Voir la source de Conséquence tautologique

En [[logique propositionnelle]], une '''conséquence tautologique''' est la forme stricte de la [[conséquence logique]]<ref>Barwise and Etchemendy 1999, {{p.|110}}.</ref>, dans laquelle la [[Tautologie (logique)|tautologie]] d'une proposition est conservée des prémisses à la conclusion. Les conséquences logiques ne sont pas toutes des conséquences tautologiques. Une [[Calcul des propositions|proposition]] <math>Q</math> est dite être une conséquence tautologique d'une, ou plus, autre propositions (<math>P_1</math>, <math>P_2</math>, ..., <math>P_n</math>) dans une [[preuve formelle|preuve]] par apport à un [[système logique]] si celui-ci est [[Validité (logique)|valide]] à introduire la proposition au-dessus de la ligne de preuve dans le cadre des [[Règle d'inférence|règles]] du système et, dans tous les cas où chacune de ces propositions (<math>P_1</math>, <math>P_2</math>, ..., <math>P_n</math>) sont vraies, la proposition <math>Q</math> est aussi vraie.  

Une autre manière de représenter la préservation de la [[tautologie]] est d'utiliser une [[Table de vérité|tables de vérités]]. Une proposition <math>Q</math> est dite être une conséquence tautologique d'une, ou plus, autre propositions (<math>P_1</math>, <math>P_2</math>, ..., <math>P_n</math>) si et seulement si dans chaque colonne de table de vérité la [[valeur de vérité]] « V » ou 1 est attribuée à toutes les propositions (<math>P_1</math>, <math>P_2</math>, ..., <math>P_n</math>) et aussi à <math>Q</math>.

== Exemple ==
a = « Socrate est un homme. » b = « Tous les hommes sont mortels. » c = « Socrate est mortel. »
: a
: b
: <math>{\therefore c}</math>
La conclusion de cet argument est une conséquence logique des prémisses, car il est impossible que tous les prémisses soit vrais et que la conclusion ne le soit pas.
{| border="1" cellpadding="1" cellspacing="0" class="wikitable" style="margin: 1em auto 10px; text-align: center;"
|+Table de Vérité pour ''a'' ∧ ''b et '' ''c''
! style="width:35px; background:#aaa;" | ''a''
! style="width:35px; background:#aaa;" | ''b''
! style="width:35px; background:#aaa;" | ''c''
! style="width:80px; " | ''a'' ∧ ''b''
! style="width:35px" | ''c''
|-
|V
|V
|V
|V
|V
|-
|V
|V
| F  
|V
| F
|-
|V
| F  
|V
| F  
|V
|-
|V
| F  
| F  
| F  
| F
|-
| F  
|V
|V
| F  
|V
|-
| F  
|V
| F  
| F  
| F
|-
| F  
| F  
|V
| F  
|V
|-
| F  
| F  
| F  
| F  
| F
|}
Lorsqu'on observe la table de vérité, il se trouve que la conclusion de l'argument n'est ''pas'' une conséquence tautologique du [[prémisse]]. Toutes les colonnes qui assignent V au prémisse n'attribuent pas forcément toutes V à la conclusion. En particulier la deuxième rangée, qui assigne V à ''a ''∧ ''b'', mais n'attribue pas V à ''c''.

== Dénotation et propriétés ==
Il résulte de la définition que si une proposition ''p'' est une contradiction, alors ''p'' implique tautologiquement toute proposition, car il n'y a pas d'évaluation de vérité qui assigne la valeur V à'' p'' et donc la définition de l'implication tautologique est trivialement satisfaite. De même, si ''p'' est une tautologie, alors ''p'' est tautologiquement impliqué par toute proposition.

== Voir aussi ==
* [[Déduction logique]]
* [[Tautologie (logique)|Tautologie]]
* [[Table de vérité]]

== Notes ==
{{Références}}

== Références ==
{{Traduction/Référence|lang1=en|art1=Tautological consequence|id1=695449735}}
* [[Jon Barwise]], et [[John Etchemendy]]. ''Language, Proof and Logic''. Stanford: CSLI (Center for the Study of Language and Information) Publications, 1999. 
* [[Stephen Cole Kleene|Kleene, S. C.]] (1967) ''Mathematical Logic'',   réimprimé 2002, [[Dover Publications]], {{ISBN|0-486-42533-9}}.

{{Portail|logique}}
[[Catégorie:Logique formelle]]