Voir la source de Constante de Catalan

{{Voir homonymes|Catalan (homonymie)}}
En [[mathématiques]], la '''constante de Catalan''', portant le nom du mathématicien [[Eugène Charles Catalan]], est le nombre défini par :
{{retrait|1=<math>K = \beta(2)=\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n+1)^2}\approx0{,}915~965~594</math>}}
où <math>\beta</math> est la [[fonction bêta de Dirichlet]].

Ses décimales sont répertoriées par la {{OEIS|A006752}}.
 
On ne sait pas si la constante <math>K</math> est [[Nombre rationnel|rationnelle]] ou [[Nombre irrationnel|irrationnelle]].

== Autres expressions ==
La constante <math>K</math> de Catalan est aussi égale à :

=== Expressions intégrales ===
*<math>I_1=\int_0^1 {\arctan u \over u} \, \mathrm du = \mathrm{Ti}_2(1)</math>, où {{math|Ti{{ind|2}}}} désigne la fonction [[arc tangente intégral]]
*<math>I_2={1\over2}\int_0^{\pi/2} \frac u{\sin u}\mathrm du</math>
*<math>I_3=- \int_0^1 {\ln u \over 1+u^2} \, \mathrm du= \int_1^{+\infty} {\ln u \over 1+u^2} \, \mathrm du</math>
*<math>I_4=- \int_0^{\pi/4} {\ln(\tan u) \, \mathrm du}=\int_0^{\pi/4} {\ln(\cot u) \, 
\mathrm du} \overset{u\leftrightarrow 2u}{=} \frac14 \int_0^{\pi/2} \ln\left(\frac{1+\cos u}{1-\cos u}\right) \, \mathrm du </math>
*<math>I_5=\int_0^1 \int_0^1 \frac{\mathrm dx \mathrm dy}{1+x^2 y^2} </math>
*<math>I_6=\int_0^{1/\sqrt 2} { \arcsin u\over{u(1-u^2)}}\mathrm du</math>
*<math>I_7=\int_0^{\ln(1+\sqrt 2)} \arccos {(\operatorname{sh} u)} \,\mathrm du
\overset{\operatorname{sh}u\leftrightarrow u}{=}\int_0^1 \frac{\arccos u}{\sqrt{1+u^2}} \,\mathrm du</math>
*<math>I_8=\int_0^{\pi/2} \operatorname{argsh} {(\sin u)} \,\mathrm du\overset{\sin u\leftrightarrow u}{=}
\int_0^1 \frac{\operatorname{argsh} u}{\sqrt{1-u^2}} \,\mathrm du
</math>
*<math>I_{9}={1\over 2}\int_0^{\pi/2} \operatorname{argth} {(\sin u)} \,\mathrm du
\overset{\sin u\leftrightarrow u}{=}{1\over 2}\int_0^1 \frac{\operatorname{argth} u}{\sqrt{1-u^2}} \,\mathrm du
</math>
*<math>I_{10}=\int_0^{+\infty} \arctan (e^{-u}) \,\mathrm du</math>
*<math>I_{11}=\frac12 \int_0^{+\infty} \frac{u}{\operatorname{ch} u} \,\mathrm du</math>
*<math>I_{12}={1 \over 2} \int_0^1F(k)\, \mathrm dk\quad</math> où <math>\quad F(k) = \int_0^{\frac\pi2} \frac{\, \mathrm d\varphi}{\sqrt{1-k^2\sin^2 \varphi}}</math>  est l'[[intégrale elliptique]] complète de première espèce
*<math>I_{13}=-{1 \over 2} +\int_0^1E(k)\, \mathrm dk\quad</math> où <math>\quad E(k) = \int_0^{\frac\pi2} {\sqrt{1-k^2\sin^2 \varphi}}\, \mathrm d\varphi</math>  est l'[[intégrale elliptique]] complète de deuxième espèce
*<math>I_{14}={1\over4}\int_0^1 \int_0^1 \frac{\mathrm dx \mathrm dy}{(x+y)\sqrt{(1-x)(1-y)}} </math>
*<math>I_{15}=\int_{1/\sqrt2}^1 \frac{\operatorname{argth} u}{u\sqrt{2u^2-1}} \,\mathrm du
\overset{u\leftrightarrow \cos u}{=}\int_{0}^{\pi/4} 
\frac{\tan u\operatorname{argth} (\cos u)}{\sqrt{\cos 2u}} \,\mathrm du</math>
*<math>I_{16}=\int_{0}^{1/\sqrt2} \frac{\operatorname{argth} u}{{(1-u^2)}\sqrt{1-2u^2}} \,\mathrm du
\overset{u\leftrightarrow \sin u}{=}\int_{0}^{\pi/4} \frac{\operatorname{argth} (\sin u)}{\cos u\sqrt{\cos 2u}} \,\mathrm du</math>

{{Démonstration|titre=Démonstrations de ces égalités|contenu=On passe de <math>I_1</math> à <math>K</math> en développant <math>\arctan</math> en série entière ; 

on passe de <math>I_1</math>à <math>I_2</math> en posant <math>u=\tan{v\over 2}</math>;

on passe de <math>I_1</math> à <math>I_3</math> en intégrant par parties (dériver <math>\arctan</math> et intégrer <math>u\mapsto1/u</math>) et le passage entre les deux expressions se fait en changeant <math>u</math> en <math>1/u</math> ;

on passe de <math>I_3</math> à <math>I_4</math> en posant <math>u=\tan v</math>;

on passe  de <math>I_5</math> à <math>I_1</math> en posant <math>x={u \over y}</math>;

on passe de <math>I_6</math> à  <math>I_2</math> en posant <math>u=\sin{v\over2}</math>;

on passe de <math>I_7</math> à <math>I_8</math> en intégrant par parties ;

démonstration de <math>I_8=I_1</math> :

<math>\operatorname{argsh}x=\int_0^x \frac{\mathrm du}{\sqrt{1+u^2}} \,\overset{u=tx}{=}
\int_0^1 \frac{x\,\mathrm dt}{\sqrt{1+t^2x^2}}\,</math> donc <math>I_8=\int_0^{\pi/2} \int_0^1 \frac{\sin u}{\sqrt{1+t^2\sin^2u}}\,\mathrm dt \,\mathrm du
=\int_0^{1} \int_0^{\pi/2} \frac{\sin u\,\mathrm du}{\sqrt{1+t^2\sin^2u}} \,\mathrm dt</math> 

or <math>\int_0^{\pi/2} \frac{\sin u}{\sqrt{1+t^2\sin^2u}}\,\mathrm du\overset{v=\cos u}{=}
\int_0^{1} \frac{\mathrm dv}{\sqrt{1+t^2-t^2v^2}}={1\over t}
\arcsin {t \over \sqrt{1+t^2}}={\arctan {t }\over t}
</math> donc <math>I_8=I_1</math> ;

variante :
posons <math>f(x)=\int_0^{\pi/2} \operatorname{argsh} {(x\sin u)} \,\mathrm du</math> ; alors <math>f'(x)=\int_0^{\pi/2} \frac{\sin u}{\sqrt{1+x^2\sin^2 u}} \,\mathrm du={\arctan x\over x}</math> comme ci-dessus, donc <math>I_8=f(1)=\int_0^1f'(x)dx=\int_0^1\frac{\arctan(x)}{x}\mathrm dx=I_1</math>;

démonstration de <math>I_4</math> = <math>I_9</math>

<math>\int_0^{\pi/4} {\ln(\cot(u)) \, \mathrm du}={1\over 2}\int_0^{\pi/2} {\ln(\cot(2u)) \, \mathrm du}
={1\over 2}\int_0^{\pi/2} {\ln\sqrt{{1+\cos u}\over{1-\cos u}} \, \mathrm du}
={1\over 2}\int_0^{\pi/2} {\operatorname{argth}\cos u \, \mathrm du}
={1\over 2}\int_0^{\pi/2} {\operatorname{argth}\sin u \, \mathrm du}</math>

on passe de <math>I_{10}</math> à <math>I_2</math> en posant <math>e^{-u}=\tan{v\over2}</math>;

on passe de <math>I_{11}</math> à <math>I_3</math> en posant <math>u=\ln v</math>;

on passe de <math>I_{12}</math> et <math>I_{13}</math> à <math>I_2</math> en intervertissant les signes d'intégration;

passage de <math>I_{14}</math> à <math>I_{15}</math> :

<math>\int_0^1 \frac{\mathrm dx}{(x+y)\sqrt{(1-x)(1-y)}}=
\left [ \frac{-2 \operatorname{argth}\sqrt{1-x \over{1+y}}}{\sqrt{1-y^2}} \right ]_0^1=
\frac{2 \operatorname{argth}\sqrt{1 \over{1+y}}}{\sqrt{1-y^2}} </math>

donc <math>I_{14}={1\over4}\int_0^1 \int_0^1 \frac{\mathrm dx \mathrm dy}{(x+y)\sqrt{(1-x)(1-y)}}
=\int_0^1 {\frac{ \operatorname{argth}\sqrt{1 \over{1+y}}}{2\sqrt{1-y^2}}}\mathrm dy
\overset{u=1/{\sqrt{1+y}}}=\int_{1/\sqrt2}^1 \frac{\operatorname{argth} u}{u\sqrt{2u^2-1}} \,\mathrm du=I_{15} </math>

pour <math>I_{14}</math> et  <math>I_{16}</math>, voir la référence Bradley ci-dessous, pages 23 et 11.
}}

=== Développements en série ===
Cette constante peut aussi être définie par la [[fonction de Clausen]] :
{{retrait|1= <math>K=\operatorname{Cl}_2\left(\frac\pi2\right)=\sum_{n=1}^\infty \frac{\sin(n\frac\pi2)}{n^2}</math>, }}
ce qui nous donne les formules suivantes :
*<math> K=- \int_0^\frac\pi2\ln\biggl(2 \sin{u\over 2}\biggr) \,\mathrm du</math>,
* <math>K=\frac\pi2\left(1-\ln\left(\frac\pi2\right) + \sum_{n=1}^\infty \frac{\zeta(2n)}{n(2n+1)} \left(\frac14\right)^{2n}\right)</math>,
* <math> K=\frac\pi2\left(3-\ln\left(\frac{15\pi}{32}\right)
-4 \ln \left( \frac53\right) +\sum_{n=1}^\infty \frac{\zeta(2n)-1}{n(2n+1)} \left(\frac14\right)^{2n}\right)
</math>.

Puisque <math>K</math> est l'image de 2 par la fonction bêta, nous avons un lien avec le [[Fonction polylogarithme|polylogarithme]] :
{{retrait|1=<math>\operatorname{Li}_2(\mathrm{i}) = -\frac{\pi^2}{48} + \mathrm{i}K</math>,}}
d'où :
{{retrait|1= <math>K= \Im (\operatorname{Li}_2(\mathrm{i}))</math>. }}

== Utilisation ==

{{Mvar|K}} apparaît en [[combinatoire]], ainsi que dans les valeurs de la [[fonction polygamma]] de deuxième ordre, aussi appelée la [[fonction trigamma]] :
{{retrait|1= <math> \psi_1\left(\frac14\right) = \pi^2 + 8K</math>, }}
{{retrait|1= <math> \psi_1\left(\frac34\right) = \pi^2 - 8K</math>. }}

[[Simon Plouffe]] donne une famille infinie d'identités entre la fonction trigamma, <math>\pi^2</math> et la constante de Catalan. 

{{Mvar|K}} apparaît aussi dans la [[loi sécante hyperbolique]].

== Séries convergeant rapidement ==
Les deux formules suivantes convergent rapidement vers {{Mvar|K}} et sont donc appropriées pour le [[calcul numérique]] :

{| style="margin-left:1em"
|-
|<math>K = \,</math>
|<math>3 \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{2^{4n}}
\left(
-\frac1{2(8n+2)^2}
+\frac1{2^2(8n+3)^2}
-\frac1{2^3(8n+5)^2}
+\frac1{2^3(8n+6)^2}
-\frac1{2^4(8n+7)^2}
+\frac1{2(8n+1)^2}
\right) -</math>
|-
|
|<math>
2 \sum_{n=0}^\infty \frac1{2^{12n}}
\left(
\frac1{2^4(8n+2)^2}
+\frac1{2^6(8n+3)^2}
-\frac1{2^9(8n+5)^2}
-\frac1{2^{10} (8n+6)^2}
-\frac1{2^{12} (8n+7)^2}
+\frac1{2^3(8n+1)^2}
\right)</math>
|}
et
{{retrait|1= <math>K = \frac\pi8\ln \left(\sqrt3+2 \right) + \frac38\sum_{n=0}^\infty \frac{(n!)^2}{(2n)!(2n+1)^2}</math>. }}

Les calculs théoriques pour cette série ont été donnés par Broadhurst<ref>{{en}} D. J. Broadhurst, ''Polylogarithmic ladders, hypergeometric series and the ten millionth digits of ζ(3) and ζ(5)'', [[arXiv]] : [https://arxiv.org/abs/math.CA/9803067 math.CA/9803067], 1998.</ref>.

== Décimales connues ==

Le nombre de chiffres connus de la constante de Catalan a augmenté radicalement pendant les dernières décennies. Ceci est dû à l'augmentation des performances des ordinateurs et aux améliorations algorithmiques<ref>{{en}} ''[http://numbers.computation.free.fr/Constants/Miscellaneous/Records.html Constants and Records of Computation]'' sur le site de X. Gourdon et P. Sebah.</ref>.

{| class="wikitable centre"
|+ Nombres de chiffres connus de la constante de Catalan
|-
! scope="col" | Date
! scope="col" | Décimales
! scope="col" | Calculé par
|-
| 2009 || {{formatnum:31026000000}} || R. Shan et A. J. Yee
|-
| Octobre 2006 || {{formatnum:5000000000}} || Shigeru Kondo<ref>{{en}} ''[http://ja0hxv.calico.jp/pai/ecatalan.html Value of Catalan constant]'' sur le site de Shigeru Kondo.</ref>
|-
| 2002 || {{formatnum:201000000}} || Xavier Gourdon et Pascal Sebah
|-
| 2001 || {{formatnum:100000500}} || Xavier Gourdon et Pascal Sebah
|-
| 4 janvier 1998 || {{formatnum:12500000}} || Xavier Gourdon
|-
| 1997 || {{formatnum:3379957}} || Patrick Demichel
|-
| 1996 || {{formatnum:1500000}} || Thomas Papanikolaou
|-
| 29 septembre 1996 || {{formatnum:300000}} || Thomas Papanikolaou
|-
| 14 août 1996 || {{formatnum:100000}} || Greg J. Fee et [[Simon Plouffe]]
|-
| 1996 || {{formatnum:50000}} || Greg J. Fee
|-
| 1990 || {{formatnum:20000}} || Greg J. Fee
|-
| 1913 || 32 || [[James Whitbread Lee Glaisher|James W. L. Glaisher]]
|-
| 1877 || 20 || James W. L. Glaisher
|}

== Notes et références ==
{{Traduction/Référence|en|Catalan's constant|195928835|type=n}}
{{Références}}

== Voir aussi ==

=== Bibliographie ===
*{{Article|auteur=E. Catalan|titre=Mémoire sur la transformation des séries, et sur quelques intégrales définies|sous-titre=Extrait par l'auteur|revue=[[CRAS]]|vol=59|date=1864|url={{Google Livres|LXZFAAAAcAAJ|page=618}}|page=618-620}}
*{{Ouvrage|langue=en|auteur1=[[Henri Cohen (mathématicien)|Henri Cohen]]|titre=Number Theory|titre volume=Analytic and Modern Tools|éditeur=Springer|lieu=New York|année=2000|pages totales=596|page=127|isbn=978-0-387-49893-5|lire en ligne={{Google Livres|5Lp-tGZR25sC|page=127}}|volume=II }}
*[[François Le Lionnais]], ''Les nombres remarquables'', Hermann, 1983 puis 1999 {{ISBN|2-7056-1407-9}}
*{{Ouvrage|langue=en|auteur1=H. M. Srivastava|auteur2=Choi Junesang|titre=Series Associated With the Zeta and Related Functions|éditeur=KluwerAcademic|année=2001|pages totales=388|page=30|isbn=978-0-7923-7054-3|lire en ligne={{Google Livres|NBcSzUlaWWAC|page=29}}}}
*{{Ouvrage|langue=en|auteur1=D.M. Bradley|titre=Representations of Catalan's constant|éditeur=KluwerAcademic|date=28 janvier 2001|isbn=|lire en ligne=http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/summary?doi=10.1.1.26.1879}}

=== Lien externe ===
{{MathWorld|nom_url=CatalansConstant|titre=Catalan's Constant}}

{{Portail|nombre}}

[[Catégorie:Constante mathématique|Catalan]]
[[Catégorie:Eugène Charles Catalan]]