Voir la source de Convergence uniforme

[[Image:ThWeierstrass.png|upright=1.5|thumb|right|[[Suite (mathématiques)|Suite]] de [[Fonction (mathématiques)|fonctions]] convergeant uniformément vers la fonction [[valeur absolue]].]]
La '''convergence uniforme''' d'une [[suite de fonctions]] <math>(f_n)_{n\in\N}</math> est une forme de convergence plus exigeante que la [[convergence simple]]. La convergence devient uniforme quand toutes les suites <math>(f_n(x))_{n\in\N}</math> avancent vers leur limite respective avec une sorte de « mouvement d'ensemble ».

Dans le cas de [[Fonction réelle d'une variable réelle|fonctions numériques d'une variable]], la notion prend une forme d'« évidence » géométrique : le [[Graphe d'une fonction|graphe de la fonction]] {{math|''f{{ind|n}}''}} se « rapproche » de celui de la limite.

== Définition ==

=== Convergence uniforme ===
Soient {{mvar|X}} un [[ensemble]]<ref>En particulier, la définition de la convergence uniforme a du sens même si l'espace de départ n'est pas muni d'une structure [[espace topologique|topologique]]. Cependant certaines propriétés phares de la convergence uniforme concernent des situations où l'espace de départ est nécessairement muni d'une topologie, par exemple la [[#Convergence uniforme de fonctions continues|conservation de la continuité par passage à la limite]].</ref>, {{math|(''Y'', ''d'')}} un [[espace métrique]], et {{mvar|A}} un [[sous-ensemble]] de {{mvar|X}}.
Soient <math>(f_n)_{n\in\N}</math> une suite de fonctions définies sur {{mvar|X}} et à valeurs dans {{mvar|Y}}, et {{mvar|f}} une fonction définie sur {{mvar|X}} à valeurs dans {{mvar|Y}}.
On dit que la suite {{math|(''f{{ind|n}}'')''{{ind|n}}''}} '''converge uniformément''' vers {{mvar|f}} sur {{mvar|A}} si :
:<math>(1)\quad\forall\varepsilon>0\quad\exists N_\varepsilon\in\N\quad\forall n\in\N\quad\left[n\ge N_\varepsilon\Rightarrow \forall x\in A,d(f_n(x),f(x))\le\varepsilon\right]</math>.

''Remarque :'' en introduisant la notation
:<math>d_{\infty,A}(f,g)=\sup_{x\in A}d(f(x),g(x))</math>
(dans laquelle la [[borne supérieure]] peut ''a priori'' être infinie), la propriété (1) est équivalente à :
:<math>\forall \varepsilon > 0\quad\exists N_{\varepsilon} \in \N\quad\forall n \in \N\quad [ n \ge N_{\varepsilon} \Rightarrow d_{\infty,A}(f_n,f)\le \varepsilon]</math>.

Autrement dit, {{math|(''f{{ind|n}}'')''{{ind|n}}''}} converge uniformément vers {{mvar|f}} sur {{mvar|A}} si et seulement si
:<math>\lim_{n\rightarrow+\infty}d_{\infty,A}(f_n,f)=0</math>.
{{Attention|dimension=24|<math>d_{\infty,A}</math> n'est en général pas une [[distance (mathématiques)|distance]]<ref>Les deux obstacles sont :
* que cette fonction peut prendre des valeurs infinies (on y remédiera facilement en la remplaçant par exemple par <math>e_{\infty,A}=\min(1,d_{\infty,A})</math>) ;
*qu'elle peut s'annuler sans que les deux fonctions soient égales sur ''X'' tout entier (<math>e_{\infty,A}</math> est donc seulement un [[Espace pseudométrique|écart]] ; ce n'est une distance que si ''A'' = ''X'').</ref> sur l'ensemble des fonctions de {{mvar|X}} dans {{mvar|Y}}.
}}

=== Quelques explications ===

On peut se demander ''a posteriori'' quelle est la différence entre la [[convergence simple]] d'une suite de fonctions et la convergence uniforme.
En effet, la suite de fonctions {{math|(''f{{ind|n}}'')''{{ind|n}}''}} converge simplement vers {{mvar|f}} sur {{mvar|A}} si :
:<math>\forall x \in A\quad\forall \varepsilon > 0\quad\exists N_{\varepsilon,x} \in \N\quad\forall n \in \N\quad n \ge N_{\varepsilon,x} \Rightarrow d(f_n(x),f(x)) < \varepsilon</math>.
Ici, l'indice <math>N_{\varepsilon,x}</math> dépend de <math>x\in A</math> alors que dans la proposition <math>(1)</math>, l'indice <math>N_{\varepsilon}</math> n'en dépend pas. Cette différence peut paraître anodine mais elle est pourtant essentielle :

*Dans le cas de la '''convergence simple''', pour tout élément {{mvar|x}} de {{mvar|A}}, on peut trouver un rang à partir duquel la distance <math> d(f_n(x),f(x))</math> devient très petite. ''A priori'', si l'on choisit un {{mvar|y}} dans {{mvar|A}} autre que {{mvar|x}} alors le rang à partir duquel la distance <math>d(f_n(y),f(y))</math> devient très petite peut être différent.
*Dans le cas de la '''convergence uniforme''', on peut trouver un rang à partir duquel la distance <math>d(f_n(x),f(x))</math> devient très petite pour n'importe quel <math>x\in A</math> à la fois. Cette condition est donc beaucoup plus forte. En particulier, une suite de fonctions qui converge uniformément sur un ensemble converge simplement sur celui-ci. La réciproque est ''en général fausse'' sauf dans des cas très particuliers (voir [[Théorèmes de Dini]]).

Ainsi la [[Série géométrique|suite des fonctions]] <math>x\mapsto\sum_{k=0}^nx^k</math> converge simplement mais pas uniformément sur ]–1, 1[, un problème survenant aux bords de l'intervalle.

== Critère de [[Augustin Louis Cauchy|Cauchy]] uniforme ==

Supposons que l'[[espace métrique]] {{math|(''Y'', ''d'')}} est [[espace complet|complet]].

(C'est le cas de bon nombre d'espaces métriques usuels, comme la [[droite réelle]] munie de sa [[valeur absolue]] ou, plus généralement, les [[espace de Banach|espaces de Banach]].)

Sous cette hypothèse, une suite de fonctions {{math|(''f{{ind|n}}'')''{{ind|n}}''}} converge uniformément sur {{mvar|A}} si (et seulement si) elle vérifie le critère de Cauchy uniforme, à savoir :
:<math>\forall \varepsilon>0\quad\exists N_{\varepsilon}\in\N\quad\forall p,q\in\N\quad\left[p,q \ge N_\varepsilon\Rightarrow\forall x\in A\quad d(f_p(x),f_q(x))\le\varepsilon\right]</math>.

Comme dans le cas des [[suite de Cauchy|suites de Cauchy]], il n'est pas nécessaire d'exhiber la fonction vers laquelle tend une suite de fonctions pour montrer que la convergence est uniforme. En outre, lorsque {{mvar|A}} est  [[Espace topologique|muni d'une topologie]] pour laquelle les {{math|''f{{ind|n}}''}} sont [[Continuité (mathématiques)|continues]], le critère est vérifié sur {{mvar|A}} [[Limite (mathématiques)#Propriétés|dès qu'il l'est sur]] une [[partie dense]] de {{mvar|A}}.

{{Démonstration|Supposons le critère vérifié. Pour tout <math>x\in A</math>, la suite <math>f_n(x)</math> converge car elle est de Cauchy dans un espace complet. Notons <math>f(x)</math> sa limite. On choisit une valeur {{math|ε}} strictement positive. Il existe un entier {{mvar|N}} tel que
:<math>\forall p,q \ge N,\ \forall x \in A,\ d(f_p(x),f_q(x))\le\varepsilon</math>.
Pour <math>p\ge N</math> et <math>x\in A</math> fixés on a donc
:<math>\forall q \ge N, d(f_p(x),f_q(x)) \le \varepsilon</math>,
d'où (par passage à la limite quand ''q ''tend vers l'infini)
:<math>d(f_p(x),f(x))\le\varepsilon</math>.
Ceci montre que la convergence est uniforme.}}

== Convergence uniforme de fonctions continues ==

[[Image:Drini-nonuniformconvergence.png|thumb|upright=1.5|Exemple : la limite simple (en rouge) des fonctions continues (en vert) ''f<sub>n</sub>''(''x'') = sin<sup>''n''</sup>(''x'') est discontinue, donc la convergence n'est pas uniforme.]]

On a le résultat fondamental suivant :

{{énoncé|Si {{math|(''f{{ind|n}}'')''{{ind|n}}''}} est une suite de fonctions [[Continuité (mathématiques)|continues]] convergeant uniformément sur {{mvar|X}} vers une fonction {{mvar|f}} alors {{mvar|f}} est continue sur {{mvar|X}}.}}
Ou encore (par [[contraposition]]) une fonction discontinue ne peut pas être limite uniforme de fonctions continues.
{{démonstration|Montrons la continuité en un point {{mvar|a}} fixé. Soit <math>\varepsilon >0</math> donné. Il existe un entier {{mvar|N}} tel que
:<math>\forall x\in X, d\big(f_N(x),f(x)\big)\le \varepsilon</math>.
La fonction <math>f_N</math> étant continue en {{mvar|a}}, il existe un ouvert {{mvar|U}} contenant {{mvar|a}} tel que
:<math>\forall x\in U, d\big(f_N(x),f_N(a)\big)\le \varepsilon</math>.
Alors,
:<math>\forall x\in U\quad d\big(f(x),f(a)\big)\le d\big(f(x),f_N(x)\big)+d\big(f_N(x),f_N(a)\big)+d\big(f_N(a),f(a)\big)\le3\varepsilon</math>.|style=display:table}}

Ceci s'applique en particulier aux fonctions continues sur [[Compactifié d'Alexandrov|ℕ ∪ {∞}]] (dans lequel ℕ est dense), [[Voisinage (mathématiques)#Le cas des entiers positifs|c'est-à-dire]] aux [[Suite convergente|suites convergentes]] : dans un espace complet, si chaque {{math|''x{{ind|n}}''}} est une suite convergente et si la suite de suites {{math|(''x{{ind|n}}'')''{{ind|n}}''}} converge uniformément vers une suite {{mvar|x}}, alors cette suite {{mvar|x}} est convergente.

Quand ''X'' n'est pas compact, la convergence uniforme est un phénomène rare.
Par exemple, <math>\left(1+\frac zn\right)^n</math> {{Lien|trad=Compact convergence|Convergence compacte|texte=converge uniformément sur tout compact}} de ℂ vers [[Exponentielle complexe|{{math|e{{exp|''z''}}}}]] quand l'entier {{mvar|n}} tend vers l'infini, mais pas sur ℂ ; une
[[série entière]] de rayon de convergence ''R'' converge uniformément sur tout compact contenu dans le disque ouvert de centre 0 et de rayon ''R'', mais on ne peut pas dire mieux en général.

En fait, la continuité étant une [[propriété locale]], la convergence uniforme sur
« suffisamment » de parties de {{mvar|X}} suffit à assurer la continuité de la fonction limite.

'''Exemples'''
* Lorsque {{mvar|X}} est [[localement compact]], si une suite {{math|(''f{{ind|n}}'')''{{ind|n}}''}} de fonctions continues converge vers une fonction {{mvar|f}} uniformément sur tout compact de {{mvar|X}} alors {{mvar|f}} est continue.
* On a la même conclusion lorsque {{mvar|X}} est un espace métrique et {{mvar|a}} un point arbitraire fixé de {{mvar|X}}, si la convergence uniforme a lieu sur toute boule fermée de centre {{mvar|a}}. C'est ainsi que l'on démontre par exemple la continuité de la [[fonction exponentielle]] dans une [[algèbre de Banach]].

Le résultat suivant, moins fort que le [[théorème de convergence dominée]], est aussi beaucoup moins difficile à montrer.

{{énoncé|2=Si ''X'' = [''a'',''b''] est un [[intervalle (mathématiques)|intervalle]] de ℝ, si {{mvar|Y}} = ℝ ou {{mvar|Y}} = ℂ, et si une suite de fonctions {{math|(''f{{ind|n}}'')''{{ind|n}}''}} [[intégrale de Lebesgue|intégrables]] converge uniformément vers une fonction {{mvar|f}}, alors {{mvar|f}} est intégrable et
:<math>\lim_{n\to+\infty}\int_a^bf_n(x)~\mathrm dx=\int_a^bf(x)~\mathrm dx</math>.
}}

Son utilisation est à la base du résultat suivant d'[[analyse complexe]] :

{{énoncé|Soit {{math|(''f{{ind|n}}'')''{{ind|n}}''}} une suite de fonctions holomorphes sur un ouvert {{mvar|U}} de ℂ, convergeant uniformément sur tout compact de {{mvar|U}} vers une fonction {{mvar|f}}. Alors {{mvar|f}} est holomorphe.}}

On notera également l'existence du résultat suivant, assurant la convergence d'une suite de fonctions à partir de celle de leurs dérivées<ref>{{Ouvrage|lang=en|auteur=[[Walter Rudin]]|titre=Principles of Mathematical Analysis|éditeur=[[McGraw-Hill Education|McGraw-Hill]]|numéro d'édition=3|année=1976|année première édition=1953|url=https://notendur.hi.is/vae11/%C3%9Eekking/principles_of_mathematical_analysis_walter_rudin.pdf|page=152}}, th. 7.17.</ref>{{,}}<ref>{{Ouvrage|lang=en|auteur=[[Roger Godement]]|titre=Analyse mathématique|vol=1|titre volume=Convergence, fonctions élémentaires|éditeur=[[Springer Verlag|Springer]]|année=2001|numéro d'édition=2|année première édition=1998|url={{Google Livres|b9p3WFavE78C|page=280}}|page=280}}, th. 19.</ref> :

{{énoncé|2=Soit <math>(f_n)_n</math> une suite de fonctions dérivables de <math>\left[a,b\right]</math> dans ℝ, convergeant en un point de <math>\left[a,b\right]</math>. Si la suite <math>(f_n')_n</math> des dérivées converge uniformément vers une fonction φ, alors la suite <math>(f_n)_n</math> converge uniformément et sa limite est dérivable, de dérivée égale à φ.}}

== Distance uniforme ==

Dans le cas général, on munit l'ensemble ''Y''{{exp|''X''}} des applications de ''X'' dans ''Y'' de la distance uniforme sur {{mvar|X}}, définie par
:<math>e_{\infty,X}(f,g)=\min(1,d_{\infty,X}(f,g))</math>
où, rappelons-le,
:<math>d_{\infty,X}(f,g)=\sup_{x\in X}d(f(x),g(x))</math>.
On peut alors reformuler l'essentiel de ce qui précède :
* ''Définition de la convergence uniforme'' : {{math|(''f{{ind|n}}'')''{{ind|n}}''}} converge uniformément vers {{mvar|f}} sur {{mvar|X}} si et seulement si <math>\lim_{n\to\infty}f_n=f</math> dans l'[[espace métrique]] <math>(Y^X,e_{\infty,X})</math>.
* ''Critère de Cauchy uniforme'' : si {{math|(''Y'',''d'')}} est [[espace complet|complet]] alors <math>(Y^X,e_{\infty,X})</math> l'est aussi.
* ''Convergence uniforme de fonctions continues'' : si {{mvar|X}} est muni d'une topologie, le sous-ensemble <math>\mathcal C(X,Y)</math> des applications continues est fermé dans <math>(Y^X,e_{\infty,X})</math> (donc est complet si {{mvar|Y}} l'est).

Diverses hypothèses sur les espaces {{mvar|X}} et {{mvar|Y}} peuvent simplifier ou enrichir cette situation :
* Si {{mvar|X}} est un [[espace compact]] alors sur <math>\mathcal{C}(X,Y)</math>, l'application <math>d_{\infty,X}</math> est déjà une distance (sur ce sous-espace, elle ne prend que des valeurs finies), et est [[équivalence des distances|uniformément équivalente]] à <math>e_{\infty,X}</math>.
* Si de plus {{mvar|Y}} est un [[espace vectoriel normé]] (dont la distance {{mvar|d}} est celle associée à la norme ║ ║ par : <math>d(y,y')=\|y-y'\|</math>), alors <math>\mathcal C(X,Y)</math> est un espace vectoriel, sur lequel la distance <math>d_{\infty,X}</math> est, elle aussi, associée à une norme, définie par :{{retrait|<math>\|f\|_{\infty,X}=\sup_{x\in X}(\|f(x)\|)</math>.}}En particulier si {{mvar|Y}} est un [[espace de Banach]] alors <math>\mathcal{C}(X,Y)</math> aussi.

== Critères de convergence uniforme pour les séries ==

Dans cette section, il n'est envisagé que le cas des fonctions réelles d'une variable réelle.

On trouve dans la littérature<ref>Voir par exemple {{de}} [[Konrad Knopp]], ''{{Lang|de|Theorie und Andwendung der unendlichen Reihen}}'', 1922 (ou sa traduction, {{en}} Knopp, ''{{Lang|en|Theory and Application of Infinite Series}}'', 1954).</ref> la mention de nombreux tests de convergence uniforme portant les noms d'[[Niels Abel|Abel]], de [[Richard Dedekind|Dedekind]], de [[Paul David Gustave du Bois-Reymond|du Bois-Reymond]], de [[Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet|Dirichlet]], de [[Karl Weierstrass|Weierstrass]]… Ces critères sont des critères pratiques, cas particuliers de la formule de sommation partielle d'une série, plus faciles à appliquer.

=== Critère de Weierstrass ===
{{début citation}} La série <math>\sum a_n(x)</math> converge uniformément dans l'intervalle {{mvar|I}} si les fonctions <math>a_n(x)</math> sont chacune majorées en valeur absolue sur l'intervalle {{mvar|I}} par un nombre <math>\alpha_n</math> et que la série <math>\sum \alpha_n</math> est convergente.{{fin citation}}

On dit dans ce cas que l'on a une [[Convergence normale|série normalement convergente]].

=== Critère d'Abel ===
{{début citation}}La série <math>\sum a_n(x)b_n(x)</math> converge uniformément dans l'intervalle {{mvar|I}} si la série <math>\sum a_n\left(x\right)</math> converge uniformément dans {{mvar|I}}, si de plus, pour toute valeur fixée de {{mvar|x}}, la suite <math>b_n(x)</math> est monotone et enfin s'il existe un nombre {{mvar|K}} indépendant de {{mvar|x}} qui majore <math>|b_n(x)|</math> pour tout {{mvar|x}} de {{mvar|I}} et tout {{mvar|n}}.{{fin citation}} On exprime cette dernière condition en disant  que les fonctions <math>b_n(x)</math> sont ''uniformément bornées'' dans {{mvar|I}}.

=== Critère de Dirichlet ===
{{début citation}}La série <math>\sum a_n(x)b_n(x)</math> converge uniformément dans l'intervalle {{mvar|I}} si les sommes partielles de la série <math>\sum a_n(x)</math> sont uniformément bornées dans {{mvar|I}} et si les fonctions <math>b_n(x)</math> convergent uniformément dans {{mvar|I}} vers 0, la convergence étant monotone pour tout {{mvar|x}} fixé.{{fin citation}}

=== Critère de Dedekind ===
{{début citation}}La série <math>\sum a_n(x)b_n(x)</math> converge uniformément dans l'intervalle {{mvar|I}} si la série <math>\sum a_n(x)</math> admet des sommes partielles uniformément bornées, les fonctions <math>b_n(x)</math> tendent vers 0 uniformément dans {{mvar|I}} et que la série <math>\sum|b_n(x)-b_{n+1}(x)|</math> converge uniformément dans {{mvar|I}}.{{fin citation}}

=== Critère de du Bois-Reymond ===
{{début citation}} La série <math>\sum a_n(x)b_n(x)</math> converge uniformément dans l'intervalle {{mvar|I}} si les séries <math>\sum a_n(x)</math> et <math>\sum|b_n(x)-b_{n+1}(x)|</math> convergent uniformément dans {{mvar|I}}, les fonctions <math>b_n(x)</math> étant de plus uniformément bornées dans {{mvar|I}}.{{fin citation}}

=== Un autre critère ===
{{début citation}} La série <math>\sum a_n(x)b_n(x)</math> converge uniformément dans l'intervalle {{mvar|I}} si les séries <math>\sum a_n\left(x\right)</math> et <math>\sum\left|a_n\left(x\right)\right|</math> convergent uniformément dans {{mvar|I}}, les fonctions <math>b_n(x)</math> étant de plus uniformément bornées dans {{mvar|I}}.{{fin citation}}

dont un corollaire immédiat est

{{début citation}} La série <math>\sum a_n(x)b_n(x)</math> converge uniformément dans l'intervalle {{mvar|I}} si la série <math>\sum a_n(x)</math> converge uniformément dans {{mvar|I}}, les fonctions <math>a_n(x)</math> étant positives et les fonctions <math>b_n(x)</math> étant uniformément bornées dans {{mvar|I}}.{{fin citation}}

== Espace des fonctions numériques continues sur {{math|[''a'', ''b'']}} ==

On choisit dans cette section {{math|1=''X ''= [''a'', ''b'']}} un intervalle compact de ℝ et {{mvar|Y}} = ℝ. Puisque ℝ muni de la valeur absolue est complet, il en résulte que l'[[espace vectoriel normé]] <math>\mathcal{C}([a,b],\R)</math> muni de la norme <math>\|\cdot\|_{\infty,[a,b]}</math> est [[espace complet|complet]].

=== Théorème de Weierstrass ===

Le [[théorème d'approximation de Weierstrass]] affirme qu'on peut approcher de manière ''uniforme'' n'importe quelle fonction numérique continue sur {{math|[''a'', ''b'']}} par une suite de fonctions très régulières à savoir par des polynômes.
Plus précisément, si {{mvar|f}} est une fonction continue sur {{math|[''a'', ''b'']}} alors :

{{retrait|<math>\forall \varepsilon>0, \exists P_{\varepsilon} \in \R[X],\|f-P_{\varepsilon}\|_{\infty,[a,b]}\le\varepsilon,</math>}}

où ℝ[''X''] désigne l'ensemble des polynômes à coefficients réels.

== Exemples ==

=== Exemples de suites de fonctions ===

==== La suite de fonctions puissances ====
[[Image:suite fonctions geometrique.png|thumb|left|La convergence sur {{math|]–1 ; 1]}} de la suite des fonctions puissances n'est pas uniforme.]]
[[File:Suite fonctions geometrique uniforme.png|thumb|upright=2|La convergence sur {{math|[–1/2, 1/2]}} de la suite des fonctions puissances est uniforme.]]
On considère la suite de fonctions <math>(x \mapsto x^n)_{n\in\N}</math>.
Cette suite de fonctions converge simplement sur {{math|]–1 ; 1]}} vers la fonction {{mvar|f}} définie par
:<math>f(x)=
\begin{cases}
0 & \text{si }x \in]-1,1[,\\
1 & \text{si }x=1.
\end{cases}</math>

Puisque les fonctions de la suite sont continues et que la limite simple {{mvar|f}} n'est pas continue (en {{math|1}}), la convergence n'est pas uniforme sur {{math|]–1 ; 1]}}. [[#Critère de Cauchy uniforme|Par densité]], elle ne l'est donc pas non plus sur {{math|]–1 ; 1[}}.

Par contre, la convergence est uniforme sur tout segment {{math|[–''a'', ''a'']}} avec {{math|0 ≤ ''a'' < 1}} puisque
:<math>
\|x \mapsto x^n \|_{\infty,[-a,a]}=a^n
</math>
qui converge vers {{math|0}} lorsque {{mvar|n}} tend vers {{math|+∞}}.
{{clr}}

=== Exemples de séries de fonctions ===

==== La série de fonctions puissances ====

On considère la série de fonctions <math> \sum_{n \geqslant 0} f_n </math>
définie par
:<math> f_n(x)=x^n</math>.
La série numérique <math>\sum_{n\geqslant0}x^n</math>
converge si et seulement si {{math|{{!}}''x''{{!}} < 1}}. De plus, la somme partielle est
:<math>
S_n(x)=1+x+\cdots+x^n=\frac{1-x^{n+1}}{1-x}
</math>.

Ainsi, cette suite de fonctions converge simplement sur {{math|]–1 ; 1[}} vers la fonction {{mvar|S}} définie par
:<math>S(x)=\frac1{1-x}
</math>.

La convergence n'est pas uniforme sur {{math|]–1 ; 1[}} : en effet, le reste d'ordre {{mvar|n}} est
:<math>
R_n(x)=\frac{x^{n+1}}{1-x}
</math>.

== Notes et références ==
{{références}}

== Voir aussi ==
=== Articles connexes ===
*[[Théorème d'Egoroff]]
*[[Théorème de Stone-Weierstrass]]
*[[Topologie compacte-ouverte]]
=== Bibliographie ===
Gilbert Arsac, ''Cauchy, Abel, [[Philipp Ludwig von Seidel|Seidel]], [[George Gabriel Stokes|Stokes]] et la convergence uniforme - De la difficulté historique du raisonnement sur les limites'', [[éditions Hermann|Hermann]], 2013

{{Portail|analyse}}

[[Catégorie:Analyse fonctionnelle]]
[[Catégorie:Suite de fonctions]]
[[Catégorie:Série (mathématiques)]]