Voir la source de Connexité (mathématiques)

{{voir homonymes|Connexité}}

La '''connexité''' est une notion de [[topologie]] qui formalise le concept d'« objet d'un seul tenant ». Un objet est dit ''connexe'' s'il est fait d'un seul « morceau ». Dans le cas contraire, chacun des morceaux est une '''composante connexe''' de l'objet étudié.

[[File:Ensemble-non-connexe.jpg|thumb|upright=2|Un [[archipel]], comme celui des îles Canaries, n'est pas connexe : il n'est pas possible de passer à pied sec d'une île à l'autre. Les îles sont les ''composantes connexes'' de l'archipel.]]

== Définition ==

[[image:Connected and disconnected spaces.svg|frame|right|L'espace vert ''A'' est connexe, alors que l'espace bleu ''B'' ne l'est pas.]]

Soit un [[espace topologique]] ''E''. Les quatre propositions suivantes sont équivalentes :
* ''E'' n'est pas la réunion de deux [[Ouvert (topologie)|ouverts]] non vides [[Ensembles disjoints|disjoints]] ;
* ''E'' n'est pas la réunion de deux [[Fermé (topologie)|fermés]] non vides disjoints ;
*les seuls [[Ouvert-fermé|ouverts-fermés]] de ''E'' sont [[Ensemble vide|∅]] et ''E'' ;
*toute application [[Continuité (mathématiques)|continue]] de ''E'' dans un ensemble à deux éléments muni de la [[topologie discrète]] est constante.

Dans le cas où l'une de ces conditions équivalentes est remplie, on dit que l'espace ''E'' est '''connexe'''.

La dernière de ces quatre caractérisations est souvent la plus commode à utiliser pour démontrer un résultat de connexité.

Une partie ''X'' d'un espace topologique ''E'' est dite connexe si elle est un espace connexe lorsqu'elle est munie de la [[topologie induite]].

== Connexité et nombres réels ==
Les parties connexes de ℝ sont les [[intervalle (mathématiques)|intervalles]]<ref name=Wikiversité/>.

== Propriétés ==

[[Image:Union et intersection d'ensembles.svg|thumb|Exemples d'unions et d'intersections connexes ou non.]]
*La notion de connexité est clairement [[invariant]]e par [[homéomorphisme]]s.
*Tout ensemble muni de sa [[topologie grossière]] est connexe. Il en résulte que l'[[ensemble vide]] est connexe, ainsi que tout espace [[Singleton (mathématiques)|réduit à un point]].

=== Union, intersection, adhérence, produit ===

Si ''X ''et ''Y ''sont deux parties connexes d'un espace topologique, en général l'union et l'intersection de ''X ''et ''Y ''ne sont pas connexes<ref name = "Contre-exemples"/>.

En revanche, l'union des deux parties connexes est connexe dès qu'elles ont un point commun (il suffit même que l'une des deux rencontre l'[[Adhérence (mathématiques)|adhérence]] de l'autre). Plus généralement :
* Pour toute [[Famille (mathématiques)|famille]] (finie ou pas) de parties connexes dont l'intersection est non vide, la réunion est connexe.
Exemples d'application :
* toute partie [[connexe par arcs]] est connexe (comme réunion des [[#Connexité et continuité|chemins]] dans cette partie ayant tous une même origine fixée), en revanche la [[réciproque]] est fausse<ref name = "Contre-exemples">{{Ouvrage|langue=fr|auteur1=Bertrand Hauchecorne|titre=Les contre-exemples en mathématiques|lieu=Paris|éditeur=[[Éditions Ellipses|Ellipses]]|année=2007|numéro d'édition=2|année première édition=1988|pages totales=365|passage=300|isbn=978-2-7298-3418-0|numéro chapitre=15|titre chapitre=Topologie générale}}.</ref>; 
* si <math>(X_n)_{n \in \N}</math> est une [[Suite (mathématiques)|suite]] de parties connexes telle que chacune a un point commun avec la suivante <math>(\forall n\in\N , X_n\cap X_{n+1}\ne\varnothing)</math> alors la réunion <math>\cup_{n \in \N} X_n</math> est connexe (comme réunion des <math>Y_n:=\cup_{k\le n}X_k</math> qui, par récurrence, sont connexes).

Si ''A ''est une partie connexe de ''E'' alors son adhérence {{surligner|''A''}} est connexe car plus généralement, toute partie ''B ''de ''E ''telle que ''A ''⊂ ''B ''⊂ {{surligner|''A''}} est connexe.

{{Ancre|Théorème du passage à la douane}}
Théorème du passage à la douane : dans un espace topologique, toute partie connexe qui rencontre à la fois une partie ''C'' et son complémentaire rencontre nécessairement la [[Frontière (topologie)|frontière]] de ''C''<ref name=Wikiversité>Cette propriété est démontrée dans le chapitre de [[Wikiversité]] sur la connexité {{infra|Voir aussi}}.</ref>.

Un [[Topologie produit|produit d'espaces]] non vides est connexe si (et seulement si) chaque facteur l'est. Plus généralement, l'espace total d'un [[fibré]] de base et de fibre connexes est connexe<ref>{{Ouvrage|lang=en|titre=Topology, Geometry, and Gauge Fields: Foundations|auteur=Gregory Naber|éditeur=[[Springer Science+Business Media|Springer]]|année=2013|url={{Google Livres|MObgBwAAQBAJ|page=81}}|page=81}}.</ref>.

=== Composantes connexes ===

Étant donné un point ''x ''d'un espace topologique ''E'', la réunion de toutes les parties connexes contenant ''x ''est connexe. C'est la plus grande (au sens de la relation d'inclusion) de toutes les parties connexes contenant ''x''. On la note ''C{{ind|x}} ''et on l'appelle '''composante connexe''' de ''x ''dans ''E''. Les composantes connexes des points de ''E ''sont donc les parties connexes maximales pour l'inclusion (il n'y en a qu'une si l'espace est connexe). Elles forment une [[Partition (mathématiques)|partition]] de ''E'' ; autrement dit : ce sont les classes d'une [[relation d'équivalence]] sur ''E''. Deux points de ''E ''sont dits '''connectés''' s'ils sont dans la même composante connexe.

Au minimum, on a ''C{{ind|x}} ''= {''x''} ; cela signifie  que {''x''} est le seul  sous-ensemble connexe de ''E ''contenant ''x ''mais pas forcément que ''x ''est un [[point isolé]] (voir exemples). Si ''C{{ind|x}} ''= {''x''} pour tout point ''x ''de ''E'', on dit que ''E ''est [[espace totalement discontinu|totalement discontinu]]. Au maximum, on a ''C{{ind|x}} = E ''; c'est le cas où ''E ''est connexe.

Les composantes connexes sont toujours fermées mais pas toujours ouvertes (elles le sont si et seulement si l'espace est leur [[Réunion disjointe#Réunion disjointe d'espaces topologiques|somme topologique]]) ; cependant :
* les composantes connexes d'un [[espace localement connexe]] sont ouvertes ;
* toute partie connexe non vide qui est à la fois fermée et ouverte est une composante connexe.

;Exemples
:* ℝ* a deux composantes connexes : ℝ{{ind|+}}* et ℝ{{ind|–}}*.
:* Plus généralement, le [[Groupe linéaire|groupe GL(''n'', ℝ)]] des matrices inversibles de taille ''n'' a deux composantes connexes, données par le signe du [[Déterminant (mathématiques)|déterminant]].
:* Dans ℕ et plus généralement dans un espace muni de la topologie discrète, les composantes connexes sont les singletons.
:* Dans ℚ, aucun point n'est isolé, mais les composantes connexes sont aussi les singletons. Le même phénomène se produit pour l'[[ensemble de Cantor]]. Ce sont donc des exemples d'espaces [[espace totalement discontinu|totalement discontinus]].
:* Tout ouvert de ℝ est localement connexe (car ℝ l'est) donc est réunion ([[Ensemble dénombrable#Topologie|donc réunion au plus dénombrable]]) {{math|∪{{ind|''k''∈κ}}''I{{ind|k}}''}} d'intervalles ouverts non vides disjoints : ses composantes connexes. Il est donc [[homéomorphe]] à ℝ×{{math|κ}} (où {{math|κ}} est muni de la [[topologie discrète]]).

=== Connexité et continuité ===
D'après la définition, un espace est connexe lorsque son image par une application continue n'est jamais l'espace discret {0, 1}. Or ce dernier est (''a fortiori'') non connexe. Plus généralement :
{{Énoncé|Toute image continue d'un connexe est connexe.}}
C'est-à-dire que si ''E ''est un espace connexe et ''f ''une application continue de ''E ''dans un espace ''F'', alors ''f''(''E'') est une partie connexe de ''F''.
{{Retrait|En effet, si ''g'' est une application continue de ''f''(''E'') dans l'espace discret {0, 1}, alors ''g''∘''f'' — continue sur le connexe ''E'' — est constante donc ''g'' est constante.}}
En particulier :
*ceci fournit une preuve du fait que tout [[Chemin (topologie)|chemin]] est connexe — qui correspond au cas où ''E'' est un [[intervalle réel]] — et du [[théorème des valeurs intermédiaires]] (qui est le cas particulier d'un chemin dans ℝ) à condition d'avoir démontré au préalable que tout intervalle réel est connexe, comme indiqué [[#Connexité et nombres réels|ci-dessus]], sans utiliser ce théorème ;
*tout [[Topologie quotient|quotient]] d'un connexe est connexe.

== Applications localement constantes ==

{{Théorème|Définition|Une application ''f ''d'un espace topologique ''X ''dans un [[ensemble]] ''Y ''est dite {{Lien|trad=Locally constant function|Application localement constante|texte=localement constante}} sur ''X ''si tout point de ''X ''possède un [[Voisinage (mathématiques)|voisinage]] sur lequel ''f ''est constante.|style=display:table}}

Une fonction localement constante sur ''X ''n'est pas forcément constante sur ''X'', mais c'est le cas si l'espace ''X ''est connexe, comme le montre le théorème suivant.

{{Théorème|Théorème<ref>{{Note autre projet|Wikiversité|Topologie générale/Exercices/Connexité#Exercice 2|cet exercice corrigé|début=Voir par exemple}}</ref>|Si ''f ''est localement constante sur ''X ''alors elle est constante sur chaque composante connexe de ''X''.|style=display:table}}

La réciproque de ce théorème est fausse en général (prendre ''X ''= ℚ), mais vraie si ''X ''est localement connexe.

== Deux applications fondamentales à l'[[analyse (mathématiques)|analyse]] ==

Pour montrer qu'une propriété est vraie pour tous les points d'une partie que l'on sait connexe, on montre que l'ensemble des points qui la satisfait est ouvert et fermé.

C'est ce qu'on fait pour le théorème d'unicité des solutions globales d'une [[équation différentielle]], et pour le principe du [[prolongement analytique]].

== Applications à la topologie ==

Les applications sont nombreuses. La droite ℝ et le plan ℝ{{2}} ne sont pas homéomorphes : si tel était le cas, la droite privée d'un point serait homéomorphe au plan privé d'un point. Mais le second espace est connexe, le premier ne l'est pas.

Le même argument montre que le cercle ''S''{{1}} n'est pas homéomorphe à un intervalle.

Cet argument ne s'étend pas aux dimensions supérieures. Si on veut montrer en utilisant les mêmes idées que ℝ{{2}} et ℝ{{3}} ne sont pas homéomorphes, il faut faire intervenir la [[connexité simple]] (c'est-à-dire la connexité par arcs de l'[[espace des lacets]]). Le résultat est [[Théorème de l'invariance du domaine|encore vrai pour les dimensions supérieures]], mais fait appel pour la démonstration à des outils plus puissants comme l'[[Homologie singulière|homologie]].

On peut encore citer, comme application de la connexité, l'analyse de l'[[énigme des trois maisons]]. L'objet de cette énigme est de relier trois points du plan identifiés à des maisons à trois autres, identifiés à des fournisseurs (eau, gaz et électricité). Chaque maison doit être reliée aux trois fournisseurs et les liens ne doivent pas se croiser. La démonstration de l'impossibilité de résolution se fonde sur le [[théorème de Jordan]], qui s'exprime en termes de connexité.
 
== Cas des groupes topologiques ==
Dans un [[groupe topologique]] ''G'', la composante connexe de l'identité, appelée ''{{Lien|trad=Identity component|composante neutre}}'' et notée ''G''{{ind|0}}, est un [[sous-groupe distingué]]. Comme [[#Composantes connexes|toute composante connexe]], ''G''{{ind|0}} est fermé dans ''G'', et de plus ouvert si ''G'' est localement connexe (en particulier si ''G'' est localement connexe par arcs, notamment si ''G'' est un [[groupe de Lie]]). Le [[groupe quotient]] ''G''/''G''{{ind|0}} (muni de la [[topologie quotient]]) est [[#Composantes connexes|totalement discontinu]] ; il est [[Groupe discret|discret]] si et seulement si ''G''{{ind|0}} est ouvert.

La propriété suivante est très utile pour montrer des résultats de connexité :

Soit ''G'' un groupe topologique et ''H'' un sous-groupe. Si le groupe ''H'' et l'espace ''G''/''H'' sont connexes, alors ''G'' est lui-même connexe<ref>{{Ouvrage|lang=en|titre=Locally Compact Groups|auteur=Markus Stroppel|éditeur=[[Société mathématique européenne|EMS]]|année=2006|url={{Google Livres|3_BPupMDRr8C|page=55}}|page=55}}.</ref>{{,}}<ref>{{Ouvrage|id=Viro ''et al.'' 2008|lang=en|titre=Elementary Topology|auteur=[[Oleg Viro|O. Ya. Viro]]|auteur2=O. A. Ivanov|auteur3=N. Yu. Netsvetaev|auteur4=[[Viatcheslav Kharlamov|V. M. Kharlamov]]|éditeur=[[American Mathematical Society|AMS]]|url={{Google Livres|7U8-rs-S2boC|page=192}}|page=192 et 201|année=2008}}.</ref>.

Aussi, si ''G'' est un groupe topologique et ''H'' un sous-groupe distingué connexe, alors le [[produit semi-direct]] de ''H'' par l'[[espace quotient]] ''G''/''H'', avec pour action celle induite par le produit dans ''G'', est connexe. On peut ainsi montrer que, si ''G'' est un [[groupe de Lie]] et ''H'' son sous-groupe distingué maximal connexe, alors le produit semi-direct de ''H'' par l'[[espace quotient]] ''G''/''H'', muni de la topologie induite à partir d'une décomposition en orbites du [[fibré normal]] associé à cette action, est un groupe localement connexe<ref>{{Ouvrage|lang=en|titre=Topology and Geometry for Physicists|auteur1=Charles Nash |auteur2=Sidney C. Blau |auteur3 =Matthias Blau |publié_par =Academic Press Inc (London) Limited |année =1991}}.</ref>.

== Notes et références ==
{{Références}}

== Voir aussi ==
{{Autres projets|v=Topologie générale/Connexité}}
=== Articles connexes ===
* [[Espace bien enchaîné]]
* [[Espace unicohérent]]
* [[Théorème de Phragmén-Brouwer]]

=== Bibliographie ===

*[[Georges Skandalis]], ''Topologie et analyse {{3e|année}}'', [[Dunod]], {{abrd|coll.|collection}} « Sciences Sup », 2001
* Claude Wagschal, ''Topologie et analyse fonctionnelle'', [[Hermann (éditions)|Hermann]], {{abrd|coll.|collection}} « Méthodes », 1995

{{Portail|mathématiques}}

[[Catégorie:Propriété d'espace topologique]]
[[Catégorie:Connexité]]