Voir la source de Constante d'Apéry

[[Image:Apéry's constant.svg|vignette|Approximation de la constante d'Apéry (ligne bleue) par les [[Série (mathématiques)#Séries numériques|sommes partielles de la série]] des {{math|1/''n''{{3}}}} (ligne rouge).]]
En [[Analyse (mathématiques)|analyse]] [[mathématique]], la '''constante d'Apéry''' est la valeur en {{math|3}} de la [[fonction zêta de Riemann]] :
<center><math>\zeta(3)=\sum_{n=1}^\infty\frac1{n^3}\approx1{,}202</math><ref>Les {{unité|20000|premières}} décimales figurent dans la {{OEIS|A002117}}.</ref>.</center>
Elle porte le nom de [[Roger Apéry]], qui a montré en [[1978 en science|1978]] que ce nombre est [[nombre irrationnel|irrationnel]].

On n'en connaît pas de [[expression de forme fermée|forme fermée]].

== Décimales connues ==
Cette constante était connue avec {{Unité|128000026|[[décimale]]s}} en [[1998]]<ref>Voir les messages de Sebastian Wedeniwski et [[Simon Plouffe]] : {{Lien web|lang=en|auteur=S. Wedeniwski|titre=Apery's constant to 128,000,026 decimal digits|url=http://www.math.rutgers.edu/~zeilberg/mamarim/mamarimhtml/Zeta3.txt|date=13/12/1998}} et {{Lien web|lang=en|auteur=S. Plouffe|titre=The Value of Zeta(3) to 1,000,000 places|date=2001|site=Project Gutenberg|url=http://www.gutenberg.org/cache/epub/2583/pg2583.html}}.</ref>, {{formatnum:1000000000}}<ref>{{Lien web|lang=en|auteur=Xavier Gourdon|auteur2=Pascal Sebah|url=http://numbers.computation.free.fr/Constants/Zeta3/zeta3.html|titre=The Apery's constant : ζ(3)|site=numbers.computation.free.fr|date=2003}}.</ref> en [[2003]] et jusqu'à {{Unité|400000000000|décimales}} en [[2015]]<ref>{{Lien web|lang=en|url=https://dipanjan.me/calculated-aperysconstant-upto-400000000000-digit-a-world-record/|titre=Calculated Apery’s constant to 400,000,000,000 Digit, A world record|auteur=Dipanjan Nag|date=27/11/2015}}.</ref>.

== Occurrences ==
Ce nombre apparaît dans diverses situations :
* dans différents problèmes de [[physique]], dont les termes de deuxième et troisième ordre du [[rapport gyromagnétique]] de l'[[électron]] en [[électrodynamique quantique]] ;
* en [[théorie des graphes]]<ref>{{Article|lang=en|auteur=[[Alan M. Frieze]]|titre=On the value of a random minimum spanning tree problem|revue=[[Discrete Applied Mathematics|Discrete Appl. Math.]]|vol=10|numéro=1|date=1985|p.=47-56|doi=10.1016/0166-218X(85)90058-7}}.</ref> ;
* en compagnie de la [[fonction gamma]] lors de la résolution de certaines [[intégration (mathématiques)|intégrales]] qui font appel aux [[fonction exponentielle|fonctions exponentielles]] (par exemple dans la solution à deux dimensions du [[modèle de Debye]]) ;
* en [[théorie des nombres]] : pour tout entier {{math|''k'' > 1}}, la probabilité pour que {{mvar|k}} entiers strictement positifs pris au hasard n'aient aucun [[facteur commun]] est égale à {{math|1/ζ(''k'')}} (cf. [[Fonction zêta de Riemann#Représentation de 1/ζ et fonction M de Mertens|§ « Représentation de {{math|1/ζ}} et fonction ''M'' de Mertens » de l'article « Fonction zêta de Riemann »]]), en particulier, la probabilité pour trois nombres d'être [[Nombres premiers entre eux|premiers entre eux]] est égale à l'inverse de la constante d'Apéry, {{math|1/ζ(3) {{≃|0,831907}}…}}<ref>Suite {{OEIS2C|A088453}} de l'OEIS.</ref>.

== Irrationalité ==
{{Article détaillé|Théorème d'Apéry}}
Le nombre {{math|ζ(3)}} est [[Nombre irrationnel|irrationnel]]<ref>{{article|auteur=Roger Apéry|titre= "Irrationalité de {{math|ζ2}} et {{math|ζ3}}"|périodique=Astérisque|volume=61|passage=11-13|année=1979|url=http://www.numdam.org/item/AST_1979__61__11_0/}}.</ref>.

{{Démonstration|titre=Éléments de démonstration
|contenu=
La démonstration d'Apéry passe par une écriture en [[fraction continue généralisée]] de cette constante :
:<math>\zeta(3)=\dfrac{6}{P(0)-\dfrac{1^6}{P(1)-\dfrac{2^6}{P(2)-\dfrac{3^6}{P(3)-...}}}}</math>
avec
:<math>P(x) = 34 x^3 +51x^2+27x+5.</math>
En notant les réduites de la fraction <math>\frac{p_n}{q_n}</math>, on peut montrer que
:<math>\left|\zeta(3) - \frac{p_n}{q_n}\right|<\frac{1}{q_n^{1,06}},</math>
ce qui permet de conclure<ref>{{ouvrage|titre=Promenades mathématiques|auteur=Frédéric Laroche|éditeur=[[Éditions Ellipses|Ellipses]]|année=2004}}.</ref>.
}}

On ne sait pas s'il est [[Nombre transcendant|transcendant]]<ref>{{MathWorld|nom_url=AperysConstant|titre=Apéry's Constant}}.</ref>.

Par comparaison, pour tout entier {{math|''k'' > 0}}, le nombre [[Fonction zêta de Riemann#Valeurs de la fonction zêta pour s entier pair non nul|{{math|ζ(2''k'')}}]] est transcendant car [[Commensurabilité (mathématiques)|commensurable]] à {{math|[[Pi|π]]{{exp|2''k''}}}} (par exemple : [[Problème de Bâle|{{math|1=ζ(2) = π{{2}}/6}}]]).

Notons que l'on conjecture que le nombre <math>\zeta(3)/\pi^3</math> est irrationnel, voir la {{OEIS|A276120}}.

== Représentations par des [[Série convergente|séries]] ==

=== Séries classiques ===
:<math>\zeta(3)=</math><ref>{{Article|lang=la|auteur=[[Leonhard Euler]]|titre=Exercitationes analyticae|revue=Novi Comment. [[Académie des sciences de Saint-Pétersbourg|Acad. Sci. Petrop.]]|vol=17|date=1773|p.=173-204|url=http://eulerarchive.maa.org/pages/E432.html}}.</ref>{{,}}<ref>{{Article|lang=en|auteur=H. M. Srivastava|titre=Some families of rapidly convergent series representations for the zeta functions|revue=Taiwanese Journal of Mathematics|vol=4|numéro=4|date=2000|p.=569-598|url=http://society.math.ntu.edu.tw/~journal/tjm/V4N4/tjm0012_3.pdf}}, {{p.|571}} (1.11).</ref> <math>-\frac{4\pi^2}7\sum_{k=0}^\infty\frac{\zeta(2k)}{2^{2k}(2k+1)(2k+2)}</math> (avec <math>{\zeta(2k) = (-1)^{k+1} \frac{(2\pi)^{2k}B_{2k}}{2(2k)!} }</math>, où les <math>{\textstyle{B_{2k}}}</math> sont les [[Nombre de Bernoulli|nombres de Bernoulli]]).
:<math>\zeta(3)=</math><ref name=Exo9-2>{{Note autre projet|Wikiversité|Sommation/Exercices/Séries de Fourier et fonction zêta#Exercice 9-2|Exercice corrigé|début=}}</ref> <math>\frac87\sum_{k=0}^\infty \frac1{(2k+1)^3}=\frac87\lambda(3)</math>, où {{mvar|λ}} est la fonction lambda de [[Dirichlet]]<ref>{{MathWorld|nom_url=DirichletLambdaFunction|titre=Dirichlet Lambda Function}}.</ref>.
:<math>\zeta(3)=</math><ref name=Exo9-2/> <math>\frac43\sum_{k=0}^\infty\frac{(-1)^k}{(k+1)^3}=\frac43\eta(3)</math>, où {{mvar|η}} est la [[fonction êta de Dirichlet]].
:<math>\zeta(3)=</math><ref>{{Article|lang=la|auteur=Leonhard Euler|titre=Meditationes circa singulare serierum genus|revue=Novi Comment. Acad. Sci. Petrop.|vol=20|date=1776|p.=140-186|url=http://eulerarchive.maa.org/pages/E477.html}} ({{p.|152}}).</ref>{{,}}<ref>{{Note autre projet|Wikiversité|Sommation/Exercices/Séries de Fourier et fonction zêta#Exercice 9-9|Exercice corrigé|début=}}</ref> <math>\frac12\sum_{n=1}^\infty\frac1{n^2}\sum_{k=1}^n\frac1k=\frac12\sum_{n=1}^\infty\frac{H_n}{n^2}=\sum_{n=1}^\infty\frac{H_{n-1}}{n^2}</math>, où {{mvar|H{{ind|n}}}} est le {{mvar|n}}-ième [[nombre harmonique]].
:<math>\zeta(3)=</math><ref>{{Article|lang=en|auteur=[[Jonathan M. Borwein]]|auteur2=David M. Bradley|titre=Thirty-two Goldbach variations|revue=[[International Journal of Number Theory|Int. J. Number Theory]]|vol=2|date=2006|p.=65-103|arxiv=math/0502034}}, (1.5).</ref> <math>8\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^nH_{n-1}}{n^2}</math>.

=== Convergence rapide ===
Il est à noter que contrairement aux autres formules de ce paragraphe, la première a été déterminée dès le {{s-|XIX}}, en 1830, et ce par [[Thomas_Clausen_(astronome)|Clausen]] :
:<math>\zeta(3)=\frac{\pi}2\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\binom{2n}n}{2^{4n}(2n+1)^2}-\frac38\sum_{n=0}^{\infty}\frac1{\binom{2n+1}n(n+1)^3}</math>.
:<math>\zeta(3)=</math><ref>Formule trouvée par {{Chapitre|lang=sv|auteur=M. M. Hjortnaes|titre=Overføring av rekken <math>\sum_{k=1}^\infty\frac1{k^3}</math> til et bestemt integral|titre ouvrage=Proc. 12th Scandinavian Mathematical Congress|lieu=[[Lund (Suède)]]|date=1953|page=211-213}}, puis redécouverte et [[Théorème d'Apéry#La démonstration d'Apéry|utilisée par Apéry]].</ref> <math>\frac52\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n-1}}{\binom{2n}nn^3}</math>.
:<math>\zeta(3)=</math><ref>Trouvée par {{Article|lang=en|auteur=Tewodros Amdeberhan|titre=Faster and faster convergent series for ζ(3)|revue=[[Electronic Journal of Combinatorics|Electron. J. Combin.]]|vol=3|numéro=1|date=1996|url=http://www.combinatorics.org/ojs/index.php/eljc/article/view/v3i1r13}}, cette série donne (asymptotiquement) {{refsou|date=mars 2019|1,43 nouvelles décimales correctes par terme}}.</ref> <math>\frac14\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n-1}(56n^2-32n+5)}{\binom{3n}n\binom{2n}nn^3(2n-1)^2}</math>.
:<math>\zeta(3)=</math><ref>Trouvée par {{Article|lang=en|auteur=Tewodros Amdeberhan|auteur2=[[Doron Zeilberger]]|titre=Hypergeometric Series Acceleration Via the WZ method|revue=Electron. J. Combin.|vol=4|numéro=8|date=1997|url=http://www.combinatorics.org/ojs/index.php/eljc/article/view/v4i2r3}}, cette série donne (asymptotiquement) {{refsou|date=mars 2019|3,01 nouvelles décimales correctes par terme}}.</ref> <math>\frac1{64}\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^nn!^{10}}{(2n+1)!^5}\left(205n^2+250n+77\right)</math>.
:<math>\zeta(3)=</math><ref>C'est cette formule, tirée de {{Harvsp|Amdeberhan|Zeilberger|1997}}, que Wedeniwski a utilisée pour son [http://plouffe.fr/simon/articles/TableofRecords.pdf record de 1998] de calcul des décimales de cette constante. Cette série donne (asymptotiquement) {{refsou|date=mars 2019|5,04 nouvelles décimales correctes par terme}}.</ref> <math>\frac1{24}\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n\left[(2n+1)!(2n)!n!\right]^3}{(4n+3)!^3(3n+2)!}\left(126\,392n^5+412\,708n^4+531\,578n^3+336\,367n^2+104\,000n+12\,463\right)</math>.

=== Autres ===
Les ''[[Cahiers de Ramanujan]]''<ref>{{Ouvrage|lang=en|auteur=[[Bruce Carl Berndt|Bruce C. Berndt]]|titre=Ramanujan's Notebooks, Part II|date=1989|éditeur=[[Springer Verlag|Springer]]|numéro chapitre=14}}, formules 25.1 et 25.3.</ref> ont inspiré à [[Simon Plouffe]] les formules suivantes<ref>{{Lien web|lang=en|auteur=S. Plouffe|titre=Identities inspired from Ramanujan Notebooks II|date=21/7/1998|url=http://www.lacim.uqam.ca/~plouffe/identities.html}}.</ref> :
:<math>\zeta(3)=\frac7{180}\pi^3-2\sum_{n=1}^\infty\frac1{n^3(\mathrm e^{2\pi n}-1)}</math> ;
:<math>\zeta(3)=14\sum_{n=1}^\infty\frac1{n^3\sinh(\pi n)}-\frac{11}2\sum_{n=1}^\infty\frac1{n^3(\mathrm e^{2\pi n}-1)}-\frac72\sum_{n=1}^\infty\frac1{n^3(\mathrm e^{2\pi n}+1)}</math>.

Srivastava<ref>Voir {{Harvsp|Srivastava|2000}}.</ref> a collecté de nombreuses séries qui convergent vers {{math|ζ(3)}}.

== Représentations par des [[Intégrale impropre|intégrales]] ==

=== Formules simples ===
La première est issue de la définition de la [[Fonction zêta de Riemann|fonction {{math|ζ}}]] par une série et, les deux suivantes, d'expressions intégrales bien connues de cette fonction :
:<math>\zeta(3)=\int_0^1\int_0^1\int_0^1\frac1{1-xyz}\,\mathrm dx\,\mathrm dy\,\mathrm dz</math> ;
:<math>\zeta(3)=\frac12\int_0^\infty\frac{x^2}{\mathrm e^x-1}\,\mathrm dx=\frac23\int_0^\infty\frac{x^2}{\mathrm e^x+1}\,\mathrm dx</math>.

{{refsou|date=mars 219|La suivante résulte du [[développement de Taylor]] de {{math|''χ''<sub>3</sub>(e<sup>i''x''</sup>)}} en {{math|1=''x'' = ±{{sfrac|π|2}}}}, où {{mvar|χ{{ind|ν}}}} est la [[fonction chi de Legendre]]}} :
:<math>\zeta(3)=\frac47\int_0^\frac\pi2x\ln{(\sec x+\tan x)}\,\mathrm dx</math>.

Elle ressemble à cette expression de la [[constante de Catalan]] {{math|K}} :
:<math>\mathrm K=\frac12\int_0^\frac\pi2\ln{(\sec x+\tan x)}\,\mathrm dx</math>.

Une autre formule similaire, issue du [[Série entière|développement en série entière]] de la fonction complexe <math>\ln{(1-z)}</math> :

:<math>\zeta(3)=\frac87\int_0^\frac\pi2x\ln{\tan x}\,\mathrm dx</math>

De manière analogue, la constante de Catalan s'exprime par :

:<math>\mathrm K=-\int_0^\frac\pi4\ln{\tan x}\,\mathrm dx</math>

=== Formules plus compliquées ===
:<math>\zeta(3)=</math><ref>{{Article|auteur=[[Johan Jensen|J. L. W. V. Jensen]]|titre=Note {{numéro|245}}. Deuxième réponse. Remarques relatives aux réponses de MM. [[Jérôme Franel|Franel]] et {{Lien|trad=Jan Cornelis Kluyver|langue=de|texte=Kluyver}}|revue=[[L'Intermédiaire des mathématiciens]]|vol=2|date=1895|p.=346–347}}.</ref> <math>\pi\!\!\int_{0}^{\infty} \! \frac{\cos(2\arctan{x})}{\left(x^2+1\right)\cosh^2\frac{\pi x}2}\,\mathrm dx</math>.
:<math>\zeta(3)=</math><ref>{{Article|lang=en|auteur={{Lien|Frits Beukers}}|titre=A note on the irrationality of {{math|ζ(2)}} and {{math|ζ(3)}}|revue=Bull. [[London Mathematical Society|London Math. Soc.]]|vol=11|numéro=3|date=1979|p.=268-272|doi=10.1112/blms/11.3.268}}.</ref> <math>-\frac12\int_0^1\int_0^1\frac{\ln(xy)}{1-xy}\,\mathrm dx\,\mathrm dy=-\int_0^1\int_0^1\frac{\ln(1-xy)}{xy}\,\mathrm dx\,\mathrm dy</math>.
:<math>\zeta(3)=</math><ref>{{Harvsp|Borwein|Bradley|2006}}.</ref> <math>\int_0^1\frac{\ln x\ln(1-x)}x\,\mathrm dx</math>.
:<math>\zeta(3)=</math><ref>{{Article|lang=en|auteur=Iaroslav V. Blagouchine|titre=Rediscovery of [[Carl Johan Malmsten|Malmsten]]'s integrals, their evaluation by [[Intégrale de contour|contour integration methods]] and some related results|revue=[[The Ramanujan Journal]]|vol=35|numéro=1|date=2014|p.=21-110|doi=10.1007/s11139-013-9528-5}}.</ref> <math>\frac{8\pi^2}7\int_0^1\frac{x\left(x^4-4x^2+1\right)\ln\ln\frac1x}{(1+x^2)^4}\,\mathrm dx=\frac{8\pi^2}7\int_1^\infty\frac{x\left(x^4-4x^2+1\right)\ln\ln x}{(1+x^2)^4}\,\mathrm dx</math>.
:<math>\zeta(3)=</math><ref>{{Ouvrage|lang=en|auteur=M. A. Evgrafov|auteur2=K. A. Bezhanov|auteur3=Y. V. Sidorov|auteur4=M. V. Fedoriuk|auteur5=M. I. Shabunin|titre=A Collection of Problems in the Theory of Analytic Functions [in Russian]|éditeur=[[Nauka (éditeur)|Nauka]]|lieu=Moscou|date=1969}}, ex. 30.10.1.</ref> <math>-\tfrac12\Gamma'''(1)+\tfrac32\Gamma'(1)\Gamma''(1)-\big(\Gamma'(1)\big)^3=-\tfrac12\psi_2(1)</math>, et l'on connaît des représentations intégrales de la [[fonction gamma]], de ses dérivées, et de la [[fonction digamma]].

== Notes et références ==
{{Traduction/Référence|en|Apéry's constant|880787192|type=n}}
{{Références|taille=30}}

== Voir aussi ==
=== Articles connexes ===
*[[Valeurs particulières de la fonction zêta de Riemann]]
*[[Liste de suites de nombres premiers#Nombre premier issu de troncature de constante|Nombres premiers issus de troncature de cette constante]]
=== Bibliographie ===
*{{Ouvrage|lang=en|auteur=A. Cuyt|auteur2=V. Brevik Petersen|auteur3=B. Verdonk|auteur4=H. Waadeland|auteur5=W. B. Jones|titre=Handbook of Continued Fractions for Special Functions|éditeur=Springer|date=2008|isbn=978-1-4020-6948-2|url={{Google Livres|DQtpJaEs4NIC|page=188}}|passage=188}}
*{{Lien web|lang=en|auteur=D. J. Broadhurst|titre=Polylogarithmic ladders, hypergeometric series and the ten millionth digits of ζ(3) and ζ(5)|date=1998|arxiv=math.CA/9803067}}

{{Portail|nombre}}

[[Catégorie:Constante mathématique|Apery]]
[[Catégorie:Fonction zêta]]