Voir la source de Constante de Champernowne

En [[mathématiques]], la '''constante de Champernowne''', ou '''nombre de Mahler'''<ref>{{Ouvrage|auteur1=Christian Radoux|titre=Les nombres transcendants|éditeur=Société belge des professeurs de mathématiques|année=1982|passage=11}}</ref> , est un [[nombre réel]] [[Nombre transcendant|transcendant]] noté <math>C_{10}</math>, nommé ainsi en l'honneur du [[mathématicien]] [[D. G. Champernowne]] qui l'a introduit en 1933<ref name = "Contre-exemples">{{Ouvrage|langue=fr|auteur1=Bertrand Hauchecorne|titre=Les contre-exemples en mathématiques|éditeur=[[Éditions Ellipses|Ellipses]]|lieu=Paris|année=2007|numéro d'édition=2|année première édition=1988|pages totales=365|passage=84|isbn=978-2-7298-3418-0|numéro chapitre=5|titre chapitre=Nombres réels}}.</ref>. Il s'agit d'un [[nombre univers]] simple à construire, puisqu'il égrène, après la virgule, la suite croissante des [[Entier naturel|entiers naturels]] :
{{retrait|<math>C_{10} = 0{,}12345678910111213141516\dots</math>}}

La suite des chiffres de son écriture est un [[mot infini]] qui est important en [[combinatoire des mots]] : il a la propriété que toute séquence finie de chiffres consécutifs apparaît une infinité de fois dans la suite, mais que la distance qui sépare deux occurrences d'une même séquence de chiffres n'est pas bornée.

== Normalité ==
On dit qu'un nombre réel ''x'' est [[nombre normal|normal]] en base ''b'' si toutes les séquences de chiffres possibles d'une longueur donnée apparaissent avec la même probabilité dans son écriture en base ''b''. Par exemple, ''x'' est normal en [[base dix]] si, dans son [[développement décimal]], chacune des chaînes [0],[1],[2],...,[9] apparaît avec une probabilité égale à 1/10, chacune des chaînes [0,0],[0,1],...,[9,8],[9,9] avec une probabilité égale à 1/100, et ainsi de suite.

Champernowne a démontré<ref>{{Article|lang=en|auteur=D. G. Champernowne|titre=The construction of decimals normal in the scale of ten|revue=J. [[London Mathematical Society|London Math. Soc.]]|vol=8|année=1933|p.=254-260}}.</ref>{{,}}<ref>Pour une démonstration, voir par exemple {{Article|lang=en|auteur=[[Subbayya Sivasankaranarayana Pillai|S. S. Pillai]]|titre=On normal numbers|revue=Proc. Indian Acad. Sci. A|vol=10|année=1939|p.=13-15|url=http://www-old.ias.ac.in/j_archive/proca/10/1/13-15/viewpage.html}}<!--et si nécessaire : vol. 12, 1940, p. 179–184--> ou {{Ouvrage|langue=en|auteur1=[[Ivan Niven]]|titre=Irrational Numbers|éditeur=[[Mathematical Association of America|MAA]]|collection=The Carus Mathematical Monographs|numéro dans collection=11|année=1956|page=112-115|lire en ligne=http://www.maths.ed.ac.uk/~aar/papers/niven.pdf}}.</ref> que le nombre

:<math>C_{10} = 0{,}12345678910111213141516\dots</math>

est normal en base 10. Il est possible de créer des constantes de Champernowne qui sont normales dans les autres bases, de manière similaire, par exemple,
:<math>C_2 = 0{,}1\,10\,11\,100\,101\,110\,111\dots {}_2</math>
:<math>C_3 = 0{,}1\,2\,10\,11\,12\,20\,21\,22\dots {}_3</math>

et ainsi de suite.

Ces constantes sont clairement [[Nombre irrationnel|irrationnelles]], puisque le développement dans n'importe quelle base d'un [[Nombre rationnel|rationnel]] est périodique à partir d'un certain rang{{Note|texte=Pour justifier ceci, supposons que le développement soit périodique à partir d'un certain rang avec une période de longueur ''p''. Comme on peut trouver une plage de nombres 1 de longueur quelconque, par exemple de longueur 2''p'', la période ne contiendrait que des 1, ce qui est absurde.}}. On peut aussi déduire cette irrationalité de la normalité en base ''b'' de C{{ind|''b''}}.

== Transcendance ==
[[Kurt Mahler]] a démontré en 1937 le théorème suivant<ref>{{article|lang=de|auteur=Kurt Mahler|titre=Arithmetische Eigenschaften einer Klasse von Dezimalbrüchen
|périodique=Proc. Akad. Wet. Amsterdam|volume=40|année=1937|p.=421-428|url=http://www.dwc.knaw.nl/DL/publications/PU00017063.pdf|zbl=63.0156.01}}.</ref>, dont on déduit que les constantes de Champernowne sont même [[Nombre transcendant|transcendantes]] :
{{énoncé|Soit ''P''(''k'') un [[polynôme à valeurs entières]] non [[Polynôme constant|constant]], tel que les entiers ''P''(1), ''P''(2), …  soient strictement positifs. Si l'on écrit ces entiers en chiffres décimaux (ou en n'importe quelle base entière ''b'') comme développement d'un nombre décimal (ou en base ''b''), le nombre représenté est transcendant mais n'est pas un [[nombre de Liouville]].}}
Dans le cas particulier où ''P''(''k'') = ''k'' le nombre de l'énoncé est C{{ind|''b''}}, qui donc est transcendant.

Plus précisément, sa [[mesure d'irrationalité]] est égale à ''b''<ref>{{Article|lang=en|auteur=Masaaki Amou|titre=Approximation to certain transcendental decimal fractions by algebraic numbers|revue=[[Liste des journaux scientifiques en mathématiques#J|J. Number Theor]]|vol=37|no=2|année=1991|p.=231-241|doi=10.1016/S0022-314X(05)80039-3}}.</ref>.

== Représentation en fraction continue ==
[[File:Champernowne constant.svg|thumb|upright=1.5|Les 161 premiers quotients partiels de la fraction continue de C{{ind|10}} (les {{4e}}, {{18e}}, {{40e}} et {{101e}} sont trop grands pour apparaître).]]
Puisque C{{ind|''b''}} est [[Nombre irrationnel|irrationnelle]], elle admet un développement en [[fraction continue]] infinie.

Pour ''b'' = 10, la suite des termes de cette fraction continue a un comportement erratique :
: C<sub>10</sub> = [0; 8, 9, 1, 149083, 1, 1, 1, 4, 1, 1, 1, 3, 4, 1, 1, 1, 15,
:::4 57540 11139 10310 76483 64662 82429 56118 59960 39397 10457 55500 06620 04393 09026 26592 56314 93795 32077 47128 65631 38641 20937 55035 52094 60718 30899 84575 80146 98631 48833 59214 17830 10987,
:::6, 1, 1, 21, 1, 9, 1, 1, 2, 3, 1, 7, 2, 1, 83, 1, 156, 4, 58, 8, 54, ...]

Nous obtenons d'autres nombres extrêmement grands comme parties de la fraction continue si nous continuons. Le prochain terme de la fraction continue est énorme, il possède {{formatnum:2504}} chiffres. Ceci peut poser des problèmes dans le calcul des termes de la fraction continue, et peut perturber les algorithmes faibles de calcul de fraction continue. Néanmoins, le fait qu'il existe de grands nombres comme parties du développement de la fraction continue veut dire que si nous prenons les termes au-dessus et au-dessous ces grands nombres, nous obtenons une bonne approximation excédentaire en comparaison du grand nombre que nous n'avons pas inclus. En appelant K le grand nombre ci-dessus en position 19 dans la fraction continue, alors, par exemple,
: C<sub>10</sub> – [0; 8, 9, 1, 149083, 1, 1, 1, 4, 1, 1, 1, 3, 4, 1, 1, 1, 15] ≈ –9 ×10<sup>–190</sup>
: C<sub>10</sub> – [0; 8, 9, 1, 149083, 1, 1, 1, 4, 1, 1, 1, 3, 4, 1, 1, 1, 15, K] ≈ 3 ×10<sup>–356</sup>
qui est une amélioration de précision par 166 [[ordre de grandeur|ordres de grandeur]].

== Notes et références ==
{{Traduction/Référence|en|Champernowne constant|10550637|type=n}}
{{Références}}

== Voir aussi ==
=== Articles connexes ===
* [[Suite de Prouhet-Thue-Morse]]

=== Liens externes ===
* {{MathWorld|nom_url=ChampernowneConstant|titre=Champernowne Constant}}

=== Bibliographie ===
* {{Chapitre|lang=en|auteur=[[Rūsiņš Mārtiņš Freivalds|Rūsiņš Freivalds]]|titre=[[Juris Hartmanis|Hartmanis]]-[[Richard Stearns|Stearns]] Conjecture on Real Time and Transcendence|auteurs ouvrage=Michael J. Dinneen, Bakhadyr Khoussainov et Andre Nies (ed.)|titre ouvrage=Computation, Physics and Beyond|éditeur=[[Springer Science+Business Media|Springer]]|année=2012|isbn=978-3-642-27653-8|url={{Google Livres|wRWyMbmJTMYC|page=105}}|page=105-119|doi=10.1007/978-3-642-27654-5_9}}.

{{Portail|nombre}}

[[Catégorie:Nombre transcendant]]
[[Catégorie:Constante mathématique]]
[[Catégorie:Théorie des nombres]]
[[Catégorie:Combinatoire des mots]]