Voir la source de Connexion de Levi-Civita

{{Homon|Levi|Civita (homonymie)}}
{{ébauche|géométrie}}
En [[géométrie riemannienne]], la '''connexion de Levi-Civita''' est une [[connexion de Koszul]] naturellement définie sur toute [[variété riemannienne]] ou par extension sur toute [[variété pseudo-riemannienne]]. Ses propriétés caractérisent la variété riemannienne. Notamment, les [[géodésique]]s, courbes minimisant localement la distance riemannienne, sont exactement les courbes pour lesquelles le vecteur vitesse est [[parallélisme (géométrie)|parallèle]]. De plus, la courbure de la variété se définit à partir de cette connexion ; des conditions sur la courbure imposent des contraintes topologiques sur la variété.

La connexion de Levi-Civita est appelée en référence au [[mathématicien]] [[italie]]n [[Tullio Levi-Civita]] <small>([[1873 en science|1873]] - [[1941 en science|1941]])</small> qui a introduit les concepts de transport parallèle pour les besoins de la [[relativité générale]].

== L'exemple des surfaces paramétrées ==
La considération des surfaces paramétrées permet de comprendre le cheminement qui conduit à la définition de la connexion de Levi-Civita. Soient une surface paramétrée <math>(u,v)\mapsto M(u,v)</math> plongée dans l'espace de dimension 3, et <math>X</math> et <math>Y</math> deux [[champ de vecteurs|champs de vecteurs]] tangents à cette surface. Le plan tangent admet pour base locale les vecteurs <math>e_u = \frac{\partial M}{\partial u}</math> et <math>e_v = \frac{\partial M}{\partial v}</math>. Notons <math>X_u</math> et <math>X_v</math> les composantes de <math>X</math> dans cette base, et de même pour <math>Y</math>.

On souhaite décrire l'évolution du champ <math>Y</math> lorsqu'on suit une [[ligne de champ]] de <math>X</math>, et en particulier définir une dérivation de <math>Y</math> dans la direction <math>X</math>. Plaçons-nous pour cela en un point <math>M</math> de la surface, et considérons un déplacement <math>t\mapsto M + tX(M)</math>. Ce point n'appartient pas nécessairement à la surface, aussi projetons-le orthogonalement en un point <math>N</math> de la surface. On peut penser à définir la dérivée de <math>Y</math> dans la direction <math>X</math> au point <math>M</math> comme étant égal à <math>\lim_{t\to0}\frac{Y(N)-Y(M)}t</math>. Mais l'expression de cette limite comporte deux parties. La première, égale à <math>\left(X_u\frac{\partial Y_u}{\partial u}+X_v\frac{\partial Y_u}{\partial v}\right)e_u+\left(X_u\frac{\partial Y_v}{\partial u}+X_v\frac{\partial Y_v}{\partial v}\right)e_v</math>, est une combinaison linéaire des deux vecteurs de la base locale du plan tangent à la surface au point <math>M</math>. L'autre est une [[forme bilinéaire symétrique]] de <math>X</math> et de <math>Y</math> qui fait intervenir les dérivées secondes de la fonction <math>M</math>. Notons-la <math>\mathrm dM^2(X,Y)</math>. Pour obtenir une limite qui soit élément du plan tangent, on projette orthogonalement<ref>{{Lafontaine1}}, 2010, {{p.|133}}.</ref> cette deuxième partie sur le plan tangent. On obtient alors une expression <math>\nabla_XY</math>, somme de la première partie, et d'une forme bilinéaire symétrique de <math>X</math> et de <math>Y</math> s'exprimant à partir des coefficients de la [[première forme fondamentale]] <math>g</math> et de leurs dérivées. Si pour tout <math>i</math> et <math>j</math> valant <math>u</math> ou <math>v</math>, on pose <math>\nabla_{e_i}e_j = \Gamma_{ij}^u e_u + \Gamma_{ij}^v e_v</math>, alors :

:<math>\nabla_XY=\left(X_u \frac{\partial Y_u}{\partial u}+X_v \frac{\partial Y_u}{\partial v}+\sum_{ij}X_iY_j\Gamma_{ij}^u\right)e_u+\left(X_u\frac{\partial Y_v}{\partial u}+X_v\frac{\partial Y_v}{\partial v}+\sum_{ij} X_iY_j\Gamma_{ij}^v\right)e_v</math>.
Les coefficients <math>\Gamma_{ij}^k</math> s'appellent [[symboles de Christoffel]]. Par ailleurs, on peut vérifier que l'opérateur <math>\nabla</math> vérifie les propriétés suivantes :
* <math>\nabla_{fX}Y = f\nabla_XY</math> pour toute fonction <math>f</math> ;
* <math>\nabla_X(fY)=df(X)Y+f\nabla_XY</math> ;
* <math>\nabla_XY-\nabla_YX=[X,Y]</math> où [ , ] désigne le [[crochet de Lie]] ;
* <math> Z\cdot g(X,Y)=g(\nabla_ZX,Y)+g(X,\nabla_ZY)</math> pour tout champ <math>X</math>, <math>Y</math>, <math>Z</math>.
Ce sont ces propriétés qui vont servir d'axiomes afin de définir une connexion de Levi-Civita dans le cas général d'une [[variété riemannienne]].

== Définition axiomatique ==
{{Loupe|Théorème fondamental de la géométrie riemannienne}}
Une [[métrique riemannienne|métrique pseudo-riemannienne]] <math>g</math> de classe <math>C^k</math> sur une variété différentielle <math>M</math> est la donnée d'une famille <math>g_x</math> de [[Forme bilinéaire|formes bilinéaires]] symétriques non dégénérées sur les espaces tangents <math>T_xM</math>, de sorte que pour tous champs de vecteurs <math>X</math> et <math>Y</math> de classe <math>C^k</math>, la fonction <math>g(X,Y)</math> soit de classe <math>C^k</math>. La signature de <math>g</math> est localement constante sur <math>U</math>. La métrique <math>g</math> est dite riemannienne si en tout point <math>x</math> la forme <math>g_x</math> est (définie) positive.

Dans ce cadre il est possible d'énoncer le [[théorème fondamental de la géométrie riemannienne]] : il existe une unique [[connexion de Koszul]] <math>\nabla</math> sur <math>T_xM</math>, appelée '''connexion de Levi-Civita''' vérifiant les deux conditions :
#<math>\nabla</math> est sans [[Tenseur de torsion|torsion]] : pour tous champs de vecteurs <math>X</math> et <math>Y</math>,<center><math>\nabla_XY-\nabla_YX=[X,Y]</math> ;</center>
# <math>g</math> est parallèle : pour tous champs de vecteurs <math>X</math>, <math>Y</math> et <math>Z</math>, on a :
<center><math> Z\cdot g(X,Y)=g(\nabla_ZX,Y)+g(X,\nabla_ZY)</math>.</center>

On peut suivre une [[Raisonnement par analyse-synthèse|démarche d'analyse-synthèse]] pour établir unicité puis existence. En présupposant l'existence de la connexion, des manipulations algébriques simples conduisent à la relation 
<center><math>2g(\nabla_XY,Z)=X\cdot g(Y,Z)+Y\cdot g(Z,X)-Z\cdot g(X,Y)+g([X,Y],Z)+g([Z,X],Y)-g([Y,Z],X)</math>.</center>
Par non dégénérescence de ''g'', la connexion ∇ est uniquement déterminée par cette égalité. Cela prouve l'unicité sous réserve d'existence. Ce calcul présente aussi un intérêt pratique : on le retrouvera au-dessous en cherchant à exprimer la connexion dans un [[système de coordonnées]] locales. Cependant les auteurs font souvent remarquer qu'une telle expression est en réalité moins utile que les propriétés caractéristiques énoncées dans le théorème lui-même<ref>{{GallotHulinLafontaine}} {{p.|68}}</ref>.

Ensuite, on prouve l'existence, en justifiant qu'en introduisant <math>\nabla_XY</math> par cette formule pour des champs ''X'' et ''Y'' quelconques, on a une expression bien définie, qui est une connexion, sans torsion, et telle que <math>g</math> est parallèle.

== Coordonnées locales ==
Considérons une carte locale de coordonnées <math>(x_i)</math> en un point de la variété riemannienne, et soit <math>(e_i)</math> la base locale correspondant aux dérivations par rapport aux <math>x_i</math>. Soient <math>g_{ij}=g(e_i,e_j)</math> les composantes du tenseur métrique ''g'' dans la base locale. Les propriétés axiomatiques de la connexion permettent de déterminer les [[symboles de Christoffel]] <math>\Gamma_{ij}^k</math> tels que (en [[Convention de sommation d'Einstein|notation d'Einstein]]) :
:<math>\nabla_{e_i}e_j = \Gamma_{ij}^k e_k</math>
On prouve en effet que (en notation d'Einstein) :
:<math>\Gamma^k_{ij}=\frac{1}{2}g^{km} \left(\frac{\partial g_{mi}}{\partial x^j} + \frac{\partial g_{mj}}{\partial x^i} - \frac{\partial g_{ij}}{\partial x^m} \right)</math>
où le tenseur <math>g^{km}</math> est l'inverse du tenseur <math>g_{ij}</math>.

Réciproquement, soient X et Y deux champs de vecteurs de composantes respectives <math>X^i</math> et <math>Y^i</math> dans la base locale. On peut reconstituer <math>\nabla_XY</math> à partir des coefficients de Christoffel. On a en effet (en notation d'Einstein) :
:<math>\nabla _XY = X^i \frac{\partial Y^j}{\partial x^i} e_j + X^i Y^j \Gamma^k_{ij} e_k</math>
qu'on peut également écrire :
:<math>\nabla _XY = X^i \frac{\partial Y^j}{\partial x^i} e_j + Y^j \nabla_X e_j</math>
Cette expression est analogue à une [[Composition des mouvements#Composition des vitesses|composition des vitesses]] telle qu'on en rencontre dans les changements de référentiels en physique. Supposons que X désigne la vitesse avec laquelle on parcourt un arc paramétré de la [[variété différentielle]]. On peut alors interpréter <math>\nabla _XY</math> comme la vitesse absolue avec laquelle Y varie lorsqu'on se déplace le long de l'arc. La quantité <math>X^i \frac{\partial Y^j}{\partial x^i} e_j</math> représente la vitesse relative avec laquelle Y varie dans la base <math>(e_j)</math>. La quantité <math>Y^j \nabla_X e_j</math> est la vitesse d'entraînement, vitesse à laquelle Y varierait si ses composantes dans la base <math>(e_j)</math> étaient constantes. Cette dernière vitesse est due uniquement à la façon dont les vecteurs de base varient au cours du déplacement. Lorsque les <math>\nabla_X e_j</math> sont nuls, on dit que la base <math>(e_j)</math> est [[Connexion affine#Transport parallèle pour les connexions affines|transportée parallèlement]] à l'arc parcouru. Les variations de Y sont alors dues uniquement aux variations de ces composantes dans la dite base.

== Courbure ==
{{...}}

== Exemples ==
=== Métriques induites ===
Soit M une variété, et N une sous-variété munie de la métrique induite par celle de M. Alors la connexion de Levi-Civita <math>\nabla^N</math> s'obtient à partir de celle de M en la projetant orthogonalement sur l'espace tangent à N. Autrement dit, pour tout vecteur V et W tangents à N, <math>\nabla_V^N W</math> est le projeté orthogonal sur l'espace tangent à N de <math>\nabla_V^M W</math>.

=== Métriques conformes ===
Deux métriques ''g'' et ''g' '' sont dites [[transformation conforme|conformes]] si, en chaque point de la variété, elles sont proportionnelles l'une à l'autre. Le coefficient de proportionnalité étant strictement positif et dépendant du point considéré, il existe une fonction ''f'' telle que ''g' '' = ''e''<sup>2''f''</sup>.''g''.
La connexion de Levi-Civita de ''g' '' est alors donnée par<ref>Pierre Pansu, [http://www.math.u-psud.fr/~pansu/web_dea/chapitre3.pdf connexion de Levi-Civita], p.10</ref> :
<center><math>\nabla'_XY=\nabla_XY+ \mathrm{d}f(X)Y + \mathrm{d}f(Y)X - g(X,Y) \mathrm{grad}(f)</math></center>
où le [[gradient]] de ''f'' est pris relativement à la métrique ''g''.

== Voir aussi ==
* [[Connexion affine]]
* [[Dérivée covariante]]

== Références ==
{{Références}}

{{Palette|Variété différentielle}}
{{Portail|géométrie}}

[[Catégorie:Géométrie riemannienne]]
[[Catégorie:Connexion|Levi-Civita]]