Voir la source de Connexion de Gauss-Manin

En [[mathématiques]], la '''connexion Gauss-Manin''' est une [[Connexion (mathématiques)|connexion]] associée à un [[fibré vectoriel]] sur un espace de base ''S'' d'une famille de [[Variété algébrique|variétés algébriques]] <math>V_s</math>. Les fibres du faisceau vectoriel sont les groupes de [[cohomologie de De Rham]] <math>H^k_{dR}(V_s)</math> des fibres <math>V_s</math> de la famille. Elle a été introduite par [[Yuri Manin]] en 1958 pour les courbes ''S'' et par [[Alexander Grothendieck|Alexandre Grothendieck]] en 1966 en dimensions supérieures.

Les sections plates du fibré sont décrites par des [[Équation différentielle|équations différentielles]] ; la plus connue d'entre elles est l'[[équation de Picard-Fuchs]], qui apparaît lorsque la famille des variétés sont des [[Courbe elliptique|courbes elliptiques]]. Intuitivement, lorsque la famille est localement triviale, les classes de cohomologie peuvent variées d'une fibre de la famille à des fibres voisines, donnant un sens toologique au terme de « section plate ». L'existence de la connexion est déduite des sections plates.

== Intuition ==
Soit un morphisme lisse de schémas <math>X\to B</math> de caractéristique 0. En tant que qu'espaces complexes analytiques, le [[théorème d'Ehresmann]] implique que les fibres <math>X_b = f^{-1}(b)</math> sont des variétés lisses et sont toutes difféomorphes. Les groupes de cohomologie de de Rham <math>H^k(X_b)</math> sont donc tous isomorphes. Nous pouvons utiliser cette observation pour nous demander ce qui se passe lorsque nous essayons de différencier les classes de cohomologie sont des [[Champ de vecteurs|champs de vecteurs]] de l'espace de base <math>B</math>.

Soit une classe de cohomologie <math>\alpha \in H^k(X)</math> tel que <math>i^*_b(\alpha) \in H^k(X_b)</math> où <math>i_b\colon X_b \to X</math> est l’inclusion. Si l'on considère les classes

: <math>
\left[ i_b^\ast \left(\frac{\partial^{i_1+\cdots+i_n} \alpha}{\partial b_1^{i_1} \cdots \partial b_n^{i_n} } \right)\right] \in H^k(X_b) 
</math>

il y aura une relation entre eux, appelée [[équation de Picard-Fuchs]]. La '''connexion de Gauss-Manin''' est un outil qui code ces informations dans une connexion sur le fibré vectoriel plat sur <math>B</math> construit à partir du <math>H^k(X_b)</math><ref>{{Lien web |titre=Reference for Gauss–Manin Connection |url=https://math.stackexchange.com/a/526034/251222 |série=math.stackexchange.com}}</ref>.

== Exemple ==
Un exemple classique est la construction de Dwork de l'[[équation de Picard-Fuchs]]. Soit

: <math>V_\lambda(x,y,z)</math> la courbe elliptique <math> x^3+y^3+z^3 - \lambda xyz=0 \;</math>.

Ici, <math>\lambda</math> est un paramètre décrivant la courbe ; c'est un élément de la [[Sphère de Riemann|droite projective complexe]] (la famille des hypersurfaces en <math>n-1</math> en dimension ''n'', définies de manière analogue, ont été intensivement étudiées ces dernières années, en lien avec le [[théorème de modularité]] et ses extensions)<ref>
{{Ouvrage|prénom1=Nicholas M.|nom1=Katz|lien auteur1=Nick Katz|titre=Algebra, Arithmetic, and Geometry Vol II|éditeur=Birkhäuser|année=2009|pages totales=89–126|isbn=978-0-8176-4746-9|doi=10.1007/978-0-8176-4747-6_4|math reviews=2641188|lire en ligne=http://www.math.princeton.edu/~nmk/dworkfam64.pdf|titre chapitre=Another look at the Dwork family}}</ref>. Ainsi, l’espace de base du fibré est la droite projective. Pour un fixe <math>\lambda</math> dans l'espace de base, considérons un élément <math>\omega_\lambda</math> du groupe de cohomologie de de Rham associé

: <math>\omega_\lambda \in H^1_{dR}(V_\lambda).</math>

Chacun de ces éléments correspond à une période de la courbe elliptique. La cohomologie est concentrée en degré inférieur à 2. La connexion de Gauss – Manin correspond à l'équation différentielle du second ordre

: <math>(\lambda^3-27) \frac{\partial^2 \omega_\lambda}{\partial \lambda^2} 
+3\lambda^2 \frac{\partial \omega_\lambda}{\partial \lambda}  + \lambda \omega_\lambda =0. </math>

== Le point de vue des ''D''-modules ==
Dans le cadre plus abstrait de la théorie des [[D-module|''D''-modules]], l'existence de telles équations est contenue dans une discussion générale de l'image directe.

== Équations « issues de la géométrie » ==
L'ensemble de la classe des connexions Gauss-Manin a été utilisée pour tenter de formuler le concept d'équations différentielles qui « découlent de la géométrie ». En relation avec la [[Conjecture de courbure p de Grothendieck – Katz|conjecture de la ''p''-courbure de Grothendieck]], [[Nicholas Michael Katz|Nicholas Katz]] a prouvé que la classe des connexions de Gauss-Manin avec des coefficients en nombres algébriques satisfait la [[conjecture]]. Ce résultat est lié à la [[Fonction G de Siegel|fonction ''G'' de Siegel]] de la [[théorie des nombres transcendants]], pour les solutions de [[Fonction méromorphe|fonctions méromorphes]]. La ''conjecture de Bombieri-Dwork'', également attribuée à [[Yves André]] postule une réciproque : des solutions sous forme de fonctions ''G'', ou de ''p''-courbure nilpotente mod ''p'' pour presque tous les nombres premiers ''p'', signifient qu'une équation « provient » de la géométrie<ref>{{Lien web |auteur=Reiter |prénom=Stefan |titre=On applications of Katz' middle convolution functor (Deformation of differential equations and asymptotic analysis) |url=http://repository.kulib.kyoto-u.ac.jp/dspace/bitstream/2433/42639/1/1296_14.pdf |série=Kyoto University Research Information Repository |date=2002}}</ref>{{,}}<ref>{{Article|auteur1=Totaro|prénom1=Burt|lien auteur2=Burt Totaro|titre=Euler and algebraic geometry|périodique=[[Bulletin of the American Mathematical Society]]|volume=44|numéro=4|pages=541–559|année=2007|doi=10.1090/S0273-0979-07-01178-0|math reviews=2338364|lire en ligne=https://www.ams.org/journals/bull/2007-44-04/S0273-0979-07-01178-0/S0273-0979-07-01178-0.pdf}}</ref>.

== Articles connexes ==

* {{Lien|trad=Mirror symmetry conjecture|fr=Conjecture de la symétrie miroir}}
* [[Module de Hodge mixte]]
* [[Connexion méromorphe]]

== Références ==
{{Traduction/Référence|lang1=en|art1=Gauss-Manin connexion}}
{{Références}}

** {{ouvrage|nom1=Kulikov|prénom1=Valentine|titre=Mixed Hodge Structures and Singularities|date=1998|éditeur=Cambridge Tracts in Mathematics|pages=1–59}} (Une introduction aux connexion de Gauss-Manin)
** {{ouvrage|nom=Dimca|prénom=Alexandru|lien auteur=Alexandru Dimca|titre=Sheaves in Topology|pages=55–57,206–207}} (Donne des exemples de connexion de Gauss-Manin et de leur relation avec la théorie des D-modules et de la correspondance de Riemmann-Hilbert.)
** {{ouvrage|nom=Griffiths|prénom=Phillip|lien auteur=Phillip Griffiths|titre=Periods of integrals on algebraic manifolds: Summary of main results and discussion of open problems|url=https://projecteuclid.org/euclid.bams/1183531477}} (Donne un aperçu des théorèmes de structure principaux sur les connexions de Gauss-Manin.)
** {{ouvrage|nom=Barrientos|prénom=Ivan|titre=The Gauss-Manin connection and regular singular points.|url=http://algant.eu/documents/theses/barrientos.pdf}}
** {{ouvrage|nom=Grothendieck|prénom=Alexander|lien auteur=Alexander Grothendieck|titre=On the de Rham cohomology of algebraic varieties|url=http://www.numdam.org/item?id=PMIHES_1966__29__95_0|mr=0199194|année=1966|journal=[[Publications Mathématiques de l'IHÉS]]|issn=0073-8301|issue=29|pages=95–103|doi=10.1007/BF02684807|volume=29|series=letter to Atiyah, Oct. 14 1963|s2cid=123434721}}
** {{ouvrage|nom1=Manin|prénom1=Ju. I.|lien auteur=Yuri Manin|titre=Algebraic curves over fields with differentiation|url=http://mi.mathnet.ru/eng/izv/v22/i6/p737|langue=Russian|mr=0103889|année=1958|journal=Izvestiya Akademii Nauk SSSR. Seriya Matematicheskaya|volume=22|pages=737–756}} et {{En}} {{ouvrage|nom1=Manin|prénom1=Ju. I.|titre=American Mathematical Society translations: 22 papers on algebra, number theory and differential geometry|origyear=1958|url=https://books.google.com/books?id=fZ7ms3db_cMC|éditeur=[[American Mathematical Society]]|lieu=Providence, R.I.|isbn=978-0-8218-1737-7|mr=0103889|année=1964|volume=37|chapter=Algebraic curves over fields with differentiation|pages=59–78}}

[[Catégorie:Connexion]]
[[Catégorie:Géométrie algébrique]]

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