Voir la source de Convolution de Dirichlet

{{Homonymes|Convolution}}
En [[mathématiques]], la '''convolution de Dirichlet''', encore appelée '''produit de convolution de Dirichlet''' ou '''produit de Dirichlet''' est une [[loi de composition interne]] définie sur l'ensemble des [[fonction arithmétique|fonctions arithmétiques]], c'est-à-dire des fonctions définies sur les [[Entier naturel|entiers strictement positifs]] et à valeurs dans les [[nombres complexes]]<ref group="Note">De manière plus générale, les fonctions arithmétiques sont à valeurs dans un [[corps commutatif]] quelconque.</ref>. Cette loi de convolution est utilisée en [[arithmétique]], aussi bien [[théorie algébrique des nombres|algébrique]] qu'[[théorie analytique des nombres|analytique]]. On la trouve aussi pour résoudre des questions de [[dénombrement]].

[[Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet|Dirichlet]] développe ce produit en [[1837 en science|1837]] pour démontrer le [[théorème de la progression arithmétique]]<ref>{{de}} G. Lejeune Dirichlet, « Beweis eines Satzes über die arithmetische Progression », ''Bericht über die Verhandlungen der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften'', 1837, p. 108-110 — ''Œuvres complètes'', tome 1, 307-312.</ref>.

[[Image:Dirichlet.jpg|thumb|upright=1.6|right|[[Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet]].]]
== Définition, exemples et premières propriétés ==
=== Notations ===
Dans toute la suite de l'article, on notera
* ''F'' l'ensemble des fonctions arithmétiques et, parmi celles-ci,
*[[Symbole de Kronecker|{{math|δ{{ind|1}}}}]] la [[Fonction caractéristique (théorie des ensembles)|fonction indicatrice]] du [[Singleton (mathématiques)|singleton]] {{math|{1}<nowiki/>}} : {{math|1=δ{{ind|1}}(1) = 1}} et pour tout entier {{math|''n'' > 1}}, {{math|1=δ{{ind|1}}(''n'') = 0}},
*{{math|'''1'''}} la [[fonction constante]] {{math|1}} : {{math|1='''1'''(''n'') = 1}},
*{{math|Id}} l'[[application identité]] : {{math|1=Id(''n'') = ''n''}}.

=== Définition ===
Soient <math>f , g : \mathbb{N}^* \to\mathbb{C}</math> deux fonctions définies sur les entiers strictement positifs à valeurs complexes. La convolution de Dirichlet de deux fonctions arithmétiques ''ƒ'' et ''g'' est la fonction ƒ&nbsp;✻&nbsp;''g'' définie par :
<center><math>\forall n\in\N^*\quad (f*g)(n)=\sum_{a,b\in\N^*,ab=n}f(a)g(b)=\sum_{d|n}f(d)g\left(\frac n d\right)</math></center>
où « ''d|n'' » signifie que la somme porte sur tous les entiers positifs ''d ''[[diviseur]]s de ''n''. On a donné deux expressions égales de <math>(f*g)(n)</math>, chacune sous la forme d'une somme. Dans la première, on considère tous les couples {{nowrap|(''a'', ''b'')}} d'entiers dont le produit fait ''n''. Dans la deuxième, on fait une somme sur tous les diviseurs de ''n''.

=== Exemples ===
*Toute fonction arithmétique ''g'' vérifie l'égalité :<center><math>\delta_1*g=g\quad\text{ou encore}\quad\forall n \in \N^* \quad (\delta_1*g) (n) = g(n).</math></center>
*L'[[indicatrice d'Euler]] {{mvar|φ}} vérifie l'égalité<ref group="Note">Cette égalité est démontrée dans le [[Formule d'inversion de Möbius#Arithmétique modulaire|§ « Arithmétique modulaire »]] de l'article sur la formule d'inversion de Möbius.</ref> :<center><math>{\rm Id}=\varphi*{\mathbf 1}\quad\text{ou encore}\quad\forall n\in\N^*\quad n=\sum_{d|n}\varphi(d)</math>.</center>

=== Premières propriétés ===
L'ensemble ''F'' des fonctions arithmétiques, muni de l'addition et de la convolution de Dirichlet, forme un [[anneau intègre]]<ref>Pour une démonstration, {{Note autre projet|Wikiversité|Introduction à la théorie des nombres/Exercices/Nombres premiers et fonctions arithmétiques#Exercice 1-5|cet exercice corrigé de la leçon « Introduction à la théorie des nombres »|début=voir par exemple}}</ref>, c'est-à-dire que — outre le fait que ''F ''muni de l'addition est un [[groupe abélien]] — la [[loi interne]] ✻ est [[associativité|associative]], [[Commutativité|commutative]] et [[Distributivité|distributive]] par rapport à l'addition, il existe un [[élément neutre]] : δ{{ind|1}}, et si <math>f,g\ne0</math> alors <math>f*g\ne0</math>.

L'opérateur ''D'' : ''F'' → ''F'' défini par <math>(Df)(n)=f(n)\log n</math> (où {{math|log}} est le [[logarithme]] dans n'importe quelle base) est une [[Dérivation (algèbre)|dérivation]] sur cet anneau.

== Fonction multiplicative ==
=== Groupe des fonctions multiplicatives ===

L'anneau des fonctions arithmétiques n'est pas un corps.

*Son [[groupe des unités]] — le groupe (abélien) de ses éléments [[inversible]]s — est l'ensemble de toutes les fonctions qui donnent à 1 une image non nulle<ref name=Badiou2>{{article|prénom=Françoise|nom=Badiou|titre=[http://archive.numdam.org/ARCHIVE/SDPP/SDPP_1960-1961__2_/SDPP_1960-1961__2__A1_0/SDPP_1960-1961__2__A1_0.pdf Formule d'inversion de Möbius]|périodique=Séminaire Delange-Pisot-Poitou Théorie des nombres|année=1960-61|volume=2|pages=1-7}}, p. 2<!--http://archive.wikiwix.com/cache/?url=http://archive.numdam.org/ARCHIVE/SDPP/SDPP_1960-1961__2_/SDPP_1960-1961__2__A1_0/SDPP_1960-1961__2__A1_0.pdf&title=Formule%20d%27inversion%20de%20M%C3%B6bius-->.</ref>{{,}}<ref name=Wikiversité>{{Note autre projet|Wikiversité|Introduction à la théorie des nombres/Nombres premiers et fonctions arithmétiques#Fonctions arithmétiques|section « Fonctions arithmétiques » de la leçon « Introduction à la théorie des nombres »|début=Une démonstration figure dans la}}</ref>
* L'ensemble des [[Fonction multiplicative|fonctions multiplicatives]] en est un [[sous-groupe]]<ref name=Badiou2/>{{,}}<ref name=Wikiversité/>.
En particulier, la convolée de deux fonctions multiplicatives est multiplicative.

=== Fonction de Möbius ===
La fonction constante {{math|'''1'''}} fait partie du groupe ci-dessus. On désigne par μ son inverse pour ✻<ref name=Badiou2/>. Autrement dit :
<center>{{math|'''1'''}}&nbsp;✻&nbsp;μ = δ{{ind|1}}.</center>
On vérifie qu'il s'agit bien de la [[fonction de Möbius]]: si l'entier ''n'' > 0 est un produit de [[nombre premier|nombres premiers]] distincts alors μ(''n'')&nbsp;=&nbsp;(–1)<sup>k</sup> où ''k ''est le nombre de ces facteurs premiers, et sinon, μ(''n'')&nbsp;=&nbsp;0.

Cet inverse μ de {{math|'''1'''}} joue un rôle particulier, vis-à-vis de la convolution. Soit ''f'' une fonction arithmétique et ''g'' la fonction définie par l'égalité ''g''&nbsp;=&nbsp;''f''&nbsp;✻&nbsp;{{math|'''1'''}}. Par convolution par μ, on obtient ''f''&nbsp;=&nbsp;''g''&nbsp;✻&nbsp;μ. Cette expression de ''f'' à l'aide de ''g ''porte le nom de [[formule d'inversion de Möbius]]<ref>''[http://www.irem.univ-mrs.fr/IMG/pdf/arithmetique.pdf Cours et activités en arithmétiques pour les classes terminales]'' par l'[[IREM]] de Marseille, p. 77.</ref>.

Un exemple d'usage de la formule est son application sur l'indicatrice d'Euler. D'après le deuxième exemple ci-dessus, cette fonction φ vérifie l'égalité {{math|Id}}&nbsp;=&nbsp;φ&nbsp;✻&nbsp;{{math|'''1'''}}. La formule d'inversion montre que :
<center><math>\varphi={\rm Id}*\mu\quad\text{ou encore}\quad\forall n\in\N^*\quad\varphi(n)=\sum_{d|n}\mu(n/d)d.</math></center>

=== Fonction totalement multiplicative ===
Une fonction ''ƒ'' est dite complètement<ref>{{Harvsp|Badiou|1960-61}}, {{Harvsp|Apostol|1976}}{{etc.}}</ref> (ou « totalement ») multiplicative si :
<center><math>f(1)=1\quad{\rm et}\quad\forall n,m \in\N^*\quad f(nm)=f(n)f(m).</math></center>

Les fonctions complètement multiplicatives jouent un rôle en arithmétique. En [[théorie algébrique des nombres]], les [[caractère de Dirichlet|caractères de Dirichlet]] sont des fonctions totalement multiplicatives. Leur usage est à la base de la démonstration du [[théorème de la progression arithmétique]], à l'origine du développement du concept de la convolution de Dirichlet<ref>{{HardyWright}}, {{5e}} éd., 1979, p. 13-14.</ref>. En [[théorie analytique des nombres]], les fonctions ''ƒ<sub>s</sub>'', qui à ''n'' associent ''n<sup>s</sup>'', où ''s'' est un nombre complexe, sont utilisées pour étudier la [[fonction zêta de Riemann]]<ref>{{Ouvrage|auteur1=[[Jean-Benoît Bost]]|auteur2=[[Pierre Colmez]]|auteur3=[[Philippe Biane]]|titre=La Fonction Zêta|éditeur=Éditions de l'École polytechnique|lieu=Paris|année=2002|pages totales=193|isbn=978-2-7302-1011-9|lire en ligne=https://books.google.com/books?id=CfBLG2zPfdgC&printsec=frontcover}}.</ref> ainsi que la fréquence de certains nombres particuliers, comme les nombres premiers.

Si la convolution de deux fonctions complètement multiplicatives est multiplicative, en revanche elle n'est pas nécessairement complètement multiplicative. Par exemple la convolée {{math|'''1'''}}&nbsp;✻&nbsp;{{math|'''1'''}} est la [[Fonction nombre de diviseurs|fonction ''d'' qui à ''n'' associe son nombre de diviseurs]]. Cette fonction n'est pas complètement multiplicative : l'image de 2 est égale à 2 et celle de 4 à 3.

Soit ''ƒ'' une fonction complètement multiplicative<ref name=Exo/> :
*son inverse pour la convolution est le produit ''ƒ''μ (au sens usuel)<ref>{{harvsp|Badiou|1960-61|p=3}}.</ref> ;
*sa convolée par elle-même est le produit ''ƒ[[Fonction diviseur#Fonction nombre de diviseurs|d]]'' ;
*plus généralement, pour toutes fonctions arithmétiques ''g'' et ''h'' : (''ƒg'')&nbsp;✻&nbsp;(''ƒh'')&nbsp;=&nbsp;''ƒ''(''g''&nbsp;✻&nbsp;''h'').
La première de ces trois propriétés caractérise même, parmi les fonctions multiplicatives, celles qui le sont complètement<ref>{{Ouvrage|langue=en|auteur1=[[Tom M. Apostol]]|titre=Introduction to Analytic Number Theory|éditeur=[[Springer Verlag|Springer]]|collection={{Lien|Undergraduate Texts in Mathematics|texte=UTM}}|numéro dans collection=7|année=1976|pages totales=340|passage=36|isbn=978-0-387-90163-3|lire en ligne={{Google Livres|3yoBCAAAQBAJ|page=36}}}}.</ref>{{,}}<ref name=Exo>{{Note autre projet|Wikiversité|Introduction à la théorie des nombres/Exercices/Nombres premiers et fonctions arithmétiques#Exercice 1-16|Exercice corrigé de la leçon « Introduction à la théorie des nombres »|début=}}</ref>.

== Convolution de Dirichlet et séries génératrices de Dirichlet ==
Si ''ƒ'' est une fonction arithmétique, on définit sa [[série de Dirichlet]] [[fonction génératrice|génératrice]] {{mvar|F}} par :
<math>
F(s) = \sum_{n=1}^\infty \frac{f(n)}{n^s}
</math>

pour les nombres complexes ''s'' tels que la série converge (s'il en existe).

La multiplication des séries de Dirichlet est compatible avec la convolution de Dirichlet dans le sens suivant : si {{math|''h'' {{=}} ''ƒ'' ∗ ''g''}}, alors

<center><math>
H(s) = \sum_{n=1}^\infty \frac{h(n)}{n^s} = F(s)G(s)
</math></center>

pour tous les nombres complexes ''s'' tels que les deux séries {{math|''F''(''s'')}} et {{math|''G''(''s'')}} convergent et dont l'une des deux converge [[Convergence absolue|absolument]].

Ceci est lié au [[Transformée de Fourier#Lien avec le produit de convolution|théorème de convolution sur les transformées de Fourier]].

La simple convergence de {{math|''F''(''s'')}} et de {{math|''G''(''s'')}} n'implique pas celle de {{math|''H''(''s'')}}<ref>Voir par exemple [[Gérald Tenenbaum|G. Tenenbaum]], ''Introduction à la théorie analytique et probabiliste des nombres. Cours spécialisés 1'', [[Société mathématique de France|SMF]], Paris, 1995, II.1.1 et Notes de II.1.</ref>.

== Annexes ==
=== Notes ===
<references group="Note"/>
=== Références ===
{{Références|colonnes=2}}
=== Bibliographie ===
{{Ouvrage|langue=en|auteur1=[[Harold Davenport]]|titre=Multiplicative Number Theory|éditeur=Springer|collection=[[Graduate Texts in Mathematics|GTM]]|numéro dans collection=74|année=1980|numéro d'édition=2|année première édition=1967|isbn=|lire en ligne={{Google Livres|SFztBwAAQBAJ}}}}
===Article connexe===
[[Identités liées aux sommes de diviseurs]]

{{portail|arithmétique}}

[[Catégorie:Caractère de Dirichlet]]
[[Catégorie:Analyse harmonique discrète]]

[[ar:يوهان دركليه]]
[[de:Zahlentheoretische Funktion#Faltung]]