Voir la source de Constante d'Embree-Trefethen

En [[mathématiques]], et notamment en [[théorie des nombres]], la '''constante d'Embree-Trefethen''' est une valeur charnière, notée traditionnellement <math>\beta^*</math> et valant approximativement <math>0{,}70258</math>. Cette [[Table de constantes mathématiques|constante]] porte le nom des [[mathématicien]]s  {{Lien|trad=Mark Embree|fr=Mark Embree|texte=Mark Embree}} et [[Lloyd N. Trefethen]]<ref>{{article|lang=en
 | auteur1 = Mark Embree
 | auteur2  = Lloyd N. Trefethen
 | doi = 10.1098/rspa.1999.0412 
 | titre = Growth and decay of random Fibonacci sequences 
 | journal = Proceedings of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences 
 | volume = 455 | numéro = 1987 | pages = 2471-2485
 |date= 1999
 | url = http://people.maths.ox.ac.uk/~trefethen/publication/PDF/1999_86.pdf
}}.</ref>.

Soit <math>\beta</math> un nombre positif fixé. On considère la [[suite définie par récurrence]]

: <math>x_{n+1}=x_n \pm \beta x_{n-1}</math>

où le signe ± dans la somme est choisi aléatoirement pour chaque {{mvar|n}}, indépendamment et avec la même probabilité pour + et&nbsp;−. On peut démontrer que pour chaque <math>\beta</math>, la limite

:<math>\sigma(\beta) = \lim_{n \to \infty}{|x_n|^{1/n}}</math>

existe [[presque sûrement]]. En d'autres termes, la suite varie exponentiellement avec probabilité 1, et <math>\sigma(\beta)</math> peut être vu comme le taux presque sûr de [[croissance exponentielle]].

On a 

: <math>\sigma(\beta)<1</math> pour <math>0 < \beta < \beta^*</math>
où  <math>\beta^*\approx0{,}70258</math> ({{OEIS2C|A118288}}), de sorte que la suite récurrente décroît exponentiellement avec probabilité 1 quand {{mvar|n}} tend vers l'infini, et 
: <math>\sigma(\beta)>1</math> pour <math>\beta >\beta^*</math>
de sorte que la suite croît exponentiellement. En ce qui concerne les valeurs de <math>\sigma</math>, on a : 
* <math>\sigma(1) = 1{,}13198\dots</math> (c'est la [[constante de Viswanath]] {{OEIS2C|A078416}}) et 
* <math>\sigma(\beta^*) = 1</math>. 

== Notes et références ==
{{Traduction/Référence|en|Embree–Trefethen constant|678336458|type=note}}
{{Références}}

== Liens externes ==
* {{MathWorld|nom_url=RandomFibonacciSequence|titre=Random Fibonacci Sequence}}
* {{Lien web|titre=Les suites de Fibonacci aléatoires
 |url=http://gt-alea.math.cnrs.fr/alea2009/slides/rittaud.pdf
 |auteur=Benoît Rittaud
 |série = ALEA 2009
 |éditeur =Université Paris-13}}

{{Portail|théorie des nombres}}

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[[Catégorie:Combinatoire]]