Voir la source de Constante de Khintchine

[[File:KhinchinBeispiele.svg|thumb|Graphe des suites associées à quelques constantes (rouge : [[Pi|{{math|π}}]], bleu : [[Constante d'Euler-Mascheroni|{{math|γ}}]], vert : [[Racine cubique|{{sqrt|2|n=3}}]]), qui ''semblent''  tendre vers cette constante.]]
En [[théorie des nombres]], la '''constante de Khintchine''' est la [[Limite d'une suite|limite]], pour [[presque tout]] [[nombre irrationnel]], de la [[moyenne géométrique]] des premiers coefficients du développement en [[fraction continue]] de ce nombre. C'est un résultat démontré par [[Alexandre Khintchine]]<ref name=":0">{{Ouvrage|langue=en|prénom1=A. Ya.|nom1=Khintchin|titre=Continued Fractions|éditeur=[[Dover Publications]]|année=1964|numéro d'édition=3|pages totales=95|page=93|isbn=978-0-486-69630-0|lire en ligne={{Google Livres|R7Fp8vytgeAC|page=93}}}}.</ref>.

On a donc, pour presque tout <math>x = a_0 + \frac1{a_1 + \frac1{a_2 + \frac1{a_3 +\dots}}} \in \R\setminus\Q</math> :
:<math>\lim_{n \rightarrow \infty } \left( \prod_{i=1}^n a_i \right) ^{1/n} = K </math>.

Parmi les irrationnels qui ''n'ont pas'' cette propriété se trouvent par exemple la [[racine carrée de 2]], [[Racine carrée de trois|celle de 3]], le [[nombre d'or]]<ref group="N">En effet, pour un [[irrationnel quadratique]], le développement en fraction continue est périodique de longueur <math>T \in \N^* </math> à partir d'un certain rang, et donc la moyenne géométrique de ses coefficients est égale à la moyenne géométrique des {{mvar|T}} coefficients, qui, dans ces trois cas, n'est pas égale à la constante de Khintchine : <math>\varphi=[\overline1]</math>, <math>\sqrt3=[1,\overline{1,2}]</math>, <math>\sqrt2=[1,\overline2]</math>, et <math>1<\sqrt2<2<K</math>.</ref> et le [[e (nombre)|nombre {{math|e}}]]<ref group="N">En effet, le [[Fraction continue et approximation diophantienne#Exemple : le nombre e|développement en fraction continue de {{math|e}}]] est <math> [2,\overline{1, 2k,1}]\quad (k\in\N^*)</math> donc d'après la [[formule de Stirling]], la moyenne géométrique de ses <math>n</math> premiers coefficients est [[équivalent]]e à <math>\sqrt[3]{\frac{2n}{3\,\mathrm e}}</math>, qui tend vers {{math|+∞}}.</ref>.

Parmi les irrationnels qui {{refnec|date=février 2018|''semblent avoir'' cette propriété (d'après des études numériques), figurent les nombres [[Pi|{{math|π}}]], [[Constante d'Euler-Mascheroni|{{math|γ}}]], et la constante de Khintchine elle-même}} (si tant est que ces deux dernières soient irrationnelles, ce qu'on ignore). Néanmoins, ces énoncés ne sont pas démontrés. On ne sait pas si ''K'' est [[Nombre rationnel|rationnel]], [[Nombre algébrique|algébrique]], ou [[Nombre transcendant|transcendant]].

La constante {{mvar|K}} possède l’expression sous forme de [[produit infini]] : <math>K= \prod_{k=1}^\infty {\left(1+{1\over k(k+2)}\right)}^{\log_2 k}  </math><ref name=":0" />, et a pour développement décimal : <math>K =2{,}685\,452\,001\,0\dots</math><ref>Suite {{OEIS2C|id=A002210}} de l'[[OEIS]].</ref>.

== Idée de la démonstration ==
La preuve qui suit est de {{Lien|Czesław Ryll-Nardzewski}}<ref>{{Article|lang=en|auteur=Czesław Ryll-Nardzewski|titre=On the ergodic theorems II (Ergodic theory of continued fractions)|journal=[[Studia Mathematica]]|volume=12|date=1951|pages=74-79}}.</ref> et est bien plus simple que la preuve originale de Khintchine qui n'utilisait pas la [[théorie ergodique]].

Remarquant que le coefficient ''a''<sub>0</sub> de la fraction continue de {{Math|§=''x''}} ne joue pas de rôle, et que les [[Nombre rationnel|nombres rationnels]] sont de [[Mesure de Lebesgue|mesure]] nulle, on se ramène à montrer la propriété sur <math>I=[0,1]\setminus\mathbb{Q}</math>. Soit {{Mvar|T:I → I}} définie par

: <math>T([a_1,a_2,\dots])=[a_2,a_3,\dots]</math>.

La transformation {{Mvar|T}} est un [[opérateur de Gauss-Kuzmin-Wirsing]]. Pour tout [[borélien]] ''E'' de {{Mvar| I}}, on définit de plus une [[Loi de Gauss-Kuzmin|mesure de Gauss-Kuzmin]] sur ''E''

: <math>\mu(E)=\frac1{\ln 2}\int_E\frac{\mathrm dx}{1+x}</math>.

Alors ''μ'' est une [[mesure de probabilité]] sur la [[tribu borélienne]] de {{Mvar| I}}. La mesure ''μ'' est équivalente à la mesure de Lebesgue sur {{Mvar| I}}, mais {{Mvar|T}} préserve la mesure ''μ''. De plus, on peut montrer que {{Mvar|T}} est une [[Théorie ergodique|transformation ergodique]] de l'[[espace mesurable]] {{Mvar| I}} muni de la mesure de probabilité ''μ'' (c'est la partie difficile). Le [[théorème ergodique]] implique alors que pour toute fonction ''μ''-[[fonction intégrable|intégrable]] ''f'' sur {{Mvar| I}}, la valeur moyenne de <math>f \left( T^k x \right)</math> est la même pour presque tout <math>x\in I</math> :

: <math>\lim_{n\to\infty} \frac 1n\sum_{k=0}^{n-1}(f\circ T^k)(x)=\int_I f\,\mathrm \mu</math>.

En appliquant cela à ''f''([''a''<sub>1</sub>,&nbsp;''a''<sub>2</sub>,&nbsp;...]) = ln(''a''<sub>1</sub>), on obtient

: <math>\lim_{n\to\infty}\frac 1n\sum_{k=1}^n\ln(a_k)=\int_I f \,
\mathrm d\mu = \sum_{k=1}^\infty\ln(k)\frac{\ln\bigl(1+\frac{1}{k(k+2)}\bigr)}{\ln 2}</math>

pour presque tout [''a''<sub>1</sub>,&nbsp;''a''<sub>2</sub>,&nbsp;...] dans {{Mvar| I}}, ce qui conclut.

== Autres expressions ==
La constante de Khintchine peut être exprimée sous la forme<ref name=":1">{{Article|lang=en|date=1995|titre=On the Khinchine constant|url=http://www.davidhbailey.com/dhbpapers/khinchine.pdf|doi=10.1090/s0025-5718-97-00800-4|auteur=David H. Bailey|auteur2=Jonathan M. Borwein|auteur3=Richard E. Crandall|revue=[[Math. Comp.]]|vol=66|p.=417-431}}. Dans cet article, une définition légèrement non standard de la fonction zêta de Hurwitz est utilisée.</ref>

: <math>\ln K = \frac1{\ln 2} \sum_{n=1}^\infty 
\frac {\zeta (2n)-1}n\sum_{k=1}^{2n-1} \frac{(-1)^{k+1}}k
</math>,

ou encore

: <math>\ln K = \frac1{\ln 2} \left[
-\sum_{k=2}^N \ln \left(\frac{k-1}k\right) \ln \left(\frac{k+1}k\right)
+ \sum_{n=1}^\infty 
\frac {\zeta (2n,N+1)}n\sum_{k=1}^{2n-1} \frac{(-1)^{k+1}}k
\right]
</math>

où {{Mvar|N}} est un entier, et ζ(''s'',&nbsp;''n'') la [[fonction zêta de Hurwitz]] complexe. Une expression de la constante en fonction du [[dilogarithme]] :

: <math>\ln K = \ln 2 + \frac1{\ln2} \left[
\mbox{Li}_2 \left( \frac{-1}2\right) + 
\frac12\sum_{k=2}^\infty (-1)^k \mbox{Li}_2 \left( \frac4{k^2} \right)
\right].
</math>

== Généralisation aux moyennes de Hölder ==
On peut généraliser le résultat précédent en remplaçant la moyenne géométrique par une [[Moyenne généralisée|moyenne de Hölder]] d'ordre {{Mvar|p}} pour tout réel non nul {{Mvar|p}} < 1 :  pour presque tout irrationnel, la moyenne d'ordre {{Mvar|p}} des {{Mvar|n}} premiers coefficients du développement en fraction continue <math>\left (\frac1n 
\sum_{k=1}^n a_k^p \right )^{1/p}</math> tend vers une constante <math>K_p</math><ref name=":1" />{{,}}<ref name=":2">{{Lien web |langue=en |titre=Khinchin Constant |url=https://mathworld.wolfram.com/KhinchinsConstant.html |site=Mathworld}}</ref> ayant pour valeur <math>\left(\sum_{k=1}^\infty -k^p 
\log_2\left( 1-\frac1{(k+1)^2} \right)
\right)^{1/p}</math><ref name=":1" />{{,}}<ref name=":2" />.
: ..

La valeur de <math>K=K_0</math> est obtenue en faisant tendre {{Mvar|p}} vers 0.

Dans le cas {{Mvar|p}} = -1, la moyenne de Hölder est la [[moyenne harmonique]], qui conduit à la constante

: <math>K_{-1}=1{,}74540566240\dots</math> ({{OEIS|A087491}}).
On trouvera dans <ref>{{Lien web |langue=en |titre=Khinchin Harmonic Mean |url=https://mathworld.wolfram.com/KhinchinHarmonicMean.html |site=Mathworld}}</ref> les valeurs, avec leur lien dans l'OEIS, des constantes <math>K_p</math> pour {{Mvar|p}} entier négatif.

==Notes et références==
{{Traduction/Référence|en|Khinchin's constant|1021922072|type=n}}
===Notes===
{{Références|groupe=N}}

===Références===
{{Références}}

==Voir aussi==

===Lien externe===
* {{YouTube|langue=|id=nwYcFwnlLAk|titre=Le X de Y - Épisode 5 - La constante de Khintchine|chaîne=Exponentielle Hippie|date=13 novembre 2020|consulté le=20 novembre 2021}}

{{autres projets
| commons = Category:Khinchin's constant
}}
===Pages connexes===
* [[Théorème de Lochs]]
* [[Constante de Lévy]]
* [[Table de constantes mathématiques|Liste de constantes mathématiques]]

{{Portail|théorie des nombres}}

[[Catégorie:Fraction continue]]
[[Catégorie:Constante mathématique|Khintc]]