto & \nabla_X Y,
\end{matrix}
</math>
telle que pour toutes les fonctions « lisses » (indéfiniment dérivables) ''f'' ∈ ''C''<sup>∞</sup>(''M'','''R''') et tous les champs de vecteurs ''X'', ''Y'' sur ''M'', on ait :
# <math>\nabla_{fX}Y = f\nabla_X Y</math>, c'est-à-dire que ∇ est ''C''<sup>∞</sup>(''M'','''R''')-''linéaire'' en la première variable ;
# <math>\nabla_X (fY) = \mathrm df(X)Y + f\nabla_XY</math>, c'est-à-dire que ∇ vérifie la ''[[règle du produit|règle de Leibniz]]'' pour la seconde variable.

=== Propriétés élémentaires ===

* Il résulte de la propriété (1) ci-dessus que la valeur de ∇<sub>''X''</sub>''Y'' en un point ''x'' ∈ ''M'' dépend seulement de la valeur de ''X'' en ''x'' et non des valeurs de ''X'' sur ''M'' − {''x''}. Il découle aussi de la propriété (2) que la valeur de ∇<sub>''X''</sub>''Y'' en ''x'' ∈ ''M'' ne dépend que des valeurs de ''Y'' sur un voisinage de ''x''.
* Si ∇{{1}} et ∇{{2}} sont des connexions affines, la valeur en ''x'' de ∇{{1}}<sub>''X''</sub>''Y'' − ∇{{2}}<sub>''X''</sub>''Y'' peut s'écrire ''Γ''<sub>''x''</sub>(''X''<sub>''x''</sub>,''Y''<sub>''x''</sub>), où
::''Γ''<sub>''x''</sub>: T<sub>''x''</sub>''M'' × T<sub>''x''</sub>''M'' → T<sub>''x''</sub>''M''
:est bilinéaire et dépend de ''x'' de manière lisse (c'est-à-dire définit un {{Lien|langue=en|trad=Bundle map|fr=morphisme de fibrés}} différentiable). Réciproquement, si ∇ est une connexion affine et ''Γ'' est un morphisme de fibrés différentiable bilinéaire (on dit que c'est une [[forme de connexion]] sur ''M''), alors ∇ + ''Γ'' est une connexion affine.

* Si ''M'' est un ouvert de '''R'''<sup>''n''</sup>, le fibré tangent de ''M'' est le fibré trivial ''M'' × '''R'''<sup>''n''</sup>. Dans ce cas, il y a une connexion affine canonique d sur ''M'' : tout champ de vecteurs ''Y'' est donné par une application ''V'' de ''M'' vers '''R'''<sup>''n''</sup>, et d<sub>''X''</sub>''Y'' est le champ de vecteurs correspondant à la fonction d''V''(''X'')=∂<sub>''X''</sub>''Y'' de ''M'' vers '''R'''<sup>''n''</sup>. Toute autre connexion affine ∇ sur ''M'' peut par conséquent s'écrire ∇ = d +''Γ'', où ''Γ'' est une forme de connexion sur ''M''.
* Plus généralement, une [[trivialisation locale]] du fibré tangent est un {{Lien|langue=en|trad=Bundle map|fr=Morphisme de fibrés|texte=isomorphisme de fibrés}} entre la restriction de T''M'' à un ouvert ''U'' de ''M'', et ''U'' × '''R'''<sup>''n''</sup>. La restriction d'une connexion affine ∇ à ''U'' peut alors s'écrire sous la forme d + ''Γ'', où ''Γ'' est une forme de connexion sur ''U''.

== Transport parallèle pour les connexions affines ==
{{article connexe|Connexion (mathématiques)|Holonomie|Transport parallèle}}
=== Définition ===
[[Image:Connection-on-sphere.png|cadre|Transport parallèle sur une sphère. On part d'un point de l'équateur. On transporte un vecteur tangent à l'équateur, parallèlement à celui-ci vers l'ouest. Puis on le transporte parallèlement à un méridien jusqu'au pôle nord, puis on le transporte parallèlement au méridien du point initial jusqu'à l'équateur. Le vecteur a pivoté par rapport à sa position initiale en raison de la courbure de la sphère.]]
La comparaison de vecteurs tangents en différents points d'une variété n'est pas bien définie en général. Une connexion affine donne un moyen d'y remédier, en utilisant la notion de transport parallèle, et réciproquement, une telle notion permet de définir une connexion.

Soit ''M'' une variété munie d'une connexion affine ∇. Un champ de vecteurs ''X'' est dit '''parallèle''' si ∇''X'' = 0
au sens où, pour tout champ de vecteurs ''Y'', ∇<sub>''Y''</sub> ''X'' = 0. Intuitivement, un champ de vecteurs est donc parallèle si toutes ses dérivées sont nulles, i.e. s'il est « constant » en un certain sens. L'évaluation en deux points ''x'' et ''y'' d'un champ parallèle de vecteurs permet d'identifier un vecteur tangent en ''x'' avec un autre en ''y'' ; de tels vecteurs seront dits '''transportés''' l'un de l'autre.

Malheureusement, des champs parallèles de vecteurs non nuls n'existent pas en général, même localement<ref>Lorsqu'il en existe, on dit que la variété est [[Variété parallélisable|parallélisable]].</ref>, parce que l'équation ∇''X'' = 0 est une [[équation aux dérivées partielles]] qui est surdéterminée : la {{Lien|langue=en|trad=Integrability conditions for differential systems|fr=condition d'intégrabilité}} pour cette équation est l'annulation de la '''courbure''' de ∇ (voir plus bas). Cependant, si on restreint cette équation à une courbe allant de ''x'' à ''y'', elle devient une [[équation différentielle ordinaire]], laquelle possède une solution unique pour chaque valeur initiale de ''X'' en ''x''.

Plus précisément, si ''γ'' : ''I'' → ''M'' est un [[Connexité par arcs#Chemins|chemin]] (différentiable) paramétré par un intervalle ''I'' = [''a'',''b''] et ''ξ'' ∈ T<sub>''x''</sub>''M'', où ''x'' = ''γ''(''a''), un [[champ de vecteurs]] ''X'' le long de ''γ'' (et, en particulier, la valeur de ce champ en ''y'' = ''γ''(''b'')) est appelé le '''transport parallèle de ''ξ'' le long de ''γ''''' si :
# <math>\nabla_{\dot\gamma(t)}X=0</math>, pour tout ''t'' ∈ [''a'',''b''] ;
# <math>X_{\gamma(a)} = \xi</math>.
Formellement, la première condition signifie que ''X'' est parallèle par rapport à la connexion [[Forme différentielle#Opérations algébriques|tiré en arrière]] sur le [[Image réciproque (géométrie différentielle)|fibré induit]] ''γ''*T''M''. Cependant, dans une [[trivialisation locale]], cette condition est un système d'[[équation différentielle linéaire|équations différentielles linéaires]], qui possède une solution unique pour chaque ensemble de conditions initiales données par la seconde condition, (d'après le [[théorème de Cauchy-Lipschitz]]).

Ainsi, le transport parallèle donne un moyen de déplacer des vecteurs tangents à la variété le long d'une courbe, en utilisant la connexion affine pour « conserver leur direction » en un sens intuitif, ce qui définit un [[isomorphisme]] (linéaire) entre les espaces tangents aux deux extrémités de la courbe. L'isomorphisme ainsi obtenu dépendra en général du choix de la courbe (pour plus de détails, voir l'article [[holonomie]]) ; si ce n'est pas le cas, le transport parallèle le long d'une courbe quelconque permet de définir des champs parallèles de vecteurs sur ''M'' ; cela ne peut se produire que si la courbure de ∇ est nulle.

Un isomorphisme linéaire est déterminé par son action sur une [[base (algèbre linéaire)|base]]. Aussi, le transport parallèle peut également être vu comme un moyen de transporter les éléments du [[fibré des repères]] (tangent) GL(''M'') le long d'une courbe. Autrement dit, la connexion affine fournit un [[Revêtement (mathématiques)#Rel.C3.A8vement des chemins|relèvement]] d'une courbe ''γ'' quelconque de ''M'' vers une courbe <math>\tilde\gamma</math> de GL(''M'').

=== Exemple ===
Considérons un paramétrage en sphérique de la sphère unité <math>(\theta, \phi) \rightarrow \begin{pmatrix} \sin(\theta)\cos(\phi) \\ \sin(\theta) \sin(\phi) \\ \cos(\theta) \end{pmatrix}</math>. La dérivation <math>\frac{\partial}{\partial \theta}</math> correspond au vecteur <math>e_\theta=\begin{pmatrix}\cos(\theta)\cos(\phi) \\ \cos(\theta) \sin(\phi) \\ -\sin(\theta) \end{pmatrix}</math> qui est unitaire, et la dérivation <math>\frac{\partial}{\partial \phi}</math> correspond au vecteur <math>e_\phi = \begin{pmatrix} -\sin(\theta)\sin(\phi) \\ \sin(\theta) \cos(\phi) \\ 0 \end{pmatrix}</math> qui n'est pas unitaire. Posons <math>\varepsilon_\phi = \begin{pmatrix} -\sin(\phi) \\ \cos(\phi) \\ 0 \end{pmatrix}</math> le [[vecteur unitaire]] [[Colinéarité|colinéaire]] à <math>e_\phi</math>, et <math>\varepsilon_\theta = e_\theta</math>, de sorte que <math>(\varepsilon_\theta, \varepsilon_\phi)</math> constitue une [[base orthonormée]] du plan tangent à la sphère au point considéré. On peut montrer que :
:<math>\nabla_{e_\phi}\varepsilon_\theta = \cos(\theta)\varepsilon_\phi</math> et <math>\nabla_{e_\phi}\varepsilon_\phi = -\cos(\theta)\varepsilon_\theta</math>
Cela signifie que, si on se déplace le long du parallèle <math>\theta</math> de la sphère, la longitude <math>\phi</math> étant variable, la base orthonormée <math>(\varepsilon_\theta, \varepsilon_\phi)</math> tourne à la vitesse angulaire <math>\cos(\theta)</math> par rapport à une base qui serait transportée parallèlement le long du parallèle. Réciproquement, un champ Y sera transporté parallèlement le long du parallèle s'il tourne à la vitesse angulaire <math>-\cos(\theta)</math> par rapport à la base orthonormée <math>(\varepsilon_\theta, \varepsilon_\phi)</math>. Sur l'équateur, la rotation est nulle. Aux pôles, elle est maximale. C'est ce phénomène qui est observé dans l'expérience du [[pendule de Foucault]], dont le plan d'oscillation se transporte parallèlement le long du parallèle où il est situé avec la [[rotation de la Terre]].

== Définition rigoureuse sur le fibré des repères ==

{{article détaillé|amorce=|contenu=Articles connexes : {{Lien|langue=en|trad=Connection (principal bundle)|fr=Connexion (fibré principal)}} et [[Fibré des repères]]}}

Une connexion affine peut aussi être définie comme une {{Lien|langue=en|trad=Connection (principal bundle)|fr=Connexion (fibré principal)|texte=GL(''n'')-connexion principale}} ''ω'' sur le [[fibré des repères]] F''M'' (noté aussi GL(''M'')) d'une variété ''M''. Plus précisément, ''ω'' est une application différentiable allant du fibré tangent T(F''M'') du fibré des repères vers l'espace des matrices ''n'' × ''n'' (qui est l'[[algèbre de Lie]] '''gl'''(''n'') du [[groupe de Lie]] GL(''n'') des matrices inversibles ''n'' × ''n'') vérifiant les deux propriétés suivantes :
# pour tout ''g'' appartenant à GL(''n''), et tout ''x'' appartenant à T(F''M''), ''ω(g(x)) = g(ω(x))'', c'est-à-dire que ''ω'' est [[Équivariance|équivariant]] pour l'action de GL(''n'') sur T(F''M'') et sur '''gl'''(''n'') ;
# ''ω''(''X''<sub>''ξ''</sub>) = ''ξ'' pour tout ''ξ'' de '''gl'''(''n''), où ''X''<sub>''ξ''</sub> est le champ de vecteurs sur F''M'' correspondant à ''ξ''.

Une telle connexion ''ω'' définit immédiatement une [[dérivée covariante]], non seulement sur le fibré tangent, mais sur les [[fibré vectoriel|fibrés vectoriels]] [[Fibré associé|associés]] à n'importe quelle [[représentation de groupe]] de GL(''n''), comme les fibrés de [[tenseur]]s et de {{Lien|langue=en|trad=Tensor density|fr=Densité de tenseur|texte=densités tensorielles}}. Réciproquement, une connexion affine sur le fibré tangent détermine une connexion affine sur le fibré des repères, par exemple en demandant que ''ω'' s'annule sur les vecteurs tangents aux relevées des courbes dans le fibré des repères définies par le transport parallèle.

Le fibré des repères est également muni d'une {{Lien|langue=en|trad=Solder form|fr=forme soudure}} ''θ'' : T(F''M'') → '''R'''<sup>''n''</sup> qui est '''horizontale''', au sens où elle s'annule sur les ''{{Lien|langue=en|trad=Vertical bundle|fr=Fibré vertical|texte=vecteurs verticaux}}'' tels que les valeurs ponctuelles des champs de vecteurs ''X''<sub>''ξ''</sub> : ''θ'' est en effet définie en projetant d'abord un vecteur tangent (à F''M'', en un point muni d'un repère ''f'') sur ''M'', puis en prenant les composantes de ce vecteur tangent sur ''M'' dans le repère ''f''. On remarquera que ''θ'' est également GL(''n'')-équivariante (GL(''n'') agissant sur '''R'''<sup>''n''</sup> par la multiplication des matrices).

Le couple (''θ'',''ω'') définit un {{Lien|langue=en|trad=Bundle map|fr=Morphisme de fibrés|texte=isomorphisme de fibrés}} entre T(F''M'') et le fibré trivial F''M'' × '''aff'''(''n''), où '''aff'''(''n'') est le [[produit cartésien]] de '''R'''<sup>''n''</sup> et '''gl'''(''n'') (vu comme l'algèbre de Lie du groupe affine, qui est en fait un [[produit semi-direct]] — voir ci-dessous).

== Les connexions affines vues comme des connexions de Cartan ==

{{article détaillé|amorce=|contenu=Voir aussi : {{Lien|langue=en|trad=Cartan connection|fr=Connexion de Cartan}}}}
Les connexions affines peuvent être définies dans le cadre général proposé par Cartan<ref>{{Harvsp|Cartan|1926}}.</ref>. D'un point de vue moderne, cela est étroitement relié à la définition des connexions affines sur le fibré des repères. De fait, dans une des formulations possibles, une connexion de Cartan est un [[variété parallélisable|parallélisme absolu]] d'un fibré principal vérifiant des propriétés convenables. De ce point de vue, la 1-forme à valeurs dans '''aff'''(''n'') (''θ'',''ω'') : T(F''M'') → '''aff'''(''n'') sur le fibré des repères (d'une variété affine) est une connexion de Cartan. Cependant, l'approche de Cartan lui-même présentait un certain nombre de différences avec ce point de vue :
* le concept de fibré des repères ou de fibré principal n'existait pas ;
* les connexions étaient vues en termes de transport parallèle entre des points infiniment proches<ref>Il est difficile de rendre les intuitions de Cartan précises sans faire appel à l'{{Lien|trad=Smooth infinitesimal analysis|analyse infinitésimale lisse}} (une branche de la [[topos (mathématiques)|théorie des ''topoi'']]), mais une approche est de considérer ses points comme étant ''variables'', c'est-à-dire des applications d'un espace de paramètres dans la variété, que l'on peut alors différentier.</ref> ;
* ce transport parallèle était affine, et non linéaire ;
* les objets transportés n'étaient pas des vecteurs tangents au sens moderne, mais des éléments d'un [[espace affine]] muni d'une origine, espace que la connexion de Cartan identifie finalement avec l'espace tangent.

=== Explications et intuitions historiques ===

Les points qu'on vient de soulever s'expliquent plus facilement dans l'ordre inverse, en partant des motivations fournies par la théorie des surfaces. Dans cette théorie, bien que les plans roulant sur la surface soient des plans tangents au sens naïf, la notion d'[[espace tangent]] est une notion [[différentielle|infinitésimale]]<ref>Classiquement, les espaces tangents étaient vus comme des approximations infinitésimales, alors qu'en géométrie différentielle moderne, ils sont souvent définis en termes d'objets différentiels tels que des dérivations (voir {{Harvsp|loc=Volume 1, sections 1.1–1.2|texte=Kobayashi et Nomizu|id=KN}}).</ref>, alors que les plans, en tant que sous-espaces affines de '''R'''{{3}}, s'étendent à l'infini. Cependant, ces plans affines ont tous une origine naturelle, leur point de contact avec la surface. La confusion se fait donc naturellement, puisqu'un espace affine muni d'un point origine s'identifie avec l'espace vectoriel de ses vecteurs, et donc avec l'espace tangent en ce point. Cependant, le transport parallèle défini par le roulement ne conserve pas cette origine ; c'est une [[transformation affine]] et non linéaire (mais le transport parallèle linéaire s'obtient en composant avec une translation).

De façon plus abstraite, une variété affine devrait donc être définie comme une variété ''M'' de dimension ''n'', munie en chaque point ''x'' d'un espace affine ''A''<sub>''x''</sub> (de dimension ''n'' également), « attaché » à cet ''x'' par un point ''a''<sub>''x''</sub> ∈ ''A''<sub>''x''</sub>, la variété affine étant munie également d'un ''transport parallèle'', c'est-à-dire d'une méthode pour transporter les éléments de ces espaces affines le long d'une courbe (lisse) quelconque ''C'' de ''M''. Cette méthode doit satisfaire plusieurs propriétés :
# pour deux points quelconques ''x'' et ''y'' de ''C'', le transport parallèle est une [[transformation affine]] de ''A''<sub>''x''</sub> vers ''A''<sub>''y''</sub>;
# le transport parallèle doit être différentiable en tout point ''x'' de ''C'' et sa dérivée ne doit dépendre que du vecteur tangent à ''C'' en ce point;
# cette dérivée doit déterminer un [[isomorphisme]] (linéaire) entre T<sub>''x''</sub>''M'' et <math>T_{a_x}A_x.</math>

Il est assez difficile d'exprimer rigoureusement ces deux dernières conditions<ref>Pour plus de détails, voir {{Harvsp|Lumiste|2001b}}. Le traitement qui suit est celui proposé par {{Harvsp|Cartan|1923}} et {{Harvsp|Cartan|1926}}.</ref>, c'est pourquoi les connexions affines sont le plus souvent définies de façon infinitésimale. Pour cette approche, il suffit de voir comment les [[système de coordonnées|systèmes de coordonnées]] affines se transforment dans un transport parallèle infinitésimal (c'est l'origine de la [[Repère mobile|méthode des repères mobiles]] de Cartan). Un [[repère affine]] en un point est une liste (''p'', '''e'''<sub>1</sub>, ..., '''e'''<sub>''n''</sub>), où ''p'' ∈ A<sub>''x''</sub><ref>Cela peut être vu comme un choix d'origine : il suffit en fait de ne considérer que le cas ''p''=''a''<sub>''x''</sub> ; Cartan l'identifie implicitement avec ''x'' dans ''M''.</ref> et les '''e'''<sub>''i''</sub> forment une base de T<sub>''p''</sub>(''A''<sub>''x''</sub>). La connexion affine est alors donnée symboliquement par un [[système différentiel]] du premier ordre
:<math>
(*) \left\{
\begin{matrix}
\mathrm d{p} &= \theta^1{\mathbf e}_1 + \cdots + \theta^n{\mathbf e}_n & \\
\mathrm d{\mathbf e}_i &= \omega^1_i{\mathbf e}_1 + \cdots + \omega^n_i{\mathbf e}_n, & \quad i=1,2,\ldots,n
\end{matrix}
\right.
</math>
défini par un ensemble de [[forme différentielle|1-formes]] (''θ''<sup>''j''</sup>, ''ω''<sub>''i''</sub><sup>''j''</sup>). Géométriquement, un repère affine se déplaçant le long d'une courbe ''γ'' en allant de ''γ''(''t'') à ''γ''(''t'' + ''δt'') est transformé approximativement (ou infinitésimalement) par
:<math>
\left.
\begin{matrix}
p(\gamma(t+\delta t)) - p(\gamma(t)) &= \bigl(\theta^1(\gamma'(t)){\mathbf e}_1 + \cdots + \theta^n(\gamma'(t)){\mathbf e}_n\bigr)\mathrm \delta t & \\
{\mathbf e}_i(\gamma(t+\delta t)) - {\mathbf e}_i(\gamma(t)) &= \bigl(\omega^1_i(\gamma'(t)){\mathbf e}_1 + \cdots + \omega^n_i(\gamma'(t)){\mathbf e}_n\bigr)\delta t.
\end{matrix}
\right.
</math>
De plus, les espaces affines ''A''<sub>''x''</sub> doivent être ''tangents'' à ''M'' au sens (informel) où le déplacement de ''a''<sub>''x''</sub> le long de ''γ'' peut être identifié (à la limite) avec le vecteur tangent ''γ’''(''t'') à ''γ'' en ''x'' = ''γ''(''t'') (c'est-à-dire avec le déplacement infinitésimal de ''x''). Comme
:''a''<sub>''x''</sub>(''γ''(''t'' + ''δt'')) - ''a''<sub>''x''</sub>(''γ''(''t'')) = ''θ''(''γ'''(''t''))''δt'',
où ''θ'' est défini par ''θ''(''X'') = ''θ''{{1}}(''X'')'''e'''<sub>1</sub> + ... + ''θ''<sup>''n''</sup>(''X'')'''e'''<sub>''n''</sub>, cette identification est donnée par ''θ'' ; cette condition revient donc à demander que ''θ'' soit un isomorphisme linéaire en chaque point.

L'espace affine tangentiel ''A''<sub>''x''</sub> est ainsi identifié avec un ''voisinage infinitésimal affine'' de ''x''.

Le point de vue moderne précise toutes ces intuitions en utilisant des fibrés principaux (l'idée essentielle est de remplacer un repère, « fixe » ou « mobile » par l'espace de tous les repères et par des fonctions définies sur cet espace). Il s'inspire également du [[programme d'Erlangen]]<ref>Cf. R. Hermann (1983), Appendix 1–3 à {{Harvsp|Cartan|1928}}, et aussi {{Harvsp|id=Sharpe|texte=Sharpe}}.</ref>, dans lequel une « géométrie » est définie comme étant un [[espace homogène]]. Un espace affine est une « géométrie » de ce point de vue, et est muni d'une connexion de Cartan ''plate'' (sans courbure). Ainsi, une variété affine générale peut être vue comme une déformation courbant ce modèle plat.

=== L'espace affine vu comme modèle de la géométrie sans courbure ===
==== Définition d'un espace affine ====
{{Article détaillé|Espace affine}}
On peut voir un '''[[espace affine]]''' comme étant un [[espace vectoriel]] dont on aurait supprimé l'origine. En conséquence, les points de l'espace ne peuvent s'additionner, mais on peut ajouter un vecteur ''v'' à un point ''p'', l'opération ''p'' → ''p'' + ''v'' étant la '''translation''' de vecteur ''v''. Plus rigoureusement, un espace affine de dimension ''n'' est un ensemble '''A'''<sup>''n''</sup> muni d'une [[action de groupe (mathématiques)|action transitive libre]] du groupe des vecteurs '''R'''<sup>''n''</sup> : '''A'''<sup>''n''</sup> est ainsi un {{Lien|langue=en|trad=Principal homogeneous space|fr=espace principal homogène}} pour le groupe '''R'''<sup>''n''</sup>.

Le [[groupe général linéaire]] GL(''n'') est le [[Action de groupe (mathématiques)|groupe de transformations]] de '''R'''<sup>''n''</sup> qui conserve la ''structure linéaire'' de '''R'''<sup>n</sup> au sens où ''T''(''av'' + ''bw'') = ''aT''(''v'') + ''bT''(''w''). Par analogie, le '''[[groupe affine]]''' Aff(''n'') est défini comme le groupe de transformations de '''A'''<sup>''n''</sup> qui conserve la ''structure affine''. Ainsi, φ ∈ Aff(''n'') doit ''conserver les translations'' au sens où
:<math>\phi(p + v)=\alpha(p) + T(v)\,</math>
pour ''T'' application linéaire quelconque. L'application envoyant φ ∈ Aff(''n'') vers ''T'' ∈ GL(''n'') est un [[morphisme de groupes]]. Son [[noyau (algèbre)|noyau]] est le groupe des translations '''R'''<sup>''n''</sup>. Le [[Action de groupe (mathématiques)#Stabilisateur d.27un .C3.A9l.C3.A9ment|stabilisateur]] d'un point ''p'' de ''A'' peut ainsi être identifié avec GL(''n'') : cela réalise le groupe affine comme [[produit semi-direct]] de GL(''n'') et de '''R'''<sup>''n''</sup>, et l'espace affine comme l'[[espace homogène]] Aff(''n'')/GL(''n'').

==== Repères affines et connexion affine sans courbure ====
Un ''repère affine'' de ''A'' consiste en un point ''p'' ∈ ''A'' et une base ('''e'''<sub>1</sub>,...,'''e'''<sub>''n''</sub>) de l'espace vectoriel T<sub>''p''</sub>''A'' = '''R'''<sup>''n''</sup>. Le groupe général linéaire GL(''n'') agit librement sur l'ensemble F''A'' des repères affines en fixant ''p'' et en transformant la base ('''e'''<sub>1</sub>, ..., '''e'''<sub>''n''</sub>) de la manière usuelle, et l'application ''π'' envoyant un repère affine (''p'' ; '''e'''<sub>1</sub>,...,'''e'''<sub>''n''</sub>) sur ''p'' est l'[[Topologie quotient#Actions de groupes|application quotient]]. Ainsi, F''A'' est un [[fibré principal|GL(''n'')-fibré principal]] au-dessus de ''A''. L'action de GL(''n'') s'étend naturellement à une action transitive libre du groupe affine Aff(''n'') sur F''A'', et donc F''A'' est un Aff(''n'')-{{Lien|langue=en|trad=Principal homogeneous space|fr=Espace principal homogène|texte=torseur}}, et le choix d'un repère de référence identifie F''A'' →''A'' avec le fibré principal Aff(''n'') → Aff(''n'')/GL(''n'').

On peut définir sur F''A'' un ensemble de ''n'' + 1 fonctions par
:<math>\pi(p;\mathbf{e}_1, \dots ,\mathbf{e}_n) = p</math> (comme précédemment)
:<math>\epsilon_i(p;\mathbf{e}_1,\dots , \mathbf{e}_n) = \mathbf{e}_i.</math>
Fixant une origine pour ''A'', ces fonctions sont à valeurs dans '''R'''<sup>''n''</sup> ; il est donc possible de prendre leurs [[dérivée extérieure|dérivées extérieures]], obtenant des [[forme différentielle|1-formes différentielles]] à valeurs dans '''R'''<sup>''n''</sup>. Les fonctions ''ε''<sub>''i''</sub> fournissant une base de '''R'''<sup>''n''</sup> en chaque point de F''A'', ces 1-formes doivent pouvoir s'exprimer comme des sommes de la forme
:<math>
\begin{matrix}
\mathrm d\pi &= \theta^1\varepsilon_1+\cdots+\theta^n\varepsilon_n\\
\mathrm d\varepsilon_i &= \omega^1_i\varepsilon_1+\cdots+\omega^n_i\varepsilon_n
\end{matrix}
</math>
pour un certain ensemble (''θ''<sup>''i''</sup>, ''ω''<sub>''j''</sub><sup>''k''</sup>)<sub>1≤''i'',''j'',''k''≤''n''</sub> de 1-formes à valeurs réelles sur Aff(''n''). Ce système de 1-formes sur le fibré principal F''A'' → ''A'' définit la connexion affine sur ''A''.

Prenant une seconde fois la dérivée extérieure, et utilisant le fait que d{{2}} = 0 ainsi que l'[[indépendance linéaire]] des ''ε''<sub>''i''</sub>, on obtient les relations suivantes :
:<math>
\begin{matrix}
\mathrm d\theta^j - \sum_i\omega^j_i\wedge\theta^i &=0\\
\mathrm d\omega^j_i - \sum_k \omega^j_k\wedge\omega^k_i &=0.
\end{matrix}
</math>
Ce sont les [[Forme de Maurer-Cartan|équations de Maurer-Cartan]] pour le groupe de Lie Aff(''n'') (identifié avec F''A'' par le choix d'un repère de référence). De plus :
* le {{Lien|langue=en|trad=Integrability conditions for differential systems|fr=Conditions d'intégrabilité|texte=système pfaffien}} ''θ''<sup>''j''</sup> = 0 (pour tout ''j'') est {{Lien|langue=en|trad=Integrability conditions for differential systems|fr=Conditions d'intégrabilité|texte=intégrable}}, et ses variétés intégrales sont les fibres du fibré principal Aff(''n'') → ''A''.
* le système pfaffien ''ω''<sub>''i''</sub><sup>''j''</sup> = 0 (pour tous ''i'', ''j'') est également intégrable, et ses variétés intégrales définissent le transport parallèle dans F''A''.

Ainsi, les formes (''ω''<sub>''i''</sub><sup>''j''</sup>) définissent une {{Lien|langue=en|trad=Connection (principal bundle)|fr=Connexion (fibré principal)|texte=connexion principale}} sur F''A'' → ''A''.

Pour compléter les motivations initiales, on doit également définir le transport parallèle dans un Aff(''n'')-fibré principal au-dessus de ''A''. Cela peut se faire en [[Fibré induit|tirant en arrière]] F''A'' par l'application φ : '''R'''<sup>''n''</sup> × ''A'' → ''A'' définie par les translations.
Alors le composé ''φ''*F''A''→F''A'' → ''A'' est un Aff(''n'')-fibré principal au-dessus de ''A'', et les formes (''θ''<sup>''i''</sup>,''ω''<sub>''j''</sub><sup>''k''</sup>) [[Image réciproque (géométrie différentielle)|induisent]] une Aff(''n'')-connexion principale plate sur ce fibré.

=== Géométries affines générales : définitions rigoureuses ===

Un espace affine est une variété munie d'une connexion de Cartan ''plate''. Des variétés (ou des géométries) affines plus générales sont obtenues en supprimant la condition de platitude exprimée par les équations de Maurer-Cartan. Il y a plusieurs façons d'aborder la définition ; nous allons en donner deux. On les comprendra plus facilement en remarquant que les 1-formes (''θ''<sup>''i''</sup>,''ω''<sub>''j''</sub><sup>''k''</sup>) du modèle plat se regroupent pour donner une 1-forme à valeurs dans l'algèbre de Lie '''aff'''(''n'') du groupe affine Aff(''n'').

Dans ces définitions, ''M'' est une variété différentielle de dimension ''n'', et ''A'' = Aff(''n'')/GL(''n'') est un espace affine de même dimension.

==== Définition utilisant le parallélisme absolu ====

Soit ''M'' une variété, et ''P'' un GL(''n'')-fibré principal au-dessus de ''M''. Une '''connexion affine''' est une 1-forme ''η'' sur ''P'' à valeurs dans
'''aff'''(''n'') vérifiant les propriétés suivantes :
# ''η'' est {{Lien|langue=en|trad=Equivariant|fr=équivariant}} pour l'action de GL(''n'') sur ''P'' et sur '''aff'''(''n'') ;
# ''η''(''X''<sub>''ξ''</sub>) = ''ξ'' pour tous les ''ξ'' de l'algèbre de Lie '''gl'''(''n'') des matrices ''n'' × ''n'' ;
# ''η'' est un isomorphisme (linéaire) de chaque espace tangent de ''P'' avec '''aff'''(''n'').
Cette dernière condition signifie que ''η'' est un '''[[variété parallélisable|parallélisme absolu]]''' sur ''P'', c'est-à-dire qu'elle identifie le fibré tangent de ''P'' avec un fibré trivial (dans ce cas, avec ''P'' × '''aff'''(''n'')). Le couple (''P'', ''η'') définit une structure de '''géométrie affine''' sur ''M'', ce qui en fait une '''variété affine'''.

L'algèbre de Lie affine '''aff'''(''n'') se factorise en un produit semi-direct de '''R'''<sup>''n''</sup> et '''gl'''(''n''), et ''η'' peut donc s'écrire comme un couple (''θ'', ''ω''), où ''θ'' prend ses valeurs dans '''R'''<sup>''n''</sup> et ''ω'' les prend dans '''gl'''(''n''). Les conditions (1) et (2) sont équivalentes à ce que ''ω'' soit une GL(''n'')-connexion principale et ''θ'' une 1-forme horizontale équivariante, ce qui construit un {{Lien|langue=en|trad=Bundle homomorphism|fr=homomorphisme de fibrés}} de T''M'' vers le [[fibré associé]] ''P'' ×<sub>GL(''n'')</sub>'''R'''<sup>''n''</sup>. La condition (3) équivaut à ce que cet homomorphisme soit un isomorphisme (cependant, l'existence de cette décomposition est conséquence de la structure particulière du groupe affine). Comme ''P'' est le [[fibré des repères]] de ''P'' × <sub>GL(''n'')</sub> '''R'''<sup>''n''</sup>, il s'ensuit que ''θ'' construit un isomorphisme de fibrés entre ''P'' et F''M'', le fibré des repères de ''M'' ; on retrouve ainsi la définition d'une connexion affine comme étant une GL(''n'')-connexion principale sur F''M''.

Les 1-formes qui apparaissent dans le modèle plat sont simplement les composantes de ''θ'' et ''ω''.

==== Définition comme connexion affine principale ====

Une '''connexion affine''' sur ''M'' est un Aff(''n'')-fibré principal ''Q'' au-dessus de ''M'', sur lequel sont donnés un GL(''n'')-sous-fibré principal ''P'' de ''Q''
et une Aff(''n'')-connexion principale ''α'' (c'est-à-dire une 1-forme sur ''Q'' à valeurs dans '''aff'''(''n'')) qui vérifie la ''condition de Cartan'' (générique) suivante : la composante dans '''R'''<sup>''n''</sup> de la restriction de ''α'' à ''P'' est une 1-forme horizontale équivariante, et définit donc un homomorphisme de fibrés allant de T''M'' vers P ×<sub>GL(''n'')</sub> '''R'''<sup>''n''</sup> : la ''condition de Cartan'' veut que ce soit un isomorphisme.

==== Relation avec les motivations ====

Puisque Aff(''n'') agit sur ''A'', il y a, associé au fibré principal ''Q'', un fibré '''''A''''' = ''Q'' ×<sub>Aff(''n'')</sub> ''A'', lequel est un fibré au-dessus de ''M'' dont la fibre en ''x'' (de ''M'') est un espace affine ''A''<sub>''x''</sub>. Une [[section d'un fibré|section]] ''a'' de '''''A''''' (définissant un point marqué ''a''<sub>''x''</sub> de ''A''<sub>''x''</sub> pour chaque ''x'' ∈ ''M'') détermine un GL(''n'')-sous-fibré principal ''P'' de ''Q'' (comme fibré des stabilisateurs de ces points marqués), et réciproquement. La connexion principale ''α'' définit une [[connexion d'Ehresmann]] sur ce fibré, et donc une notion de transport parallèle. La condition de Cartan garantit le déplacement, dans ce transport parallèle, de la section ''a'' ainsi distinguée.

== Autres propriétés ==
=== Courbure et torsion ===

La courbure et la torsion sont les principaux invariants des connexions affines. Comme on peut définir les connexions affines de nombreuses manières équivalentes, il y a de même de multiples définitions de ces invariants.

Du point de vue des connexions de Cartan, la courbure mesure la façon dont la connexion ''η'' ne satisfait pas l'équation de Maurer-Cartan
:<math>\mathrm d\eta + \tfrac12[\eta\wedge\eta] = 0,</math>
où le second terme de gauche est le [[produit extérieur]], utilisant le {{Lien|langue=en|trad=Lie bracket of vector fields|fr=Crochet de Lie de champs de vecteurs|texte=crochet de Lie}} dans '''aff'''(''n'') pour contracter les valeurs. En écrivant ''η'' comme le couple (''θ'',''ω''), et en utilisant la structure de l'algèbre de Lie '''aff'''(''n''), on peut réécrire le membre de gauche
:<math> \mathrm d\theta + \omega\wedge\theta</math>
:<math> \mathrm d\omega + \omega\wedge\omega,</math>
où les produits extérieurs sont calculés en utilisant la multiplication des matrices. La première expression s'appelle la ''[[Tenseur de torsion|torsion]]'' de la connexion, et la seconde sa ''courbure''.

Ces expressions sont des 2-formes différentielles sur l'espace total d'un fibré des repères, mais elles sont horizontales et équivariantes, et définissent donc des objets tensoriels. Ceux-ci peuvent être définis directement à partir de ''∇'', la dérivée covariante sur T''M'', de la manière suivante :
* La ''[[Tenseur de torsion|torsion]]'' est donnée par la formule
: <math>T^\nabla(X,Y) = \nabla_X Y - \nabla_Y X - [X,Y].</math>
Si la torsion est nulle, la connexion est dite ''sans torsion'' ou ''symétrique''.
* La courbure est donnée par la formule
: <math>R^\nabla_{X,Y}Z = \nabla_X\nabla_Y Z - \nabla_Y\nabla_X Z - \nabla_{[X,Y]}Z.</math>

Lorsque la courbure et la torsion sont nulles, la connexion définit une structure de {{Lien|langue=en|trad=Pre-Lie algebra|fr=pré-algèbre de Lie}} sur l'espace des sections globales du fibré tangent.

=== La connexion de Levi-Civita ===
{{Article détaillé|Connexion de Levi-Civita}}
Si (''M'',''g'') est une [[variété riemannienne]], il existe une connexion affine unique ∇ sur ''M'' telle que :
* la connexion est sans torsion, c'est-à-dire que ''T''<sup>∇</sup> est nul ;
* le transport parallèle est une isométrie, c'est-à-dire que les produits scalaires entre vecteurs tangents (définis à l'aide de ''g'') sont conservés.
Cette connexion s'appelle la '''[[connexion de Levi-Civita]]'''.

La seconde condition signifie que cette connexion est une '''{{Lien|langue=en|trad=Metric connection|fr=connexion métrique}}''', c'est-à-dire que la [[Nullité de la dérivée covariante du tenseur métrique|métrique riemannienne ''g'' est parallèle : ∇''g'' = 0]]. En coordonnées locales, les composantes de la forme de connexion sont appelées des [[symbole de Christoffel|symboles de Christoffel]] ; la connexion de Levi-Civita étant unique, on peut formuler ces composantes en termes de celles de ''g''.

=== Géodésiques ===

Les lignes droites étant un concept géométrique affine, on s'attend à ce que les connexions affines permettent de définir sur n'importe quelle variété affine une notion généralisée de lignes droites (paramétriques), appelées ''géodésiques affines''. D'un point de vue linéaire, une connexion affine sur ''M'' permet de caractériser les géodésiques de la façon suivante : une courbe lisse ''γ'' : ''I'' → ''M'' est une '''géodésique affine''' si <math>\dot\gamma</math> se transporte parallèlement le long de <math>\gamma</math>, c'est-à-dire que
:<math>\tau_t^s\dot\gamma(s) = \dot\gamma(t)</math>
où τ<sub>t</sub><sup>s</sup> : T<sub>γ<sub>s</sub></sub>''M'' → T<sub>γ<sub>t</sub></sub>''M'' est l'application de transport parallèle définissant la connexion.

Exprimée à l'aide de la connexion infinitésimale ∇, la dérivée de cette équation implique
:<math>\nabla_{\dot\gamma(t)}\dot\gamma(t) = 0</math> pour tous les ''t'' ∈ ''I''.
Réciproquement, toute solution de cette équation différentielle est une courbe dont le vecteur tangent reste parallèle à lui-même le long de la courbe. Pour tout ''x'' ∈ ''M'' et tout ''X'' ∈ T<sub>''x''</sub>''M'', il existe une unique géodésique affine ''γ'' : ''I'' → ''M'' telle que ''γ''(0) = ''x'' et
:<math>\dot\gamma(0) = X</math>,
où ''I'' est l'intervalle ouvert maximal de '''R''', contenant 0, sur lequel la géodésique est définie. Cela résulte du [[théorème de Cauchy-Lipschitz]], et permet de définir une [[application exponentielle]] associée à la connexion affine.

En particulier, lorsque ''M'' est une ([[variété pseudo-riemannienne|pseudo]]-)[[variété riemannienne]] et ∇ est la [[connexion de Levi-Civita]], les géodésiques affines sont les [[géodésique]]s usuelles de la géométrie riemannienne, c'est-à-dire les courbes minimisant localement la distance.

On dit parfois que les géodésiques définies ici sont '''affinement paramétrées''', puisqu'une géodésique donnée de ''M'' détermine une courbe paramétrée γ unique à un changement affine de paramètre près γ(''t'') → γ(''at'' + ''b''), avec ''a'' et ''b'' constantes. Le vecteur tangent à une géodésique affine reste équipollent (et donc parallèle) à lui-même tout le long de celle-ci. Si l'on ne garde que la condition de parallélisme, sans exiger l'équipollence, il suffit que soit vérifiée l'équation
:<math>\nabla_{\dot{\gamma}}\dot{\gamma} = k\dot{\gamma}</math>
pour une certaine fonction ''k'' définie sur γ. De telles géodésiques non paramétrées sont souvent étudiées du point de vue des {{Lien|langue=en|trad=Projective connection|fr=Connexion projective|texte=connexions projectives}}.

=== Développement ===

Une connexion affine permet de définir une notion de {{Lien|langue=en|trad=Development (differential geometry)|fr=Développement (géométrie différentielle)|texte='''développement'''}} des courbes (à ne pas confondre, ni avec la [[développée]], ni avec la [[courbe développante|développante]]). Intuitivement, le développement correspond à la vision du plan tangent en un point ''x''<sub>t</sub> d'une courbe de ''M'' roulant (sans glisser) sur la courbe. Dans ce mouvement, le point de contact initial ''x''<sub>0</sub> décrit une courbe ''C''<sub>t</sub> du plan tangent, le ''développement'' de ''x''<sub>t</sub>.

Pour formaliser cette idée, soit τ<sub>t</sub>{{exp|0}} : T<sub>x<sub>t</sub></sub>''M'' → T<sub>x<sub>0</sub></sub>''M'' l'application (linéaire) de transport parallèle associée à la connexion affine. Alors le développement ''C''<sub>t</sub> est la courbe de T<sub>x<sub>0</sub></sub>''M'' d'origine 0 et parallèle à la tangente à la courbe en ''x''<sub>t</sub> pour tout ''t'' :
:<math>\dot{C}_t = \tau_t^0\dot{x}_t,\quad C_0 = 0.</math>

En particulier, ''x''<sub>t</sub> est une ''géodésique'' si et seulement si son développement est une droite (affinement paramétrée ) de''T''<sub>x<sub>0</sub></sub>''M''<ref>Cette approche du développement vient de {{Harvsp|loc=Volume 1, Proposition III.3.1|texte=Kobayashi et Nomizu|id=KN}} ; voir section III.3 pour un point de vue plus géométrique. Voir aussi {{Harvsp|id=Sharpe|texte=Sharpe}} pour une discussion complète du développement dans d'autres contextes.</ref>.

== La théorie des surfaces du point de vue des connexions affines ==

Si ''M'' est une surface de '''R'''{{3}}, on voit facilement que ''M'' possède une connexion affine naturelle. Du point de vue des connexions linéaires, la dérivée covariante d'un champ de vecteurs est définie en différenciant ce champ, vu comme une application de ''M'' vers '''R'''{{3}}, et en projetant (orthogonalement) le résultat sur les plans tangents à ''M''. Il est facile de voir que cette connexion affine est sans torsion. De plus, c'est une connexion métrique par rapport à la métrique riemannienne induite sur ''M'' par le [[produit scalaire]] de '''R'''{{3}} ; c'est donc la connexion de Levi-Civita de cette métrique.

=== Exemple : la sphère unité de l'espace euclidien ===

Notons <math>\langle, \rangle</math> le produit scalaire habituel sur '''R'''{{3}}, et <math>S^2</math> la sphère unité. Le plan tangent à <math>S^2</math> en un point ''x'' s'identifie naturellement avec le sous-espace de '''R'''{{3}} formé des vecteurs orthogonaux à ''x''. Il s'ensuit qu'un champ de vecteurs <math>Y</math> sur <math>S^2</math> peut être vu comme une application
: <math>Y:S^2\longrightarrow\R^3,</math>
qui vérifie
: <math>\langle Y_x, x\rangle = 0, \forall x\in S^2.</math>
Notons d''Y'' la différentielle de cette application. On a :

'''Lemme'''. La formule
:<math>(\nabla_X Y)_x = \mathrm dY_x(X) + \langle X_x,Y_x\rangle x\,</math>
définit une connexion affine sans torsion sur <math>S^2</math>.

''Démonstration''. Un calcul direct montre que ∇ satisfait l'identité de Leibniz et est <math>C^\infty(S^2)</math>, linéaire par rapport à la première variable. Il suffit donc de montrer que l'application précédente définit un champ de vecteurs tangents. Autrement dit, nous devons montrer que pour tous les ''x'' de <math>S^2</math>
:<math>\langle(\nabla_X Y)_x,x\rangle = 0\qquad (1).</math>

Considérons l'application
:<math>\begin{align}
f :\ & S^2 & \longrightarrow &\R\\
 & x & \longmapsto & \langle Y_x, x\rangle.
\end{align}</math>

<math>f</math> est constante, et donc sa différentielle est identiquement nulle. En particulier
: <math>\mathrm df_x(X) = \langle (\mathrm d Y)_x(X),x\rangle + \langle Y_x, X_x\rangle = 0.\,</math>

L'équation (1) en résulte immédiatement. <math>\Box\,</math>

== Notes ==
{{Références|colonnes=2}}

== Références ==
{{Traduction/Référence|en|Affine connection|406657056}}

=== Sources historiques primaires ===

* {{Article|langue=de|prénom1=Elwin Bruno|nom1=Christoffel|lien auteur1=Elwin Bruno Christoffel|titre=Über die Transformation der homogenen Differentialausdrücke zweiten Grades|périodique=[[Journal für die reine und angewandte Mathematik]]|volume=70|année=1869|pages=46-70}}
* {{Article|langue=it|auteur=[[Tullio Levi-Civita]]|titre=Nozione di parallelismo in una varietà qualunque e consequente specificazione geometrica della curvatura Riemanniana|périodique=Rend. Circ. Mat. Palermo|volume=42|année=1917|pages=73-205}}
* {{Article|auteur1=[[Élie Cartan]]|url=http://www.numdam.org/item?id=ASENS_1923_3_40__325_0|titre=Sur les variétés à connexion affine et la théorie de la relativité généralisée (première partie)|périodique=Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure|volume=40|année=1923|pages=325–412}}
* {{Article|nom=Élie Cartan|url=http://www.numdam.org/item?id=ASENS_1924_3_41__1_0|titre= Sur les variétés à connexion affine et la théorie de la relativité généralisée (première partie) (Suite)|périodique=Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure|volume=41|année=1924|pages=1-25|commentaire=L'approche initiale de Cartan, motivée par la relativité générale.  Contient une discussion détaillée de la physique des référentiels, et de la façon dont la connexion modélise la notion physique de transport le long d'une  [[ligne d'univers]].}}
* {{Article|prénom=Élie|nom=Cartan|titre=Espaces à connexion affine, projective et conforme|périodique=[[Acta Mathematica]]|volume=48|année=1926|pages=1–42|doi=10.1007/BF02629755|commentaire=Une description plus motivée mathématiquement.}}
* {{Ouvrage|prénom1=Élie|nom1=Cartan|titre=Leçons sur la géométrie des espaces de Riemann|éditeur=Gauthier-Villars|année=1928}} ({{2e}} éd. : 1946) ; {{en}} [https://books.google.com/?id=-YvvVfQ7xz4C&pg=PP1 traduction de James Glazebrook], avec des appendices par Robert Hermann {{commentaire biblio|Le point de vue de la  [[géométrie riemannienne]]. Les appendices de Robert Hermann discutent les motivations venant de la théorie des surfaces, ainsi que les connexions au sens moderne de  Koszul, développant les propriétés de base de l'opérateur différentiel ∇, et les reliant aux connexions « classiques » au sens de Cartan.}}
* {{Ouvrage|langue=de|auteur1=[[Hermann Weyl]]|titre=Raum, Zeit, Materie|éditeur=Springer, Berlin|année=1918|id=Weyl}} (5 éditions jusqu'en 1923) {{commentaire biblio|La connexion affine apparaît pour la première fois dans la {{3e|édition}} de 1919. Traduit en français par ''Temps, espace, matière. Leçons sur la théorie de la relativité générale'', Blanchard, 1922 sur la {{4e|édition}}. (Réimpression : Blanchard, 1979 {{ISBN|978-2-85367033-3}}.}}

=== Références secondaires ===
* {{Ouvrage|langue=en|auteur={{Lien|Shoshichi Kobayashi}}|auteur2={{Lien|Katsumi Nomizu}}|titre=Foundations of Differential Geometry|volume=1 & 2|éditeur=[[John Wiley & Sons|Wiley-Interscience]]|année=1996|isbn=0-471-15733-3|id=KN}}{{Commentaire biblio|C'est la référence principale utilisée pour les détails techniques de cet article.  Le chapitre III du volume 1 expose de façon détaillée les connexions affines du point de vue des fibrés principaux sur une variété, du transport parallèle, du développement, des géodésiques, et des opérateurs différentiels associés. Le chapitre VI du volume 1 expose les transformations affines, la torsion et la théorie générale de la géodésie affine. Le volume 2 donne un certain nombre d'applications des connexions aux [[Espace homogène|espaces homogènes]] et aux [[Variété complexe|variétés complexes]], ainsi qu'à d'autres sujets liés.}}
* {{Article|langue=en|prénom=Ü.|nom=Lumiste|lien auteur=Ülo Lumiste|url=http://eom.springer.de/a/a010950.htm|titre=Affine connection|périodique=[[Encyclopædia of Mathematics]]|éditeur=[[Wolters Kluwer|Kluwer Academic Publishers]]|année=2001a}}
* {{Article|langue=en|prénom=Ü.|nom=Lumiste|url=http://eom.springer.de/c/c025180.htm|titre=Connections on a manifold|périodique=Encyclopædia of Mathematics|éditeur=Kluwer Academic Publishers|année=2001b|commentaire=Deux articles précisant les conditions sur les applications de transport parallèle pour qu'elles définissent des connexions affines.  Ils traitent également des questions de  courbure, de torsion, et d'autres sujets standards, d'un point de vue classique.}}
* {{Ouvrage|langue=en|auteur1=R. W. Sharpe|titre=Differential Geometry|sous-titre=Cartan's Generalization of Klein's Erlangen Program|éditeur=[[Springer Verlag]]|année=1997|pages totales=426|isbn=978-0-387-94732-7|lire en ligne=https://books.google.com/books?id=Ytqs4xU5QKAC&printsec=frontcover|id=Sharpe}}{{Commentaire biblio|Donnant un exposé de l'historique, et une approche élémentaire des connexions de Cartan.  L'appendice A précise les relations entre le point de vue du parallélisme absolu et les connexions principales. L'appendice B relie le modèle classique du « roulement sans glissement » et le point de vue moderne basé sur les fibrés principaux et les opérateurs différentiels.}}

== Voir aussi ==

* [[Géométrie différentielle]]
* [[Géométrie riemannienne]]

{{Palette|Variété différentielle}}
{{Portail|géométrie}}

[[Catégorie:Connexion|Affine]]

[[de:Zusammenhang (Differentialgeometrie)#Linearer Zusammenhang]]